数学22.1.1 二次函数学案设计

二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；

2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；

3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【要点梳理】

要点一、函数与函数的图象与性质

1.函数的图象与性质

2.函数的图象与性质

要点诠释：

二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

要点二、二次函数的平移

1.平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

要点诠释：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

【典型例题】

类型一、二次函数图象及性质

1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．

    (1)求出a、h、k的值；

    (2)在同一坐标系中，画出与的图象；

    (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；

(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?

【答案与解析】

 (1)∵  抛物线向上平移2个单位长度，

再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，

∴  ，，．

(2)函数与的图象如图所示．

(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；

当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．

    (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．

【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．

举一反三：

【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．

（1）试确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．

【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），

         当x≥1时，y随x的增大而减小；  当x＜1时，y随x的增大而增大.

2. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（    ）

A．0   B．1  C．2  D．3

【答案】D；

【解析】函数 的图象如图：

，

根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，

∴k=3．

故选D．

【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

类型二、二次函数性质的综合应用

3.（2016•杭州校级二模）二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为　                　．

【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．

【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

【解析】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，

解得x=0或x=2，

当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，

又抛物线对称轴为x=1，

∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围．

举一反三：

【变式】（2014秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．

（1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　；

（2）x取何值时，y随x增大而增大？

【答案与解析】

解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；

故答案为（1，﹣8），直线x=1；

（2）当x＞1时，y随x增大而增大．

4.  如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．

    (1)求直线AC的解析式；

    (2)求△ABC的面积；

    (3)当自变量x满足什么条件时，有?

【答案与解析】

(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，

∴  ．由待定系数法可求出，，

∴  ．

(2)∵  抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．

 ∴  ．

(3)根据图象知或时，有．

【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．