真题重组卷02——2023年中考数学真题汇编重组卷（四川成都市专用）

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绝密★启用前
冲刺2023年中考数学精选真题重组卷02
数 学（成都市专用）
（全卷共26题，满分150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（       ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
【答案】C
【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确       B. 2与互为倒数，故选项B不正确；       
C. 0的相反数是0，故选项C正确；       D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．故选C．
【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
2．（2022·北京·中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
∴262 883 000 000，故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题关键．
3．（2022·四川雅安·中考真题）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（　　）


A．9.3，9.6 B．9.5，9.4 C．9.5，9.6 D．9.6，9.8
【答案】C
【分析】根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与众数即可．
【详解】解：由图可知，10次的成绩由小到大依次排列为8.8、9.0、9.2、9.4、9.4、9.6、9.6、9.6、9.8、9.8，
∴10次成绩的中位数为，众数为9.6，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了中位数、众数．解题的关键在于熟练掌握中位数与众数的定义与求解方法．
4．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（       ）

A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
5．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；，解得；，解得；
∵-8<2<4，∴，故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
6．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（       ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
【详解】解： ，
故选C
【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键．
7.（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
8．（2022·湖北恩施·中考真题）已知抛物线，当时，；当时，．下列判断：①；②若，则；③已知点，在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，，则．
其中正确的有（       ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用根的判别式可判断①；把，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：∵a=>0，开口向上，且当时，；当时，，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，∴；故①正确；
∵当时，，∴-b+c<0，即b>+c，∵c>1，∴b>，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x=b，且开口向上，
当x ∵方程的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2b，
∵当c>1时，b>，∴则x1+x2>3，但当c<1时，则b未必大于，则x1+x2>3的结论不成立，
故④不正确；综上，正确的有①②③，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
10．（2022·贵州遵义·中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．

【答案】33792
【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，

根据题意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，故答案为：33792．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．
11．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】∵直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴，，∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数（），当，时，函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小．
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，整理得到：，
∵分式方程的解大于1，∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
13．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．

【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，
∴，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2022·四川成都·中考真题）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【解析】解：（1）===1．
（2）
不等式①的解集是x≥-1；不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（2022·湖南长沙·中考真题）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率

15
0.1

a
0.2

45
b

60
c

(1)表中___________，___________，___________；(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【答案】(1)30，0.3，0.4(2)见解析(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
(1)，，，故答案为：30，0.3，0.4；
(2)频数分布直方图如图所示：

(3)用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：

A
B
C
d
A

BA
CA
dA
B
AB

CB
dB
C
AC
BC

dC
d
Ad
Bd
Cd


共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．（2022·湖南常德·中考真题）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，）

【答案】70
【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解．
【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形，，

，，在中，米，
，，，
，解得，
顶端到的距离为40米，即米米．
米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
17．（2022·辽宁大连·中考真题）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．

(1)如图1，求证；(2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明，，即可得出；（2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
【解析】(1)解：∵ ，∴，∵ 是的切线，∴，
在和中，，，∴；
(2)解：如图，连接AC．

∵ 的半径为2，∴，，
∵ 在和中，，，
∴，∴，即，∴，
在中，由勾股定理得：，∴．
∵ ，经过的圆心，∴，∴．
∵是的直径，C是上一点，∴，
在中，由勾股定理得：，∴．
在中，由勾股定理得：，∴．
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键．
18．（2022.七中育才二诊模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
（1）求、的值；（2）如图1，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点．若，求的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（2）将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值；（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当时，当时，当时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
【解答】解：（1）作轴于，如图

，，，
直线经过点，，解得，直线解析式为：，，
，，，点坐标为，将点坐标代入，得．
（2）轴，点的纵坐标为3，代入，得，点坐标为，
将点横坐标代入，得，，点纵坐标为，
代入，得，点坐标为，，解方程得或（舍，．
（3）存在，理由如下：如图2，过点作轴于点，
由（2）知，，直线的解析式为：，，，
，，．，．
Ⅰ、当时，如图2所示，设与交于点，
由（2）知，轴，，，，
设，则，在中，由勾股定理可得，，解得；
；，，直线的解析式为：；
①若，则，不符合题意，舍去；
②若，，即，解得，
设，，解得，负值舍去，；
Ⅱ、当时，①若，如图4，，，
，即点在上，，
，，，直线的解析式为：；
②若，，即，解得，
设，，解得，负值舍去，，；

Ⅲ、当时，，直线的解析式为：；
①若，则，不符合题意，舍去；
②若，如图5，，即，解得，
设，，解得，正值舍去，，；
综上，符合题意的点的坐标为：或或，或，．
【点评】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
20．（2022·黑龙江·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_____．
【答案】或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，解得或，故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
21．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．

【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，，由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：

【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
22．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是
【答案】-13
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，∴，解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
23．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．

【答案】     80     ##
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：

∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，
∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2022·湖北武汉·中考真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…

(1)根据表中的数据在下图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本），
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元）时的销售单价．
【答案】(1)图象见解析，y与x的函数关系式为：
(2)①w关于x的函数关系式为：w=；当w取最大值，销售单价为34元；
②（元）时的销售单价为30元
【分析】（1）根据表格描点连线即可做出函数图像，然后利用待定系数法，将表格中数值代入进行求参数即可；（2）①由（1）中关系式可求得w=，结合函数的性质可知当w取最大值，销售单价为34元；②解方程，可知，，根据超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，可知符合题意．
(1)解：作图如图所示，

由图可知，y与x是一次函数关系，设y与x的函数关系式为：，
将x=20，y=30；x=40，y=10，代入得，，解得：，
即y与x的函数关系式为：；
(2)①由题意可知w关于x的函数关系式为：w==，
∴当x=34时，w取最大值，最大值为：256元，即：当w取最大值，销售单价为34元；
②当时，，解得：，，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴，即（元）时的销售单价为30元．
【点睛】本题主要考查的是一次函数及二次函数得应用，掌握函数及图象的性质，能够整合题中条件是解题的关键．
25．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．

(1)求，的值；(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)
(3)存在这样的点，点的坐标为或
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得；
（2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；
（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案．
(1)解：∵抛物线经过，两点，
∴，解得．
(2)解：由题意，设直线的解析式为，
当时，，即，，
则的面积为，设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，
联立，解得，则点的坐标为，
所以的面积为，
因为与的面积相等，所以，
解得或（不符题意，舍去），经检验，是所列分式方程的解，
所以直线的解析式为．
(3)解：抛物线的对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，
，，设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：①如图，当以为一边的矩形是矩形时，

则，，，
，，在和中，，
，，即，解得，，
矩形的对角线互相平分，，解得，
将点代入得：，解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，
则，同理可证：，
，即，解得，，，
矩形的对角线互相平分，，解得，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．
26．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．

(1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析(2)①5；②或
【分析】（1）证明出即可求解；
（2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE．
(1)证明：如图1，

∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．
∵，∴，∴，∴；
(2)①解：如图2-1，连接AM．
∵，∴是直角二角形．∴．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．∴的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N，

∴．∴．
设，则，∴．
∵，∴，∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，∴．∴，解得，即．
（求AF的方法二）如图2-3，过点G作交BC于点H．
∴．∴，
由①知的最小值为5，即，
又∵，∴．∴，．
由得，∴，即，
解得．∴．
由（1）的结论可得．设，则，
∴，解得或．
∵，，∴或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．