新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系(含解析)

5．2.2　同角三角函数的基本关系

学习目标　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

知识点　同角三角函数的基本关系

思考　同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？

答案　平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z.

1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝        .

答案　－

解析　由题意知sin α＝－

＝－＝－.

2．sin2＋cos2＝        .

答案　1

3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝        .

答案　－

解析　由题意得3sin α＝－cos α≠0，

∴tan α＝－.

4．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝        .

答案　－2

解析　因为α为第四象限角，且cos α＝，

所以sin α＝－＝－＝－，

所以tan α＝＝－2.

一、已知一个三角函数值求其他三角函数值

例1　(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，

∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－；

当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，

∴sin α＝－＝－＝－，

tan α＝＝.

(2)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝        .

答案　－

解析　由已知得

由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝，

又α∈，所以cos α<0，

所以cos α＝－.

(学生)

反思感悟　已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法

(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．

(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．

(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．

(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．

跟踪训练1　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

解　∵sin α＋3cos α＝0，

∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，

即10cos2α＝1，

∴cos α＝±.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，

∴角α的终边在第二或第四象限．

当角α的终边在第二象限时，

cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，

cos α＝，sin α＝－.

二、利用同角三角函数的基本关系化简、证明

例2　化简下列各式．

(1)；

(2)·.

解　(1)原式＝

＝

＝＝1.

(2)原式＝·

＝·

＝·

＝·

＝±1.

反思感悟　利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法

(1)化切为弦，减少函数名称．

(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．

(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．

跟踪训练2　求证：＝.

证明　方法一　因为右边＝

＝

＝

＝

＝

＝左边．

所以原等式成立．

方法二　因为左边＝

＝，

右边＝

＝

＝

＝

＝，

所以左边＝右边，原等式成立．

三、sin θ±cos θ型求值问题

例3　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ.

解　方法一　由sin θ＋cos θ＝，

得cos θ＝－sin θ.

又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋2＝1，

整理得sin2θ－sin θ－＝0，

即＝0，

解得sin θ＝－或sin θ＝.

又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝.

所以cos θ＝－sin θ＝－＝－，

sin θ－cos θ＝－＝.

方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，

又sin θ＋cos θ＝，两边平方，

整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0，

所以sin θ－cos θ>0，

又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，

所以sin θ－cos θ＝.

反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系

(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；

(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，

利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．

(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．

跟踪训练3　若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝        .

答案　－2

解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，

∴sin θcos θ＝－.

∴tan θ＋＝＋＝＝－2.

化切求值

典例　已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)sin2α＋cos2α.

解　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝＝－.

(3)原式＝＝

＝＝.

[素养提升]　(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．

(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．

(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．

1．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　∵sin φ＝－，

∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，

又|φ|<，即－<φ<，∴cos φ>0，

∴cos φ＝，从而tan φ＝＝＝－.

2．若tan α＝2，则的值为(　　)

A．0  B.  C．1  D.

答案　B

解析　＝＝.

3．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　C

解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝－.

4．化简：的值为(　　)

A．tan    B．－

C．1   D．－1

答案　D

解析　原式＝＝＝－1.

5．若2sin α＋cos α＝0，则－＝        .

答案　－

解析　2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，

原式＝

＝

＝＝－2tan2α＝－.

1．知识清单：

(1)同角三角函数基本关系．

(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明．

(3)sin α±cos α型求值问题．

(4)齐次式的化切求值．

2．方法归纳：整体代换法．

3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．

1．若sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　因为sin α＝，

所以cos2α＝1－sin2α＝，

则原式＝－＝－.

2．若α是第四象限角，tan α ＝－，则sin α等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　因为tan α＝＝－，

sin2α＋cos2α＝1，

所以sin α＝±.

因为α是第四象限角，所以sin α＝－.

3．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　C

解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)

＝sin2α＋cos2α＝1.

4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，

sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，

∴sin2θcos2θ＝，

又sin θcos θ>0，

∴sin θcos θ＝.

5．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　BC

解析　∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，

又∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α

＝1＋2sin αcos α＝2，

解得2sin αcos α＝，

∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，

∴sin α>0，cos α>0，

∴sin α－cos α符号不确定，

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，

∴sin α－cos α＝±.

6．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝        ，tan α＝        .

答案　 －　

解析　∵α是第三象限角且cos α＝－，

∴sin α＝－＝－，

∴tan α＝＝.

7．已知＝，则tan α＝        .

答案　－

解析　方法一　上下同除以cos α得＝，

解得tan α＝－.

方法二　＝，

即16(sin α＋2cos α)＝5(5cos α－sin α)，

整理得21sin α＝－7cos α，

∴tan α＝－.

8．已知cos θ＝，则sin θ的值为        ．

答案　3

解析　原式＝sin θ

＝sin θ·

＝

＝3.

9．已知tan α＝，求下列各式的值：

(1)＋；

(2).

解　(1)＋＝＋

＝＋＝.

(2)＝

＝＝.

10．(1)化简：tan α (其中α为第二象限角)；

解　因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0.

原式＝tan α＝tan α

＝tan α

＝·＝·＝－1.

(2)求证：·＝1.

证明　·＝·

＝·

＝＝＝1.

11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　由题意知θ∈，所以sin θ－cos θ>0，

sin θ－cos θ＝

＝＝.

12．化简：(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α   B．cos α

C．1＋sin α   D．1＋cos α

答案　A

解析　原式＝(1－cos α)

＝(1－cos α)

＝＝＝sin α.

13．已知＝，则等于(　　)

A.  B．－  C．2  D．－2

答案　B

解析　因为＝，

所以＝

＝

＝＝－.

14．已知tan α＝cos α，那么sin α＝        .

答案　

解析　由于tan α＝＝cos α，

则sin α＝cos2α，

所以sin α＝1－sin2α，

解得sin α＝.

又sin α＝cos2α>0，

所以sin α＝.

15．化简：＝        .

答案　sin2α

解析　原式＝

＝

＝

＝＝sin2α.

16．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

解　假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①

∵sin α<0，cos α<0，

∴sin α＋cos α＝－m<0，②

sin αcos α＝>0.③

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.

把②③代入上式得2－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.

∵m1＝2不满足条件①，舍去；

m2＝－不满足条件③，舍去．

故满足题意的实数m不存在．