2022-2023年苏科版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题03 幂的运算（原卷版 解析版）

专题03幂的运算

一、同底数幂的乘法性质

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.

二、幂的乘方

（1）公式的推广： (，均为正整数)

（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

三、积的乘方

（1）公式的推广： (为正整数).

（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：

四、同底数幂的除法

（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.

（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.

（5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.

（6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.

五、科学记数法

，

六、拓展方法：

1. 同底数幂的新定义

初级：以模仿为主，难度偏低

中级：理解题意，根据学过的知识举一反三

高级：自己能创造题目，给出定义

2. 同底数幂中比较大小

比较355，444，533的大小．

方法:55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解:∵，，，∴．

3.   积的乘方凑整

方法：1.化为同指——

2. 将凑整，再求解

4.同底数幂除法逆用

已知求的值.

方法：1.同底数幂相除，底数相同，指数相减——=96

      2.把当成整体转化成一元一次方程，求解即可

5.同底数幂归纳演绎推理

求l+2+22+23+24+…+22019的值．

方法：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①

则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②

②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l

【专题过关】

类型一、幂的简单运算

【解惑】

（2022秋·吉林长春·八年级校考期中）已知，，．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)直接写出字母、、之间的数量关系为______．

【融会贯通】

1．（2021秋·福建泉州·八年级统考期中）若且，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．

2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）计算的结果是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）下列运算正确的是（　　）

A．  B．  C．  D．

4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022春·山东济南·七年级校考期中）计算：_____．

6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）（1）     

（2）

7．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算：．

类型二、科学记数法

【解惑】

空气的密度是，用小数把它表示出来．

【融会贯通】

1．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分．在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构．细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示应写成（    ）

A． B． C． D．

2．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）据《经济日报》报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到，主流生产线的技术水平为，中国大陆集成电路生产技术水平最高为．将用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·江苏·七年级专题练习）某微生物的直径为，则原数为（　　）

A． B． C． D．

5．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期末）用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

6．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为克，将用科学记数法表示为______．

7．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 _____．

类型三、积的乘方

【解惑】

（2022春·陕西西安·七年级统考期中）计算：．

【融会贯通】

1．（2022春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，那么的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

2．（2022春·安徽合肥·七年级统考期中）已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（     ）

A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z

3．（2020春·浙江·七年级期中）若，，则_________．

4．（2020秋·山东德州·八年级统考期中）计算：___________；若，则___________．

5．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）已知：，求的值；

6．（2022秋·内蒙古通辽·八年级统考期中）计算

(1)；

(2)；

7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）计算：

(1)．

(2)

(3)先化简，再求值：，其中，；

(4)已知，求的值．

类型四、同底数幂新定义

【解惑】

（2023春·七年级课时练习）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．

(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；

(2)“劳格数”有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）

(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．

【融会贯通】

1．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）定义运算： ，若，则_____．

2．（2023春·七年级课时练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．

例如计算：．

根据以上信息，下列各式：

①；

②；

③

④．

其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．

3．（2023春·七年级课时练习）阅读以下材料：

指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．

对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

，理由如下：

设，，则，∴，由对数的定义得又∵，∴．

请解决以下问题：

(1)将指数式转化为对数式_______；

(2)求证：；

(3)拓展运用：计算______．

4．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．

例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：

设，，则，，故，

则，即．

(1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________．

(2)计算___________，并说明理由．

(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立．

5．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市东莞中学初中部校考期中）我们给出以下两个定义：

①三角形；②3×3的方格图

请你根据上面两个定义，解答下列问题：

(1)填空：=__________

(2)填空：=____________

(3)若，求

6．（2023春·七年级单元测试）数学活动

在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．

运算法则如下：

．

解决问题

根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：

(1)填空：___________，___________；

(2)如果，求出的值；

(3)如果，请直接写出的值．

类型五、同底数幂比较大小

【解惑】

（2022秋·四川达州·八年级校考期中）由幂的运算法则逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：

(1)计算：；

(2)若，求m的值；

(3)比较大小：，，，，请确定a，b，c，d的大小关系．

【融会贯通】

1．（2023春·江苏·七年级校考周测）比较大小：___________（ 填“＜”或“>”或“=”）

2．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）比较大小：________．（填“”“”或“”）

3．（2023春·七年级课时练习）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．

(1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）．

(2)比较与的大小（写出具体过程）．

(3)已知，求的值．

4．（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）在比较和的大小时，我们可以这样来处理：

∵，

又∵，

∴，即．

你能类似地比较下列各组数的大小吗？

(1)与；

(2)，与．

5．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．

①比较，的大小；当时，，当同底数相同时，指数越大值越大；

②比较和的大小，，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大；

根据上述材料，回答下列问题．

(1)比较大小____________（填写>、<或=）；

(2)已知，，，试比较、、的大小．

6．（2023春·七年级课时练习）阅读下面的材料：

材料一：比较和的大小

解：因为，且，

所以，即」

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，

材料二：比较和的大小．

解：因为，且，

所以，即，

小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小

解决下列问题：

(1)比较、、的大小：

(2)比较的大小：

(3)比较与的大小．

类型六、同底数幂归纳推理

【解惑】

（2023春·七年级课时练习）（1）填空

（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明理由．

（3）计算；

【融会贯通】

1．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：根据乘方的意义可得：；；＝，即．通过观察上面的计算过程，完成以下问题：

(1)计算：＝______；

(2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）＝　   　；

(3)用（2）的规律计算：

2．（2023春·七年级课时练习）（1）填空：；；；…

（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．

（3）计算

3．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：

(1)的末尾数字是       ，的末尾数字是       ；

(2)求的末尾数字；

(3)求证：能被5整除．

4．（2023春·浙江·七年级专题练习）观察下列运算过程：

，；，；…

(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________   ___________；

(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；

(3)求的值．

5．（2023春·七年级课时练习）阅读材料，根据材料回答：

例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．

例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125

=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．

(1)仿照上面材料的计算方法计算：．

(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；

(3)用（2）的规律计算：．

6．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）观察下列等式：

第1个等式为：；

第2个等式为：；

第3个等式为：；

第4个等式为：；

……

根据上述等式含有的规律，解答下列问题：

(1)第5个等式为：__________；

(2)第n个等式为：________（用含n的代数式表示），并证明．