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【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题29 一次函数与角度综合应用(原卷版+解析版)
展开专题29 一次函数与角度综合应用
题型一:若有角度等量关系,不能直接用时,我们要学会角度转化,比如借助余角、补角、外角等相关角来表示,进行一些角度的和差和角度的代换等,直到转化为可用的角度关系。
题型二:遇45°角要学会先构造等腰直角三角形,然后构造“三垂直”全等模型,一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点
为AB’
【考点1角度相等综合应用】
【典例1】如图,直线l1:y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2:y=kx+b与x轴交于点C(1.5,0),与y轴交于点D(0,3),直线l1,l2交于点E.
(1)求直线l2的函数表达式.
(2)若P为直线l1上一点,当∠POB=∠BDE时,求点P的坐标.
【变式1-1】(2021秋•龙华区期中)如图1,已知函数y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数解析式;
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q.点M在线段AC上,连接BM,如图2,若∠BMP=∠BAC,直接写出P的坐标.
【变式1-2】(2021秋•建湖县期末)如图,直线l1:y=x﹣4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2:y=kx+b与x轴交于点C(1,0),与y轴交于点D(0,2),直线l1,l2交于点E.
(1)求直线l2的函数表达式;
(2)试说明CD=CE.
(3)若P为直线l1上一点,当∠POB=∠BDE时,求点P的坐标.
【考点2 二倍角综合应用】
【典例2】如图,直线y=x﹣3交x轴于A,交y轴于B,
(1)求A,B的坐标和AB的长(直接写出答案);
(3)点D是x轴上一点,∠BAO=2∠DBO,求点D的坐标.
【变式2-1】如图,已知点A(2,﹣5)在直线l1:y=2x+b上,l1和l2:y=kx﹣1的图象交于点B,且点B的横坐标为8.
(1)直接写出b、k的值;
(2)若点Q是直线l2上一点,且∠BAQ=45°,求出点Q的坐标.
【考点3 角度45°综合应用】
【典例3】如图,直线l1:y=x+2和直线l2与x轴分别相交于A,B两点,且两直线相交于点C,直线l2与y轴相交于点D(0,﹣4),OA=2OB.
(1)求点A的坐标及直线l2的函数表达式;
(2)求△ABC的面积;
(3)试探究在x轴上是否存在点P,使得∠BDP=45°,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式3-1】如图,直线y=﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B,点C(0,﹣3)在y轴上,连接AC.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点P是直线AB上一点,若△BCP的面积为18,求点P的坐标;
(3)过点B作直线BE交x轴于点E(E点在点A右侧),当∠ABE=45°时,直接写出直线BE的函数表达式.
【变式3-2】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC的顶点A(12,0),C(0,9),将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠,使得点A落在对角线OB上的点E处,折痕与x轴交于点D,
(Ⅰ)线段OB的长度为 ;
(Ⅱ)求线段DE的长,以及直线BD所对应的函数表达式;
(Ⅲ)若点N为该平面内一点,且使得∠DBN=45°,直接写出满足条件的直线BN的解析式.
1.在平面直角坐标系中,一次函数的图象l1与x轴交于点A,一次函数y=x+6的图象l2与x轴交于点B,与l1交于点P.直线l3过点A且与x轴垂直,C是l3上的一个动点.
(1)分别求出点A、P的坐标;
(2)是否存在点C,使得2∠PCA+∠PAB=90°?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
2.在平面直角坐标系中,点A为x轴上一点,A(3,0),AB=2OB,
(1)如图(1),求直线AB的解析式.
(2)如图(2),点C、点D分别在x轴、y轴上,CD的延长线交直线AB于点E,动点F在x轴上从原点出发以1个单位每秒的速度往负半轴运动,设运动时间为t,当AF=AE时,用含t的式子表示△AEF的面积.(不用写出自变量t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,连接AD、FD,若∠CDA=∠BAO,∠AFD=2∠OAD,求点F的坐标.
3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别交x轴,y轴于点A、B.另一条直线CD与直线AB交于点C(a,6),与x轴交于点D(3,0),点P是直线CD上一点(不与点C重合).
(1)求a的值.
(2)若直线MN在平面直角坐标系内运动,且MN始终与AB平行,直线MN交直线CD于点M,交y轴于点N,当∠BMN=90°时,求△BMN的面积.
4.如图,已知函数y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数解析式;
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q.
①若△PQB的面积为2,求点P的坐标:;
②点M在线段AC上运动的过程中,连接BM,若∠BMP=∠BAC,求点Q的坐标.
5.如图,已知点A(0,6),点C(3,0),将线段AC绕点C顺时针旋转90°,点A落在点B处,点D是x轴上一动点.
(1)求直线BC的解析式;
(2)联结B、D.若BD∥AC,求点D的坐标;
(3)联结A、D交线段BC于点Q,且∠OAC=∠CAQ.求△BCD的面积.
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