初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第1课时教学设计

第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解

14.3.2 公式法

第1课时  运用平方差公式分解因式

一、教学目标

【知识与技能】

灵活运用平方差公式进行因式分解.

【过程与方法】

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义.

【情感、态度与价值观】

培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

运用平方差公式进行因式分解.

【教学难点】 

观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、矩形图片等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。

六、教学过程

（一）导入新课

如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？

（二）探索新知

1.创设情境，探究运用平方差公式分解因式

教师问1：将下列多项式分解因式.

(1)x2＋2x；

(2)a2b－ab.

学生回答：(1)x2＋2x=x(x+2)；

(2)a2b－ab=ab(a-1).

教师问2：比一比，看谁算得又快又准确：

(1)572－562；(2)962－952；(3)()2－()2.

学生回答：方法一：(1)572－562=3249-3136=113；

(2)962－952=9216-9025=191；

(3)()2－()2 =-==.

解法二：(1)572－562=（57+56）（57-56）=113；

(2)962－952=（96+95）（96-95）=191；

(3)()2－()2=（+）（）=.

教师问3：哪种方法简便呢？

学生回答：方法二简便.

教师问4：同学们回忆什么是因式分解？

学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

教师问5：因式分解与整式乘法的关系是什么？

学生回答：因式分解与整式乘法的关系是互为逆运算.

教师问6：完成下面的题目：

（1）（x+2）(x-2);（2）（y+5）(y-5)

学生回答：（1）（x+2）(x-2)=x2－4;（2）（y+5）(y-5)=y2－25

请观察下列多项式：x2－4和y2－25.完成下列问题：

教师问7：它们有什么共同特点吗？

学生回答：都是两个数的差，并且这两个数都是一个数的平方.

教师问8：能否进行因式分解？你会想到什么公式？

学生回答：能进行因式分解，会想到平方差公式.

师生共同总结：①他们有两项，且都是两个数的平方差；②会联想到平方差公式.

教师问9：尝试分解x2－4和y2－25.

学生回答：x2－4=（x+2）(x-2)；y2－25=(y+5)(y-5).

教师问10：观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？（出示课件4）

师生讨论最后得出下列结论：

(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反；

(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差；

(3)在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式中，“平方差”是能得到分解因式的多项式.

教师总结：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

警示：避免出现4a2＝(4a)2这一类错误.

例1：分解因式：（出示课件6）

（1）4x2-9；（2）（x+p）2-(x+q)2

师生共同解答如下：

总结点拨：（出示课件7）

公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.

例2：分解因式：（出示课件9）

（1）x4-y4 ；（2）a3b-ab

师生共同解答如下：

解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2

＝(x2+y2)(x2–y2)

＝(x2+y2)(x+y)(x–y);

总结点拨：分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.

(2)原式＝ab(a2–1)

＝ab(a+1)(a–1).

总结点拨：分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.

总结点拨：（出示课件10）

分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

例3：已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．（出示课件12）

师生共同解答如下：

解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，

x＋y＝1①，

∴x–y＝–2②.

联立①②组成二元一次方程组，解得：

总结点拨：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.

例4：计算下列各题：（出示课件14）

(1)1012–992；                      (2)53.52×4–46.52×4.

师生共同解答如下：

解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；

(2)原式＝4×(53.52–46.52)

＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)

＝4×100×7=2800.

总结点拨：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.

例5：求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．（出示课件16）

师生共同解答如下：

证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，

∵n为整数，∴8n被8整除，

即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．

总结点拨：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．

（三）课堂练习（出示课件19-23）

1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)

A．a2＋(–b)2                           B．5m2–20mn

C．–x2–y2                                D．–x2＋9

2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)

A．x(x2–1)                             B．x(1–x2) 

C．x(x+1)(x–1)                D．x(1+x)(1–x)

3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)

A．–21      B．21         C．–10             D．10

4.把下列各式分解因式：

(1)16a2–9b2=_________________; 

(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;  

(3) 因式分解：2x2–8=_________________;

(4) –a4+16=_________________.

5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.

6.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．

7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．

8.(1)992–1能否被100整除吗？

(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？

参考答案：

1.D

2.D

3.A

4.(1)(4a+3b)(4a–3b);(2)4ab;(3)2(x+2)(x–2);(4)(4+a2)(2+a)(2–a)

5.4

6.解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)

=(4m+n)(3n – 2m)

= –(4m+n)(2m – 3n)，

当4m+n=40，2m–3n=5时，

原式= – 40×5= –200．

7.解：根据题意，得

6.82–4×1.62

＝6.82– (2×1.6)2

＝6.82–3.22

＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)

＝10×3.6

＝36 (cm2)

答：剩余部分的面积为36 cm2.

8.解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，

所以992–1能被100整除.

(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)

=(2n+6)(2n–4)

=2(n+3) ×2(n–2)

=4(n+3)(n–2).

所以，(2n+1)2–25能被4整除.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

平方差公式：

a2－b2＝(a＋b)(a＋b)

一提二看三检查，分解要彻底.

（五）课前预习

预习下节课（14.3.2）117页到118页的相关内容。

知道运用完全平方公式分解因式的方法.

七、课后作业

1、教材117页练习1,2

2、用因式分解法证明499-714能被2400整除.

八、板书设计：

九、教学反思：

本节内容是用平方差公式因式分解,平方差公式比较简单,但是变化很多,通过练习要养成先提公因式的习惯,结果要注意到是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,因式分解是一个重要的内容,也是难点,要根据学生的接受能力,注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化,应指导学生多加练习.

本节课是因式分解的第二节课，主要是研究用平方差公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法.

由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础.课题的引入简单而紧扣主题.