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2022-2023年苏科版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题01 平面图形的认识（二)平行判定与性质（原卷版 解析版）
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一、判断三线八角
同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
内错角：∠3与∠6、∠4与∠5；
同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6.
二、平行线的判定
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
三、平行线的性质
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
【专题过关】
类型一、判断三线八角
【解惑】
（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同位角B．与是内错角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
2（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）下列图中，不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2021春·广东梅州·七年级统考期中）如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
5．（2021春·河北邯郸·七年级统考期中）如图所示，同位角共有（ ）
A．6对B．8对C．10对D．12对
6．（2021·浙江·七年级期中）下列四幅图中，和是同位角的是（ ）
A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（1）、（2）、（4）D．（2）、（3）、（4）
7．（2018春·江西上饶·七年级校考期中）若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有___________对内错角.
类型二、平行判定之添加条件
【解惑】
（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【融会贯通】
1．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，下列条件中：（1）；（2）；（3）；（4）．能判定的条件个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022春·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线D．同位角相等，两直线平行
5．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，现有条件：①；②；③；④．能判断的条件有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
6．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B． C． D．
类型三、平行性质之求角度
【解惑】
（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，直线，平分，，则的度数为______．
【融会贯通】
1．（2022春·广东江门·七年级统考期中）如图，于点A，，，则为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
2．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，于E，交于F，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）如图，，直线与分别交于点E、F，平分，于点G，若，则___________．
5．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）如图所示，，三角板如图放置，其中∠B=90°，若，则的度数为___________度．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知，则___________．
类型四、平行判定中的证明
【解惑】
（2023春·福建莆田·七年级期中）如图，平分，，，．
(1)求，的度数；
(2)证明：．
【融会贯通】
1．（2022春·云南普洱·七年级校考期中）推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（已知），且（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（ ）
2．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，已知：于点，于点，．求证：．
3．（2022春·广东汕头·七年级统考期中）推理填空：如图，直线，并且被直线所截，交和于点M，N，平分，平分，试证明．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明：∵，
∴（______），
∵平分，平分．
∴，______（______），
∵，
∴______（______），
∴（______）．
4．（2022春·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知，垂足分别为，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵（已知），
∴（________），
∴（________）．
∴_______（________）
∵ （已知）．
∴（________）．
∴______（________）
∴（________）．
5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）如图，已知平分，且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
类型五、平行中折点
【解惑】
（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【融会贯通】
1．（2020秋·四川凉山·八年级校考期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
3．（2021春·山东济南·七年级校考期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
4．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题：
已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点作．
分析思路：
①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；
②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度数；
⑤从而可求的度数．
(1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
5．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
类型六、平行中的平移
【解惑】
（2022春·湖北武汉·七年级统考期中），点C在点D的右侧，，的平分线交于点E（不与B，D点重合）．，．
(1)若点B在点A的左侧，求的度数（用含n的代数式表示）：
(2)将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变？若改变，请求出的度数（用含n的代数式表示）：若不变，请说明理由
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
2．（2022春·江西抚州·七年级统考期中）如图1，AB、BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
(1)AE与BC平行吗？请说明理由．
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ（即，且PQ=AE），连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，则Q的度数为____________；
②在整个运动过程中，当∠Q＝2∠EDQ时，求Q的度数，并说明理由．
3．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）综合与实践
如图．，，E，F是射线BC上的动点，且满足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF．
(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．
(2)求∠CAE的度数．
(3)如图，将CD向右平移至处，并始终满足，是否存在某种情况，使．若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由．
4．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，直线，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
(1)填空：∠PNB＋∠PMD______∠P（填“>”“<”或“＝”）；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当，时，求的度数；
②小安将三角板PMN保持并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含的式子表示）．
类型七、平行中的翻折
【解惑】
1．（2022春·河南郑州·七年级统考期中）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝57°，则∠1＝（ ）
A．57°B．66°C．76°D．52°
【融会贯通】
1.（2022春·福建福州·七年级福建省福州外国语学校校考期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为______________．
2.（2022春·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为______．
3.（2021春·山东青岛·七年级统考期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点、分别落在、的位置上，交于点，比多，则______度，______度．
4.（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
5.（2019春·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．
（1）当时，求；
（2）当时，求；
（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．
6.（2017春·湖北宜昌·七年级校联考期中）已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GHEP，交CD于点H，且∠1=∠2．
（1）求证：ABCD；
（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JKAB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．
类型八、平行中的旋转
【解惑】
（2022春·山东济南·七年级校考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．
(1)如图1，若∠DCE=40°，则∠ACE= ．∠ACB= ．
(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的数量关系，并证明你的结论：
(3)若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转．
①如图2，当旋转至BEAC时，则∠ACE= ．
②如图3，当旋转至BCAD时，则∠ACE= ．
【融会贯通】
1．（2022春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系________．
2．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．
3．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行．
4．（2021春·山东青岛·七年级统考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）．
(1)如图1，①若，求的度数；
②若，求的度数．
(2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由．
(3)若固定，将绕点C旋转，
①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度．
②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数．
5．（2020春·浙江·七年级期中）已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒1°旋转至停止，此时射线也停止旋转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间30秒时，与的位置关系为_____；
(2)若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，．
6．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）在平行的两岸河堤即PQMN，各安置了一探照灯A和B，且∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
类型九、平行中的角平分线
【解惑】
（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【融会贯通】
1．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
(1)在如图①所示的情形下，若，求的度数；
(2)在如图②所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
(3)如图③，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有，的代数式表示的补角．
3．（2022春·广东广州·七年级校联考期中）如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图中补全图形，猜想并证明与的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若直线的位置如图所示，请直接写出与的数量关系．
4．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，过点B作于点D，则与相等吗？试说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线上，且平分， 平分，若，求的度数．
5．（2021春·河南郑州·七年级校考期中）如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
(1)当时，__________°．
(2)判断是否平分，并说明理由．
(3)如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
6．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）如图，直线，直线与，分别交于点M，N，分别是与的平分线，交于点F，过点N作交于点G．
(1)若，则___________；
(2)求证：；
(3)连接，在上取一点H，使，作的平分线交于点P，求的度数．
一、判断三线八角
同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
内错角：∠3与∠6、∠4与∠5；
同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6.
二、平行线的判定
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
三、平行线的性质
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
【专题过关】
类型一、判断三线八角
【解惑】
（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同位角B．与是内错角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
2（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）下列图中，不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2021春·广东梅州·七年级统考期中）如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
5．（2021春·河北邯郸·七年级统考期中）如图所示，同位角共有（ ）
A．6对B．8对C．10对D．12对
6．（2021·浙江·七年级期中）下列四幅图中，和是同位角的是（ ）
A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（1）、（2）、（4）D．（2）、（3）、（4）
7．（2018春·江西上饶·七年级校考期中）若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有___________对内错角.
类型二、平行判定之添加条件
【解惑】
（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【融会贯通】
1．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，下列条件中：（1）；（2）；（3）；（4）．能判定的条件个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022春·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线D．同位角相等，两直线平行
5．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，现有条件：①；②；③；④．能判断的条件有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
6．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B． C． D．
类型三、平行性质之求角度
【解惑】
（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，直线，平分，，则的度数为______．
【融会贯通】
1．（2022春·广东江门·七年级统考期中）如图，于点A，，，则为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
2．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，于E，交于F，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）如图，，直线与分别交于点E、F，平分，于点G，若，则___________．
5．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）如图所示，，三角板如图放置，其中∠B=90°，若，则的度数为___________度．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知，则___________．
类型四、平行判定中的证明
【解惑】
（2023春·福建莆田·七年级期中）如图，平分，，，．
(1)求，的度数；
(2)证明：．
【融会贯通】
1．（2022春·云南普洱·七年级校考期中）推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（已知），且（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（ ）
2．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，已知：于点，于点，．求证：．
3．（2022春·广东汕头·七年级统考期中）推理填空：如图，直线，并且被直线所截，交和于点M，N，平分，平分，试证明．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明：∵，
∴（______），
∵平分，平分．
∴，______（______），
∵，
∴______（______），
∴（______）．
4．（2022春·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知，垂足分别为，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵（已知），
∴（________），
∴（________）．
∴_______（________）
∵ （已知）．
∴（________）．
∴______（________）
∴（________）．
5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）如图，已知平分，且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
类型五、平行中折点
【解惑】
（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【融会贯通】
1．（2020秋·四川凉山·八年级校考期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
3．（2021春·山东济南·七年级校考期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
4．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题：
已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点作．
分析思路：
①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；
②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度数；
⑤从而可求的度数．
(1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
5．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
类型六、平行中的平移
【解惑】
（2022春·湖北武汉·七年级统考期中），点C在点D的右侧，，的平分线交于点E（不与B，D点重合）．，．
(1)若点B在点A的左侧，求的度数（用含n的代数式表示）：
(2)将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变？若改变，请求出的度数（用含n的代数式表示）：若不变，请说明理由
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
2．（2022春·江西抚州·七年级统考期中）如图1，AB、BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
(1)AE与BC平行吗？请说明理由．
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ（即，且PQ=AE），连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，则Q的度数为____________；
②在整个运动过程中，当∠Q＝2∠EDQ时，求Q的度数，并说明理由．
3．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）综合与实践
如图．，，E，F是射线BC上的动点，且满足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF．
(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．
(2)求∠CAE的度数．
(3)如图，将CD向右平移至处，并始终满足，是否存在某种情况，使．若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由．
4．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，直线，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
(1)填空：∠PNB＋∠PMD______∠P（填“>”“<”或“＝”）；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当，时，求的度数；
②小安将三角板PMN保持并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含的式子表示）．
类型七、平行中的翻折
【解惑】
1．（2022春·河南郑州·七年级统考期中）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝57°，则∠1＝（ ）
A．57°B．66°C．76°D．52°
【融会贯通】
1.（2022春·福建福州·七年级福建省福州外国语学校校考期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为______________．
2.（2022春·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为______．
3.（2021春·山东青岛·七年级统考期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点、分别落在、的位置上，交于点，比多，则______度，______度．
4.（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
5.（2019春·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．
（1）当时，求；
（2）当时，求；
（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．
6.（2017春·湖北宜昌·七年级校联考期中）已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GHEP，交CD于点H，且∠1=∠2．
（1）求证：ABCD；
（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JKAB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．
类型八、平行中的旋转
【解惑】
（2022春·山东济南·七年级校考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．
(1)如图1，若∠DCE=40°，则∠ACE= ．∠ACB= ．
(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的数量关系，并证明你的结论：
(3)若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转．
①如图2，当旋转至BEAC时，则∠ACE= ．
②如图3，当旋转至BCAD时，则∠ACE= ．
【融会贯通】
1．（2022春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系________．
2．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．
3．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行．
4．（2021春·山东青岛·七年级统考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）．
(1)如图1，①若，求的度数；
②若，求的度数．
(2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由．
(3)若固定，将绕点C旋转，
①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度．
②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数．
5．（2020春·浙江·七年级期中）已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒1°旋转至停止，此时射线也停止旋转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间30秒时，与的位置关系为_____；
(2)若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，．
6．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）在平行的两岸河堤即PQMN，各安置了一探照灯A和B，且∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
类型九、平行中的角平分线
【解惑】
（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【融会贯通】
1．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
(1)在如图①所示的情形下，若，求的度数；
(2)在如图②所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
(3)如图③，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有，的代数式表示的补角．
3．（2022春·广东广州·七年级校联考期中）如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图中补全图形，猜想并证明与的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若直线的位置如图所示，请直接写出与的数量关系．
4．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，过点B作于点D，则与相等吗？试说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线上，且平分， 平分，若，求的度数．
5．（2021春·河南郑州·七年级校考期中）如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
(1)当时，__________°．
(2)判断是否平分，并说明理由．
(3)如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
6．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）如图，直线，直线与，分别交于点M，N，分别是与的平分线，交于点F，过点N作交于点G．
(1)若，则___________；
(2)求证：；
(3)连接，在上取一点H，使，作的平分线交于点P，求的度数．
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