2022-2023年苏科版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题02 平面图形的认识（二)平移、三角形、多边形（原卷版 解析版）

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专题0 2平面图形的认识（二)——平移、三角形、多边形














一、图形的平移性质
性质:①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等。
二、平移作图
平行线之间的距离性质：平行线间的距离处处相等

1. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（△ABC与△DEF相等）。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB）

三、认识三角形
（2）按边分：
1.三角形的分类
底和腰不等的等腰三角形
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（1）按角分：

三角形


2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言



作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形



符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
四、多边形的内角和与外角和
1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于.
2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.
要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
五、 拓展方法
1. 三角形的高与角平分线夹角公式

AE是角平分线、AD是高：
2. 中线平分面积
E为AD的中点：

3. 三角形的折叠公式



图1：折边上、∠1＝2∠A

图2：折边内、∠1+∠2=2∠A

图3：折边外、∠1-∠2=2∠A
4. 角平分线公式（两内、两外、一内一外）

OB平分∠ABC、OC平分∠ACB——





BP平分∠CBD、CP平分∠BCE——








BD平分∠ABC、CD平分∠ACE——

5. 三角形n等分角
的等分线分别交于点
∵分别是和的n等分线，
，
，

6. 三角形八字型




图1.∠A+∠B=∠C+∠D
图2.∠B+∠D=2∠E
7. 三角形的五心


重心：中线交点

内心：角平分线交点

垂心：高的交点

外心：中垂线的交点

旁心：两个外角平分线和另一个内角平分线



8. 多边形截角
三种截法：
1. 延两边截
2. 延一边一顶点截
3. 延两顶点截
【专题过关】
类型一、平移网格画图
【解惑】
（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

(1)画出中AB边上的高CH（要求用铅笔作图，加黑加粗，并标出点H的位置）；
(2)画出向右平移4格、向上平移2格后的（A、B、C的对应点依次为D、E、F）；
(3)连接AD、BE，那么AD与BE的关系是________；
(4)若点P是正方形网格内异于点B的格点，则满足和的面积相等的P点有____个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
(4)4
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（3）利用平移变换的性质判断即可；
（4）利用等高模型作出点P即可．
（1）
如图，线段CH即为所求
（2）
如图，△DEF即为所求
（3）
，，
故答案为：，
（4）
如图，满足条件的点P有4个，
故答案为：4．

【点睛】本题考查作图—平移变换三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，利用等高模型解决面积问题.
【融会贯通】
1．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为3，则阴影部分的面积为（　　）

A．20 B．18 C．15 D．26
【答案】B
【分析】由，推出即可解决问题．
【详解】解∶平移距离为3，





∴阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．
2．（2022春·甘肃武威·七年级校考期中）下列几幅鲸鱼的图案，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，不符合题意；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，不符合题意；
C、由图中所示的图案通过旋转而成，不符合题意；
D、由图中所示的图案通过平移而成，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平移的性质；熟练掌握平移前后图形的形状、大小不变，只是改变了位置是解题的关键．



3．（2023春·福建莆田·七年级期中）如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长度是_____．

【答案】5
【分析】根据平移可知，即可证，则有，问题得解．
【详解】根据平移可知：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到是解答本题的关键．
4．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．

(1)在图中画出平移后的．
(2)若连接从，，则这两条线段的关系是______．
(3)过点作直线，将分成两个面积相等的三角形，在图中画出直线．
(4)若点是网格上一点（不与重合），且与面积相等，则满足条件的点共有______个．
【答案】(1)答案见解析
(2)平行且相等
(3)答案见解析
(4)4

【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等可得，；
（3）根据三角形的中线平分三角形的面积可得就是中线所在直线，因此根据网格图可得的中点位置，再画直线即可；
（4）以为邻边作平行四边形，分别过、作平行线，即可得到点．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：如图所示，

根据平移的性质：对应点连线平行且相等可得，，
故答案为：平行且相等；
（3）解：如图所示；

（4）解：如图所示，满足条件的点共有4个．

【点睛】本题考查的是平移变换作图以及平移的性质，三角形的中线性质，三角形的面积，正确地作图是解题的关键．
5．（2022春·河北保定·八年级校考期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

(1)画出；
(2)画出的高BD；
(3)若连接、，那么与的关系是______，的面积为______．
(4)在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等，7.5；
(4)8个

【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．

（2）解：如图，BD即为所求作．

（3）解：∵△ABC经过平移后得到，
∴，；
的面积．
故答案为：平行且相等，7.5．
（4）解：满足条件的点Q有8个．

【点睛】本题主要考查平移作图、平移的性质、三角形的面积、三角形的高等知识，灵活掌握平移作图及其性质是解答本的关键．
类型二、无刻度尺作图
【解惑】
（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）图①、图②均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△OABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求
画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；
(2)在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由图可知∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质，连接格子的对角线即可，
（2）根据三角形中线的性质，找到BC边的中点即可．
【详解】（1）如图：

（2）如图：

【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线和中线，熟练掌握三角形的角平分线和中线的定义是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2023·浙江金华·校考一模）如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点、、均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．

(1)在图1中的上画出的高线；
(2)在图2中的上找出一点，画线段，使得将分成面积比为两部分；
(3)在图3中的上找一点，画，使得．
【答案】(1)答案见解析，即为所求
(2)答案见解析，，即为所求
(3)答案见解析，点即为所求

【分析】（1）根据网格中横向对角线与纵向对角线垂直，作图求解；
（2）在线段上截取或，连接，即可；
（3）由网格判断出，取格点，连接，使且交于点，利用等腰三角形角度关系及互余定义即可得到点即为所求作．
【详解】（1）解：如图所示：

即为所求；
（2）解：如图所示：

，即为所求；
（3）解：如图所示：

，
，
，
，
点即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则、三角形角度关系是解题的关键．
2．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，

(1)仅用无刻度的直尺，过点C作的平行线、过点C作的垂线，垂足为F（其中D、E为格点）；
(2)比较大小：__________，理由是：____________________；
(3)连接和，若图中每个最小正方形的边长为1，则的面积是__________．
【答案】(1)见详解
(2)，垂线段最短
(3)4
【分析】（1）如图，取格点D、E，连接，，与交于点F，问题得解；
（2）根据垂线段最短即可作答；
（3）采用割补法即可求解．
【详解】（1）取格点D、E，连接，，与交于点F，如图，

即满足：，，
证明：网格点M、N，连接、、，如图，

∵根据网格图可知：，，
∴，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴．
（2）∵，
∴根据垂线段最短，可得，
故答案为：，垂线段最短；
（3）如图，

结合网格图，
可得：，
即的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了基本作图，割补法求图形的面积，垂线段最短等知识.解题的关键是利用方格纸的特点正确的作出图形．


3．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)如图1，利用无刻度的直尺和圆规，连接并延长至C，使得．

(2)如图2，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点）．

①找出格点D，画的平行线；
②找出格点E，画的垂线；
③计算格点的面积为___________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③

【分析】（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于一点C，则此时；
（2）①根据方格特点，找出格点D，连接即可；
②根据方格特点，找出格点E，连接即可；
③用所在长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案．
【详解】（1）解：线段即为所求作的线段，如图所示：

（2）解：①如图，即为所求作的平行线；
②如图，即为所求作的垂线；

③，
即格点的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，在方格中作垂线和平行线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握基本作图方法．
4．（2023秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．

(1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形；
(2)在图2中，找一个格点H，连接，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可；
（2）根据网格的特点求解即可．
【详解】（1）如图1所示，即为所要求作的直角三角形，
（2）如图2所示，点H即为所要求作的点，

【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的概念，正确借助网格分析是解题关键．
5．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，与要求写出做法．

(1)在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
(2)在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
(3)在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为6，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据三角形的面积的求法进而得出答案．
【详解】（1）解：如图①所示，即为所求；

（2）解：如图②所示，即为所求；

（3）解：如图③所示，四边形即为所求；
【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，作出中边上的中线．
(2)如图2，作出中边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用网格找到的中点D，连接即可．
（2）延长，利用网格，作即可．
【详解】（1）如图1，即为所求．

（2）如图2，即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的中线与高线，熟练掌握三角形的中线与高线的定义是解答本题的关键．
类型三、三角形三边关系
【解惑】
（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）若a、b、c表示的三边长，则____________．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】∵a，b，c是的三边，
∴，，，
∴，，，
∴

．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）
A．2，2，2 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，2，4
【答案】A
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：A、，故能组成三角形，符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．
2．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．3，4，5
C．1，4，6 D．2，3，7
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能否组成一个三角形．
【详解】解：A、因为，所以1，1，2不能组成三角形；
B、因为，所以3，4，5能组成三角形；
C、因为，所以1，4，6不能组成三角形；
D、因为，所以2，3，7不能组成三角形；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．（2022秋·江西宜春·八年级统考期中）若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再进行判断即可．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：，
即，
∴a的值可以是7，
故选C．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．
4．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）已知，，若长为整数，则长为（　　）
A．3 B．6 C．3或6 D．3或4或5或6
【答案】D
【分析】分三种情况：①A，B，C三点在同一条直线上，点B在线段上，；②A，B，C三点在同一条直线上，点B在的延长线上，；③A，B，C三点不在同一条直线上时，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：当A，B，C三点在同一条直线上，点B在线段上时，
；
当A，B，C三点在同一条直线上，点B在的延长线上时，
；
A，B，C三点不在同一条直线上时，
，即，
，
长为整数，
或，
综上可知，长为3或4或5或6．
故选D．
【点睛】本题考查线段的和差关系、三角形的三边关系，解题的关键是注意分情况讨论．
5．（2022秋·广东惠州·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别是2和5，则第三边长c的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是2和5，
∴第三边长c的取值范围是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．
6．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）一个三角形的三边分别是x，3，5，那么这个三角形的边长的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：∵三角形的三边分别是x，3，5，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题．

类型四、三角形三条重要线段关系
【解惑】
（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在中，是的高．

(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．
(2)如图2，延长到点，和的平分线交于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论；
（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数．
【详解】（1）解：，，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
；
（2）解：和的角平分线交于点，
，，
，，
，
即，
是的高，
，
．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．
【融会贯通】
1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等积法求出点到直线的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出．




2．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
【详解】解：平分，
，
是边上的高，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
3．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）如图，在锐角三角形中，和分别是和边上的高，且和相交于点P，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，高线，即可推出，然后由为的外角，根据外角的性质即可推出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
为的外角，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出和的度数．
4．（2023春·八年级单元测试）如图，，，且的面积为12，则底边上高的长度为______．

【答案】4
【分析】先利用的面积求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为4．
【详解】解：如下图，过A作于E，

∵的面积为12，，
∴，
∴，
过C作于F，
∵，
∴，
∴点C到的距离是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等．
5．（2023春·江苏·七年级校考周测）如图，已知分别是的高线、角平分线和中线，

(1)若，求的度数；
(2)若，的面积为30，求的长．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义计算即可；
（2）根据题意求得，然后根据三角形面积公式即可求得的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵的面积为30，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为．也考查了三角形的面积．
类型五、中线平分面积
【解惑】
（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为______．

【答案】
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
【详解】解：点D，E，F分别为，，的中点，的面积为，
，
，
四边形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．
【融会贯通】
1．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（    ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【分析】根据是的中线得，根据E是的中点得，，然后根据求解即可．
【详解】∵是的中线，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．
2．（2022秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点且的面积是，则阴影部分面积等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【详解】解：如图，点F是的中点，

∴的底是，的底是，即，而高相等，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，且的面积是，
∴，
即阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
3．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）如图，D为上一点，，E为上一点，，，则为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据得到，根据得到，从而可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等底同高的三角形面积的关系．
4．（2022秋·河南焦作·八年级统考期末）如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积等于，则阴影部分面积为______．

【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
阴影部分面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，点是的边上的点，，是上任意一点，是的中点，已知的面积为，则的面积为______．

【答案】
【分析】根据中点的性质得出，继而得出，则，根据，得出，即可求解．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
则，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．




6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，在中E是上的一点，，点D是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则______．

【答案】##
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则
，则，然后利用
即可得到答案．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，






；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．
类型六、三角形的折叠
【解惑】
（2021秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____．

【答案】##110度
【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【融会贯通】
1．（2022秋·广东惠州·八年级统考期中）如图，把纸片沿折叠，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质得，，再根据三角形内角和即可得到．
【详解】解：由折叠的性质得，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
2．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（      ）

A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【分析】根据，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，得到，结合代入计算即可．
【详解】因为，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】．根据折叠的性质，得到，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．

4．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于 _____．

【答案】##120度
【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，然后根据平角等于解答．
【详解】解：，
，
沿向内折叠，得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．
5．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，则______．

【答案】##
【分析】由可得，根据翻折的性质可得，然后分两种情况画图，结合三角形的内角和和三角形的外角性质，即可解答．
【详解】解：当点落在AC上方时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿翻折，使点落在点处，
∴，
∴；

当点落在AC下方时，如图，

由翻折的性质可得：，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换、平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，正确分类、熟练掌握翻折的性质是关键．





类型七、三角形的角平分线
【解惑】
（2022秋·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧，在中，与的平分线相较于点P．

(1)如图1，如果，求的度数．
(2)在（1）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点Q，求的度数．
(3)如图3，作的外角，的平分线交于点Q，延长线段，交于点E，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或或时，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍

【分析】（1）先求，然后根据角平分线定义可求，最后根据三角形内角和定理即可求的度数；
（2）在（1）的条件下，可求，然后根据角平分线定义可求，最后根据三角形内角和定理即可求的度数；
（3）在中，可求，，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线相较于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵的外角，的平分线交于点Q，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①当时，则，∴；
②当时，则，∴，∴；
③当时，，∴；
④当时，，∴；
故当或或时，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键
【融会贯通】
1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线上，
∵、分别平分的内角，外角，

∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确．
②∵、分别平分的内角、外角，
∴，
∴，故②正确．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确．
④∵
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
2．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则____．

【答案】70
【分析】根据三角形内角和定理可得，设，则，再由分别平分和，可得，，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵分别平分和，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
即．
故答案为：70
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键．
3．（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，的两条角平分线和相交于点，若，则_____．

【答案】
【分析】由，，得，由得，由的两条角平分线和相交于点得，从而得到，由，从而可得到的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
的两条角平分线和相交于点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，关键是根据三角形内角和为和角平分线的定义解答．

4．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，中，和的平分线交于点D，，_____________．

【答案】##50度
【分析】首先根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质，可得，进而即可求解．
【详解】∵的平分线与的外角的平分线相交于点D，
∴，
∵是的外角，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和三角形外角的性质，是解题的关键．
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图①，在中，与的平分线相交于点．

(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)，理由见解析

【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，由此利用三角形内角和定理求出答案即可；
（2）先根据三角形外角的性质和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

类型八、三角形的n等分角
【解惑】
（2020·全国·九年级统考专题练习）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①40，②90，③70°

【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；
（2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值；②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案．③由②方法，进而可得答案．
【详解】（1），理由如下：
连接并延长至点F，

由外角定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）的结论易得：，
∵，，
∴，
故答案是：40；
②由（1）的结论易得，，
∵，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
③由②知，，
∵，
∴设为，
∵，
∴，
∴，
∴为70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

【融会贯通】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，的三等分线交于点E，D．若，则的度数为（    ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出即可解决问题．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
∵，的三等分线交于点E、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级开学考试）已知中，．在图1中的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设的两条三等分角线分别对应交于，则_______．

【答案】
【分析】首先根据三角形内角和定理可得，再由三等分角线可得，由三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵的两条三等分角线分别对应交于，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．

【答案】     60°+α    
【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；
∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；
在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，
∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，
故答案为：60°+α，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
4．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）已知△ABC中，∠A=x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，则用x表示______°，如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，则用x表示______°

【答案】         
【分析】根据角的n等分线的定义和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图1所示，在△ABC中∠A=x°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，同理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角n等分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
5．（2021春·江苏连云港·七年级统考期中）已知：在中，．
【感知】在图中、的角平分线交于点，则可计算的角度，请写出计算过程；

【探究】（1）在图中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，请你计算出的度数；

（2）请你猜想，当/、同时被n等分时，条等分角线分别对应交于、…，如图，则_________（用含n和a的代数式表示）．

【拓展】如图，在四边形ABCD中，，当、同时被n等分时，条等分角线分别对应交于、…，如图，则的度数是_______．

【答案】感知：，过程见解析；探究：（1）；（2）；拓展：
【分析】（感知）根据三角形的内角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义算出，最后再根据三角形内角和定理求解即可；
（探究）（1）根据三角形的内角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根据三等分角线的定义算出，最后再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形的内角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根据n等分角线的定义算出，最后再根据三角形内角和定理求解即可；
（拓展）根据四边形的内角和等于360°，∠A+∠D=200°，则∠ABC+∠DCB=160°，再根据n等分角线的定义算出，最后再根据三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：（感知）∵，分别平分，
∴，

，
∴
                         
（探究）（1）,的两条三等分角线分别对应交于，
，


（2），
∴
∵，分别是，的n等分角线
∴
∴

（拓展）∵∠A+∠D=200°
∴∠ABC+∠DCB=160°
，分别是，的n等分角线


【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
6．（2020春·贵州毕节·七年级统考期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：

（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）直接写出的度数．
【答案】（1）100°；（2）60°；（3）．
【分析】（1）根据已知条件可知，根据分别是和的二等分线，可知，由此即可求解；
（2）根据分别是和的四等分线，可知，由此即可求解；
（3）根据（1）（2）题找到规律，得到，然后求出n-1=2020时的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵分别是和的二等分线，
，
∴．
（2）∵分别是和的四等分线，
，
，
（3）∵分别是和的n等分线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角n等分线的计算、三角形内角和定理，理解题意找到规律，求得、的度数是解题关键．

类型九、八字型
【解惑】
（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“字型”．

(1)求证：．
(2)如图所示，，则的度数为______．
(3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，
①若，，求∠的度数．
②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②，见解析

【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）三角形外角的性质得出，进而得出，继而得出结论．
（3）①根据“字型”模型得出，，两等式相减得到，即，然后把，代入计算即可．
②根据“字型”模型得出，，继而得出，从而得出．
【详解】（1）证明：在图中，有，，
，
；
（2）解：如图所示，

，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）①以为交点“字型”中，有，
以为交点“字型”中，有
，
、分别平分和，
，，
，
，，
．
②，其理由是：
∵，，
∴，，
以M为交点“8字型”中，有，
以N为交点“8字型”中，有
∴，
．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用三角形外角的性质转化角的关系是解题关键，同时也考查了角平分线的定义．

【融会贯通】
1．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”试解答下列问题：

(1)在图中，写出、、、之间关系；
(2)如图，在（1）的结论下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、．
仔细观察，在图中有______个以线段为边的“字形”；
若，，试求的度数；
和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系，不需说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③

【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）①根据图像，即可得到答案；
②根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
③根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证．
【详解】（1）解：，，
而，
；
（2）解：①由图可知，以为交点的“字形”有个，以为交点的“字形”有个；
②，，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
，
故答案为：；
③根据“8字形”数量关系，，，
所以，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
整理得，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．










2．（2020·浙江杭州·八年级专题练习）（2017公益周考卷）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，和的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：
（1）在图1中，直接写出，，，之间的数量关系；
（2）图中有几个八字模型？
（3）在图2中，与为任意角，试探究与，之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由

【答案】（1）；（2）6个；（3），证明见详解.
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）可以以三角形的公共点为中心寻找；
（3）利用（1）中所得到得结论，列出两组关系式，然后结合角平分线性质即可得证；
【详解】（1） 在和中：
, ,且

（2）一共有6组，分别是：和,和,和，和，和，和；
（3） ,证明如下：
由（1）得：


又 和分别是和的平分线


【点睛】本题主要考查了三角形的“8”字模型，充分理解“8”字模型的结论，并利用它进行角度的计算是解决本题的关键.
3．（2019春·江苏泰州·七年级校考期中）解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　；
②如图4，　　．
（4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数．

【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .
【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；
（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；
②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；
（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）．理由如下：
如图1，，，
，
；
（2）．理由如下：
在中，，
在中，，
，
；
（3）①，，
、分别平分和，
，
．
故答案为．
②连结．
∵，
．
故答案为；

（4）由（1）知，，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．
4．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校考阶段练习）如图①，线段相交于点O，连接．我们把形如图①的图形称之为“8”字形．如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M、N．解答下列问题：

(1)在图①中，、、、之间的数量关系为______；
(2)仔细观察，在图②中“8字形”有______个；
(3)在图②中，若，，试求的度数；
(4)若图②中和为任意角，其他条件不变，则与、之间的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)6
(3)35°
(4)

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出．
【详解】（1），，
；
故答案为；
（2）①线段、相交于点，形成“8字形”；
②线段、相交于点，形成“8字形”；
③线段、相交于点，形成“8字形”；
④线段、相交于点，形成“8字形”；
⑤线段、相交于点，形成“8字形”；
⑥线段、相交于点，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；
故答案为6．
（3），①
，②
和的平分线和相交于点，
，，
①②得：
，
即，
又，，
，
；
（4）关系：．
如图2，

由①
由，②
①②得：
，
和的平分线和相交于点P，
,
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．


类型十、多边形角度与边数
【解惑】
（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数．
【答案】
【分析】根据一个外角和对应的内角和为180度，列方程求解即可．
【详解】解：设这个“整数多边形”的一个外角度数为，则它的一个内角的度数为，由题意，得
．
解得．
∴这个“整数多边形”的边数为．
【点睛】此题考查了求多边形的边数，解题的关键是根据题意找出一个外角和内角和为180度列方程求解．

【融会贯通】
1．（2023秋·云南西双版纳·八年级西双版纳州第一中学校考期中）如图，小亮从A点出发前进5m，向右转，再前进5m，又向右转…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（    ）m．

A．24 B．60 C．100 D．120
【答案】D
【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为，
则一共走了米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可．
2．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．


3．（2020秋·浙江杭州·八年级杭州市杭州中学校考期中）如图三角形纸片，剪去角后，得到一个四边形，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求三角形除去角后的度数和则根据多边形的内角和等于即可求得的度数．
【详解】解：根据三角形的内角和定理得：
三角形除去角后的度数和：，
则根据四边形的内角和定理得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查四边形的内角和，解题的关键是掌握四边形的内角和为及三角形的内角和为．
4．（2021秋·广东江门·八年级江门市江海区外海中学校考期中）如下图，的度数为（    ）

A．540° B．500° C．460° D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键．
5．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）一个多边形的每个内角都等于， 则这个多边形是_________边形；如果一个多边形的对角线条数是条，则这个多边形的内角和是____________
【答案】     ##十二     ##900度
【分析】多边形的每个内角都等于，可求出对应角的外角，根据外角和定理即可求解；一个多边形的对角线条数是条，根据多边形的边数为，则对角线的条数为，由此即可求解．
【详解】解：（1）多边形的每个内角都等于，
∴对应的外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的边数为，
故答案为：；
（2）设多边形的边数为，
∴对角线的条数为，解方程得，（舍去），，
∴多边形的边数是，
∴该七边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形的知识，理解并掌握多边形的内角和定理，外角和定理，对角线的计算公式是解题的关键．
6．（2022秋·河南漯河·八年级统考期中）求图形中x的值为_________ °．

【答案】
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：115．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解一元一次方程，属于基础题型，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式：变形内角和等于．
7．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______．

【答案】##50度
【分析】延长交于点H，根据，得到，结合，得到，结合计算即可．
【详解】如图，延长交于点F，

因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键．


类型十一、多边形截角
【解惑】
（2022春·上海·八年级校考期中）将一个多边形截去一个角后所得的多边形内角和为2880°，则原多边形的边数为 _____．
【答案】17或18或19
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n-2）•180°=2880°解得：n=18，
则多边形的边数是17或18或19．
故答案为：17或18或19．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解
【融会贯通】
1．（2022秋·北京西城·八年级校考期中）如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的内角和为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据n边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
2．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11
【答案】D
【分析】首先求得内角和为1440°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为1440°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=1440，
解得：n=10．
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，求出原来多边形的边数是关键．
3．（2022春·湖南怀化·八年级统考期中）下列说法正确的是（　　）
A．过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成（n﹣3）个三角形
B．三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值
C．将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°
D．一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角和定理与外角和定理即可得到结论．
【详解】A、过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成(n-2)个三角形，故不符合题意；
B、三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性也有利用价值，故不符合题意；
C、将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°或180°或360°，故不符合题意；
D、一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．
4．（2022春·山东泰安·六年级校考期中）将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为，那么原多边形的边数是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】先根据多边形的内角和公式（n−2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据图中截去一个角后边数增加1进行计算即可．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n−2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∵截去一个角后边上增加1，
∴原来多边形的边数是11，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
5．（2021春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是___________．
【答案】或或
【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和是，
∴，
解得：，即原多边形是七边形，
因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形的边数减少了1条边，内角和；
当多边形的边数不变，内角和；
当多边形的边数增加一条边，内角和．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．
6．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）一个多边形剪去一个角后，内角和为，则原多边形是___________边形．
【答案】或或
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少三种情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数是，则，
解得，
截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多或少，
原多边形的边数是或或．
故答案是：或或．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少，有这么三种情况．
7．（2022春·山东烟台·六年级校考期中）（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 _____；
（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 _____．
【答案】     36°##36度     6或7
【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．
（2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．
故答案为：36°；
（2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7．
故答案为：6或7．