【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题13 二元一次方程组的解法高分突破（三大类型）（原卷版+解析版）

    专题13 二元一次方程组的解法高分突破（三大类型）

技巧1：巧用整体代入法

技巧2：反复运用加减法

技巧3：巧用换元法

【类型1：巧用整体代入法】

【典例1】（2022秋•新乡期末）已知二元一次方程组，则2x+y的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．6 D．8

【变式1-1】（2022秋•秦都区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式1-2】（2022秋•峄城区校级期末）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6

【变式1-3】（2022秋•天桥区期末）方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣

【典例2】（2022秋•佛山校级期末）已知的解是，则的解为 　   　．

【变式2-1】（2022秋•深圳期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 　   　．

【变式2-2】（2022•定海区校级模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　   　．

【类型2：反复运用加减法】

【典例3】（2022春•渝水区校级期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得3x+3y＝3．

x+y③．

③×14得14x+14y＝14④．

①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1．

原方程组的解是（1）请运用上述方法解方程组；

（2）请直接写出方程组的解是 　    　；

（3）猜测关于x，y的方程组（m≠n）的解，并加以验证．

【变式3-1】（2022•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③

③×17得：17x+17y＝17．④

①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．

所以这个方程组的解是．

（1）请你运用小明的方法解方程组．

（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 　   　．

【变式3-2】（2022春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③

③×17得：17x+17y＝17④

①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1

所以这个方程组的解是．

请你运用小曼的方法解方程组．

【类型3：巧用换元法】

【典例4】（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索

（1）知识积累

解方程组．

解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．

（2）拓展提高

运用上述方法解下列方程组：．

（3）能力运用

已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　  　．

【变式4-1】（2021春•奎文区期中）阅读题：解方程组

解：设x+5＝m，y﹣4＝n，则原方程可化为

解得，即，所以

这种解方程组的方法叫换元法．

（1）运用上述方法解方程组

（2）已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解．

【变式4-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）先阅读，再解方程组．

解方程组．

解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为．解得，即．

∴原方程组的解为．

这种解方程组的方法叫做“换元法”．

（1）已知方程组的解是，求方程组的解．

（2）用换元法解方程组（其中|x|≠|y|）．

1．（2023•市中区开学）若x，y满足方程组，则x+y＝　　．

2．（2022秋•龙华区期末）已知方程组的解为，则m+n的值为 　　．

3．（2023•南岸区校级开学）关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝9，则m的值为 　　．

4．（2022秋•济阳区期末）若方程组的解x和y满足x+y＝0，则k的值为 　　．

5．（2022秋•渠县期末）若方程组的解满足x﹣y＝﹣1，则a的值为 　  　．

6．（2022秋•滕州市期末）已知a，b满足方程组，则3a+b的值为 　  　．

7．（2022秋•东营区期末）已知方程组的解满足x+y＝3，则k的值为　  　．

8．（2022秋•山亭区期末）解方程（组）：

（1）；

（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．

解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为，解得∴，∴原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组．

9．（2022春•朝天区期末）阅读探索：解方程组．

解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为解得即，解得，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题：

（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；

（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．

10．解方程组，由①，得x﹣y③．然后将③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，从而进一步求解．这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法求的解．

11．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组

解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为，解得，即：，此种解方程组的方法叫换元法．

（1）拓展提高

运用上述方法解下列方程组；

（2）能力运用

已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解．

12．（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料：

解方程组：；

小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：

解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：

（1）请你替小亮补全完整的解题过程；

（2）请你用这种方法解方程组：．

13．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】

在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．

【类比迁移】（1）若，则2x+3y+4z＝　　．

（2）运用整体代入的方法解方程组．

【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？

14．（2022春•华安县校级月考）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；

把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；

把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为．

请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．

15．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．

解方程组

时，

可由 ①得x﹣y＝1，③

然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，

从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，

请用这样的方法解下列方程组．

16．（2021春•珠海校级期中）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：

解：将方程②变形为4x+2y+y＝6，即2（2x+y）+y③，把方程①代入方程③，得：2×0+y＝6，所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝﹣3，所以方程组的解为．

请你解决以下问题：利用“整体代入”法解方程组．

17．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．

[类比迁移]

（1）直接写出方程组的解．

（2）若，求x+y+z的值．

[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？

18．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】

在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．

（1）解方程组

（2）已知，求x+y+z的值

解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1．

把x＝1代入②得：y＝0．

所以方程组的解为

（2）①×2得：8x+6y+4z＝20．③

②﹣③得：x+y+z＝5．

【类比迁移】

（1）若，则x+2y+3z＝　  　．

（2）解方程组

【实际应用】

打折前，买39件A商品，21件B商品用了1080元．打折后，买52件A商品，28件B商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？

19．（2022春•永春县月考）数学方法：

解方程组：，若设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．

（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：　  　．

（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．

（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，

求关于x，y的方程组的解．

20．（2022春•普陀区校级期中）用换元法解方程组：．

21．（2020春•天宁区校级期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．

例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解化解之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．

运用以上知识解决下列问题：

（1）方程组的解为　　．

（2）关于x，y二元一次方程组的解为，

则方程组的解为　　．

（3）解方程组．

（4）求（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣97﹣98）（2+3+4+5+6+……+98+99）﹣（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣98﹣99）（2+3+4+5+6+……+98）的值．

22．（2022春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③

③×17得：17x+17y＝17．④

①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．

所以这个方程组的解是．

（1）请你运用小明的方法解方程组．

（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组，（a≠b）的解是 　　．

23．（2021春•娄底月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得3x+3y＝3，∴x+y＝1③，

③×14得14x+14y＝14④，

①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1，

∴原方程组的解是．

（1）请你运用上述方法解方程组；

（2）请你直接写出方程组的解是　  　．

（3）猜测关于x，y的方程组的解是什么，并用方程组的解加以验证（m≠n≠0）．

24．（2021春•西岗区期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③

③×17得：17x+17y＝17．④

①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．

所以这个方程组的解是．

（1）请你运用小明的方法解方程组．

（2）猜想关于x、y的方程组（a≠b）的解是 　  　；

（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．

25．（春•大余县期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③

③×14得：14x+14y＝14④

①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1

所以原方程组的解是

（1）请你运用上述方法解方程组

（2）请你直接写出方程组的解是 　   　；

（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．

26．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：

②﹣①，得3x+3y＝3，所以x+y＝1，③

③×14，得14x+14y＝14，④

①﹣④，得y＝2，从而得x＝﹣l．

所以原方程组的解是

请你运用上述方法解方程组：．