【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题10 平行线常考解答压轴题高分突破（30道）（原卷版+解析版）

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 专题10
平行线常考解答压轴题高分突破（30道）
真题再现


1．（2021秋•市中区期末）（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP；
（2）变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；
（3）（问题迁移）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
（4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．



2．（2022春•汉阳区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）


3．（2021秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　　°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．

【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．





4．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）









5．（2022秋•城关区校级期末）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．



6.（2022春•城厢区期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．

（1）求证：AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若∠E＝65°，
①如图2，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数是 　 ；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．




7．（2022春•江夏区校级月考）如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．

（1）如图1，求证：∠P＝∠PEB﹣∠C；
（2）如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
（3）如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN＝n∠CPN、∠DCN＝n∠PCN，当2∠CNP﹣∠PEA＝180°恒成立时，n＝　　．



8．（2022春•思明区校级期末）如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．





9．（2022春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．
（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝　 （结果用含α的式子表示）．



10．（2022春•涪陵区校级期中）AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）如图1，求证：∠EPG＝∠BEP+∠PGD；
（2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°．求∠BEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由．


11．（2022春•兴宁区校级期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．













12．（2022春•朝阳区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　 　．
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE．
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

13．（2021秋•王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　　°；
（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，
①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；
②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．



14．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．

（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．


15．（2022秋•宛城区校级期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°

（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　105　°．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 　 　°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）


16．（2022春•广陵区期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　　°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．




17．（2021秋•井研县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．




18．（2021春•北海期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　 　．


19．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥　 　（ 　 　）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ 　 　）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．


20．（2021春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．

（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）















21．（2021春•新洲区期末）如图1，点E在直线AB、DC之间，且∠DEB+∠ABE﹣∠CDE＝180°．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若点F是直线BA上的一点，且∠BEF＝∠BFE，EG平分∠DEB交直线AB于点G，若∠D＝20°，求∠FEG的度数；
（3）如图3，点N是直线AB、DC外一点，且满足∠CDM＝∠CDE，∠ABN＝∠ABE，ND与BE交于点M．已知∠CDM＝α（0°＜α＜12°），且BN∥DE，则∠NMB的度数为 　　（请直接写出答案，用含α的式子表）．


22．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD，　 　．
求证：　 　．
证明：


（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．






23．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．







24．（2022春•金牛区校级月考）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．



25．（2021春•莆田期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 　　度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．


26．（2021春•番禺区校级期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．



27．（2022春•源城区期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．





28．（2020秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．



29．（2020春•叶集区期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．






30．（秋•市南区期末）已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝108°，试解答下列问题：
（1）如图①，则∠O＝　 　，则OB与AC的位置关系为　 　
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于　 　；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置．
①在AC移动的过程中，∠OCB与∠OFB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由；
②当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA．