八年级上册13.1.1 轴对称习题

【巩固练习】

一.选择题

1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（   ）

2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为(     )

A. 15°     B. 30°    C. 45°    D. 60°

3．（2016秋·诸城市月考）下列语句中，正确的有（    ）

 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；

②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；

③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；

④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；

⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.

A．1个        B. 2个          C. 3个          D. 4个

4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（     ）

A.12：01       B.10：51 　　 　 C.11：59        D.10：21

5. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（     ）

A.（1，3）      B.（－10，3）       C.（4，3）      D.（4，1）

6．（2014•本溪校级二模）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

　 A． B．  C．  D． 不能确定

7. 如图，将△沿、、翻折，三个顶点均落在点处.若，则 的度数为（     ）

A. 49°         B. 50°             C. 51°        D. 52°

8. 如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE＝2.AC的长为（    ）

   A.2             B.3                  C. 4           D.5

二.填空题

9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝      ．

10. 在同一直角坐标系中，A（＋1，8）与B（－5，－3）关于轴对称，则＝___________，＝___________.

11．如图所示，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，线段DE＝_______．

12. （2016春•淄博期中）如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=　   　．

13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．

14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为        .

15.（2014•徐州模拟）如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为　        　cm2．

16. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________。

三.解答题

17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC，求证AE平分∠BAC．

18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，过F作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝，AQ＝．

    （1）写出与之间的关系式；

（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

19．（2014•清河区三模）阅读理解：

如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是△ABC的边AB上的和谐点．

解决问题：

（1）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，试找出边AB上的和谐点P，并说明理由．

（2）已知∠A=40°，△ABC的顶点B在射线l上（图3），点P是边AB上的和谐点，请在图3中画出所有符合条件的B点，并写出相应的∠B的度数．

20．已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N.

求证：∠ADB＝∠CDN

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

【解析】作出对称轴，将图形还原即可.

2. 【答案】C；

   【解析】由题意，∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠FBC，所以∠EBF＝∠ABC＝45°，故选C．

3. 【答案】B；

【解析】①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；

②两个能重合的图形一定关于某条直线对称，错误；

③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；

④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧，错误；

⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等，错误；

        综上所述，正确的只有①③共2个.

4. 【答案】B；

5. 【答案】B；

【解析】点B的纵坐标和点A一样，（横坐标＋4）÷2＝－3，解得横坐标为－10.

6. 【答案】B；

【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=AC，

∵AC=1，

∴DE=．

故选：B．

7. 【答案】C；

   【解析】∠A＝∠DOE,∠B＝∠HOG,∠C＝∠EOF,所以∠2＝360°－180°－129°＝51°.

8. 【答案】B；

   【解析】连接AD，易证三角形ABD为等边三角形，CE＝DE＝1，AE＝DE＝2，所以AC＝AE＋CE＝2＋1＝3.

二.填空题

9. 【答案】4；

【解析】因为AE＝CE，∠＝90°，所以为AC的中点.AC＝2AB＝4.

10.【答案】；

   【解析】由题意＋1＝－5，3－＝8，解得.

11．【答案】9；

【解析】因为DE∥BC， 所以∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， 因为∠FBC＝∠FBD，∠FCB＝∠FCE， 所以∠FBD＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， 所以BD＝DF，CE＝EF， 所以BD＋CE＝DF＋FE＝DE，所以DE＝BD＋CE＝9．

12.【答案】5cm；

【解析】过M作MF⊥AC于F，∵AM是∠BAC的角平分线，∴MD=MF，∠BAM=∠CAM，

∵ME∥BA，∴∠AME=∠BAM，∴∠CAM=∠AME=∠BAC=×30°=15°，

∵∠CEM是△AME的外角，∴∠CEM=∠CAM+∠AME=15°+15°=30°，

在Rt△MEF中，∠FEM=30°，∴MF=ME=×10=5cm，∴MD=MF=5cm．

13．【答案】40°；

【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 又∵∠OBC＝∠OCA，

∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB）， ∵∠BOC＝110°，

∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝140°，

 ∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．

14.【答案】4；

【解析】过D作DP⊥BC，此时DP长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.

15.【答案】2；

   【解析】解：如图，延长AP交BC于D，

∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，

∴AP=PD，

∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP，

∴△PBC的面积=S△DBP+S△DCP=S△ABC=×4=2cm2．

故答案为：2．

16.【答案】15；

【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝，EF＝，则有＋1＋3＝＋＋2＝3＋3＋2＝8所以＝4，＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.

三.解答题

17．【解析】

证明：延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，

    在△DEF和△CEG中，

    ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，

∴△DEF≌△CEG，

∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，

    ∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，

    ∵DF＝AC，∴GC＝AC，

    ∴∠G＝∠CAE，

    ∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．

18．【解析】

解：（1）∵△ABC为等边三角形，

    ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2．

    在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝60°，

    ∴∠BPE＝30°，

    而BP＝，∴BE＝，EC＝2－，

    在△CFE中，∵∠C＝60°，EF⊥CF，

    ∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－x，

    同理在△FAQ中，可得AQ＝＋，

    而AQ＝，所以＝＋（0＜≤2）．

    （2）当点P与点Q重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，

    ∴＋＝2，所以

    解得＝．

∴当BP的长为时，点P与点Q重合．

19．【解析】

解：（1）AB边上的和谐点为AB的中点；理由如下：∵P是AB的中点，∴PC=AB=PA=PB，∴△ACP和△BCP是等腰三角形；

（2）所有符合条件的点B有3个，如图3所示：∠B的度数为35°、50°、80°．

20.【解析】

证明：作∠BAC的角平分线交BD于H

∴∠BAH＝∠CAH＝45º

∵AB＝AC,

∴∠ABC＝∠C＝45 º

∴∠BAH＝∠C

∵AN⊥BD于M，

∴∠AMD＝90º

∴∠NAD＋∠ADB＝90º

∵∠BAC＝90º

∴∠ABD＋∠ADB＝90º

∴∠ABD＝∠NAC

在△ABH与△CAN中

∴△ABH≌△CAN

∴AH＝CN

∵D为AC边上的中点

∴AD＝CD

在△AHD与△CND中

∴△AHD≌△CND

∴∠ADB＝∠CDN．