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江苏省南京市将军山中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试卷(含答案)
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这是一份江苏省南京市将军山中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了下列事件中，为必然事件的是，从下列图形等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年初二下学期南京市将军山中学3月月考
一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．为了了解某市七年级学生的体重情况，相关人员抽查了该市1000名七年级学生，则下列说法中错误的是（ ）
A．该市七年级学生的全体是总体
B．每个七年级学生的体重是个体
C．抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本
D．这次调查样本的容量是1000
3．下面不可以判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边相等的四边形
B．两组对角相等的四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．打开电视，正在播放广告
5．我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个任意四边形的面积为a，则它的中点四边形面积为（ ）
A．a B．a C．a D．a
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③∠DFE＝4∠AEF；
④S△ABC＜2S△CEF．
一定成立的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．某小区要了解成年居民的学历情况，应采用 方式进行调查．
8．一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
9．从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆中，任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
10．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性 摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
11．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则这个三角形的周长为 cm．
12．如图，▱ABCD中，EF为对角线BD上的两点，若添加一个条件使四边形AECF为平行四边形，则可以是： ．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝68°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝ °．
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是 ．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为 ．
16．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB．
三．解答题（共10小题，共68分）
17．（4分）如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1（点A的对应点为A1）．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．
18．（6分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）将△ABC向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）若点M是平面直角坐标系中直线AB上的一个动点，点N是x轴上的一个动点，且以O、A2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
求证：AC、EF互相平分．
20．（7分）如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 （直接写出这个条件的序号）．
21．（6分）题目：如图1，已知线段AB、BC．用直尺和圆规作▱ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）图2是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图．
22．（6分）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：
（1）这种树苗成活概率的估计值为 ．
（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活 棵．
（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
23．（6分）某市教研室的数学调研小组对老师在讲评试卷中学生参与的深度与广度进行评调查，其评价项目为“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，该调研小组随机抽取了若干名初中九年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数．
分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题
（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有60000名九年级学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？
24．（7分）利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线．
求证： ．
证明：
25．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证
，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
26．（12分）（1）问题背景
如图甲，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD＝CD，DE＝5，求四边形ABCD的面积．
小明发现四边形ABCD的一组邻边AD＝CD，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△ADE绕点D逆时针旋转90°；
第二步：利用∠A与∠DCB互补，
证明F、C、B三点共线，
从而得到正方形DEBF；
进而求得四边形ABCD的面积．
请直接写出四边形ABCD的面积为 ．
（2）类比迁移
如图乙，P为等边△ABC外一点，BP＝1，CP＝3，且∠BPC＝120°，求四边形ABPC的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形ABCDE中，BC＝4，CD+AB＝4，AE＝DE＝6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积．
2022-2023学年初二下学期南京市将军山中学3月月考
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．为了了解某市七年级学生的体重情况，相关人员抽查了该市1000名七年级学生，则下列说法中错误的是（ ）
A．该市七年级学生的全体是总体
B．每个七年级学生的体重是个体
C．抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本
D．这次调查样本的容量是1000
【解答】解：A、该市七年级学生的体重情况是总体，故A错误；
B、每个七年级学生的体重是个体，故B正确；
C、抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本，故C正确；
D、这次调查样本的容量是1000，故D正确；
故选：A．
3．下面不可以判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边相等的四边形
B．两组对角相等的四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形
【解答】解：A、两组对边相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、两组对角相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、一组对边平行，一组邻角互补的四边形不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．打开电视，正在播放广告
【解答】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件，故A错误；
B、一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球是必然事件，故B正确；
C、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故C错误；
D、打开电视，正在播放广告是随机事件，故D错误；
故选：B．
5．我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个任意四边形的面积为a，则它的中点四边形面积为（ ）
A．a B．a C．a D．a
【解答】解：如图，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴＝，S△AEN＝S△EBK，
∴＝，同理可得＝，＝，＝，
∴＝，
∵四边形ABCD的面积是a，则四边形EFGH的面积为a．
故选：A．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③∠DFE＝4∠AEF；
④S△ABC＜2S△CEF．
一定成立的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，故②正确；
∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF＝S△DMF，
∴S△ECM＝S四边形AECD，
∵S△ABC＜S四边形AECD，
故S△ABC＜2S△CEF；故③不成立；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
7．某小区要了解成年居民的学历情况，应采用 普查 方式进行调查．
【解答】解：某小区要了解成年居民的学历情况，应采用普查方式进行调查，
故答案为：普查；
8．一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是 必然 事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
【解答】解：至少有2个球同色的事件是必然事件．
故答案是：必然．
9．从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆中，任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【解答】解：在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆这6个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，圆这4个，
所以抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是＝，
故答案为：．
10．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性 小于 摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
【解答】解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，
∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是＝，
∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；
故答案为：小于．
11．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则这个三角形的周长为 48 cm．
【解答】解：∵三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，
∴这个三角形的三条边分别为12cm，14cm，22cm，
∴这个三角形的周长＝12+14+22＝48cm．
故答案为：48．
12．如图，▱ABCD中，EF为对角线BD上的两点，若添加一个条件使四边形AECF为平行四边形，则可以是： BE＝DF ．
【解答】解：可以是BE＝DF．
理由：在平行四边形ABCD中，则可得AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴△ADF≌△CBE，
∴CE＝AF，
同理可得AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
补充其他条件只要使四边形AECF是平行四边形都可，答案并不唯一．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝68°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝ 44 °．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△BA′C′的位置，
∴BA′＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A，
∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC，
∵∠ABC＝68°，
∴∠A′AB＝68°，
∴∠ABA′＝180°﹣2×68°＝44°，
∵∠CBC′＝∠ABA′，
∴∠CBC′＝44°．
故答案为44．
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是 40° ．
【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP＝AD，
同理，FP＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∵∠FPE＝100°，
∴∠PFE＝40°，
故答案为：40°．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为 8 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故答案为：8．
16．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ 60或300 °时，GC＝GB．
【解答】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为：60或300
三．解答题（共10小题）
17．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1（点A的对应点为A1）．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）OA＝OA1、∠AOA1＝∠BOB1．
18．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）将△ABC向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）若点M是平面直角坐标系中直线AB上的一个动点，点N是x轴上的一个动点，且以O、A2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）当OA2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），
当OA2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
求证：AC、EF互相平分．
【解答】证明：连接AE、CF，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
20．如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 ② （直接写出这个条件的序号）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件②，（1）的结论依然成立．
故答案为②
21．题目：如图1，已知线段AB、BC．用直尺和圆规作▱ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）图2是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图．
【解答】解：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等；
（2）如下图，连接 AC 后作 AC 中垂线，得到 AC 中点 O； 再连接 BO 并延长，利用圆规得到 OD＝OB．
则四边形ABCD即为所求作的平行四边形．
22．某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：
（1）这种树苗成活概率的估计值为 0.9 ．
（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活 5400 棵．
（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
【解答】解：（1）从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，根据频率估计概率，这种树苗成活概率约为0.9，
故答案为：0.9；
（2）6000×0.9＝5400（棵），
故答案为：5400；
（3）9 000÷0.9＝10000（棵），
答：需移植这种树苗大约10000棵．
23．某市教研室的数学调研小组对老师在讲评试卷中学生参与的深度与广度进行评调查，其评价项目为“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，该调研小组随机抽取了若干名初中九年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数．
分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题
（1）在这次评价中，一共抽查了 560 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 54 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有60000名九年级学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），
故答案是：560；
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360°×＝54°，
故答案是：54；
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．
（4）60000×＝18000（人），
答：在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有18000人．
24．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线．
求证： BO＝AC ．
证明：
【解答】解：求证：BO＝AC，
故答案为：BO＝AC．
证明：如图，延长BO到D，使得OD＝OB．
∵BO是中线，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB，
即BO＝AC．
25．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证
∠EFM＝∠BMF ，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 AM＝BM ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：∠EFM＝∠BMF，
AM＝BM（或：M是AB中点）．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM．
26．（1）问题背景
如图甲，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD＝CD，DE＝5，求四边形ABCD的面积．
小明发现四边形ABCD的一组邻边AD＝CD，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△ADE绕点D逆时针旋转90°；
第二步：利用∠A与∠DCB互补，
证明F、C、B三点共线，
从而得到正方形DEBF；
进而求得四边形ABCD的面积．
请直接写出四边形ABCD的面积为 25 ．
（2）类比迁移
如图乙，P为等边△ABC外一点，BP＝1，CP＝3，且∠BPC＝120°，求四边形ABPC的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形ABCDE中，BC＝4，CD+AB＝4，AE＝DE＝6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积．
【解答】解：（1）由题可知．
故答案为25．
（2）如图，延长PC至D，取CD＝1，连接AD．
∵等边△ABC中，∠BAC＝60°，∠BPC＝120°，
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
∴四边形ABPC中，∠ABP+∠ACP＝360°﹣180°＝180°，
∴∠ABP＝∠ACD＝180°﹣∠ACP，
又∵AB＝AC，BP＝CD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP＝AP，∠BAP＝∠CAP．
∵∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝60°，
∴∠CAD+∠PAC＝60°，
∴△APD为等边三角形且PD＝PC+CD＝3+1＝4，
∴．
（3）如图，延长CD至DF＝AB，连接EF、BE、CE．
∵AB＝DF，AE＝DE，∠BAE＝∠FDE＝90°，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴EB＝EF．
∵CD+AB＝CD+DF＝4，BC＝4，
∴CD+DF＝CF＝BC，
∴△EBC≌△EFC（SSS），
∴
2022-2023学年初二下学期南京市将军山中学3月月考
一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．为了了解某市七年级学生的体重情况，相关人员抽查了该市1000名七年级学生，则下列说法中错误的是（ ）
A．该市七年级学生的全体是总体
B．每个七年级学生的体重是个体
C．抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本
D．这次调查样本的容量是1000
3．下面不可以判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边相等的四边形
B．两组对角相等的四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．打开电视，正在播放广告
5．我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个任意四边形的面积为a，则它的中点四边形面积为（ ）
A．a B．a C．a D．a
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③∠DFE＝4∠AEF；
④S△ABC＜2S△CEF．
一定成立的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．某小区要了解成年居民的学历情况，应采用 方式进行调查．
8．一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
9．从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆中，任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
10．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性 摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
11．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则这个三角形的周长为 cm．
12．如图，▱ABCD中，EF为对角线BD上的两点，若添加一个条件使四边形AECF为平行四边形，则可以是： ．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝68°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝ °．
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是 ．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为 ．
16．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB．
三．解答题（共10小题，共68分）
17．（4分）如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1（点A的对应点为A1）．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．
18．（6分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）将△ABC向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）若点M是平面直角坐标系中直线AB上的一个动点，点N是x轴上的一个动点，且以O、A2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
求证：AC、EF互相平分．
20．（7分）如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 （直接写出这个条件的序号）．
21．（6分）题目：如图1，已知线段AB、BC．用直尺和圆规作▱ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）图2是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图．
22．（6分）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：
（1）这种树苗成活概率的估计值为 ．
（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活 棵．
（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
23．（6分）某市教研室的数学调研小组对老师在讲评试卷中学生参与的深度与广度进行评调查，其评价项目为“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，该调研小组随机抽取了若干名初中九年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数．
分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题
（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有60000名九年级学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？
24．（7分）利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线．
求证： ．
证明：
25．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证
，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
26．（12分）（1）问题背景
如图甲，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD＝CD，DE＝5，求四边形ABCD的面积．
小明发现四边形ABCD的一组邻边AD＝CD，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△ADE绕点D逆时针旋转90°；
第二步：利用∠A与∠DCB互补，
证明F、C、B三点共线，
从而得到正方形DEBF；
进而求得四边形ABCD的面积．
请直接写出四边形ABCD的面积为 ．
（2）类比迁移
如图乙，P为等边△ABC外一点，BP＝1，CP＝3，且∠BPC＝120°，求四边形ABPC的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形ABCDE中，BC＝4，CD+AB＝4，AE＝DE＝6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积．
2022-2023学年初二下学期南京市将军山中学3月月考
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．为了了解某市七年级学生的体重情况，相关人员抽查了该市1000名七年级学生，则下列说法中错误的是（ ）
A．该市七年级学生的全体是总体
B．每个七年级学生的体重是个体
C．抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本
D．这次调查样本的容量是1000
【解答】解：A、该市七年级学生的体重情况是总体，故A错误；
B、每个七年级学生的体重是个体，故B正确；
C、抽查的1000名学生的体重是总体的一个样本，故C正确；
D、这次调查样本的容量是1000，故D正确；
故选：A．
3．下面不可以判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边相等的四边形
B．两组对角相等的四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形
【解答】解：A、两组对边相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、两组对角相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、一组对边平行，一组邻角互补的四边形不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．打开电视，正在播放广告
【解答】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件，故A错误；
B、一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球是必然事件，故B正确；
C、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故C错误；
D、打开电视，正在播放广告是随机事件，故D错误；
故选：B．
5．我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个任意四边形的面积为a，则它的中点四边形面积为（ ）
A．a B．a C．a D．a
【解答】解：如图，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴＝，S△AEN＝S△EBK，
∴＝，同理可得＝，＝，＝，
∴＝，
∵四边形ABCD的面积是a，则四边形EFGH的面积为a．
故选：A．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③∠DFE＝4∠AEF；
④S△ABC＜2S△CEF．
一定成立的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，故②正确；
∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF＝S△DMF，
∴S△ECM＝S四边形AECD，
∵S△ABC＜S四边形AECD，
故S△ABC＜2S△CEF；故③不成立；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
7．某小区要了解成年居民的学历情况，应采用 普查 方式进行调查．
【解答】解：某小区要了解成年居民的学历情况，应采用普查方式进行调查，
故答案为：普查；
8．一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是 必然 事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
【解答】解：至少有2个球同色的事件是必然事件．
故答案是：必然．
9．从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆中，任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【解答】解：在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，圆这6个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，圆这4个，
所以抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是＝，
故答案为：．
10．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性 小于 摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
【解答】解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，
∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是＝，
∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；
故答案为：小于．
11．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则这个三角形的周长为 48 cm．
【解答】解：∵三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，
∴这个三角形的三条边分别为12cm，14cm，22cm，
∴这个三角形的周长＝12+14+22＝48cm．
故答案为：48．
12．如图，▱ABCD中，EF为对角线BD上的两点，若添加一个条件使四边形AECF为平行四边形，则可以是： BE＝DF ．
【解答】解：可以是BE＝DF．
理由：在平行四边形ABCD中，则可得AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴△ADF≌△CBE，
∴CE＝AF，
同理可得AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
补充其他条件只要使四边形AECF是平行四边形都可，答案并不唯一．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝68°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝ 44 °．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△BA′C′的位置，
∴BA′＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A，
∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC，
∵∠ABC＝68°，
∴∠A′AB＝68°，
∴∠ABA′＝180°﹣2×68°＝44°，
∵∠CBC′＝∠ABA′，
∴∠CBC′＝44°．
故答案为44．
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是 40° ．
【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP＝AD，
同理，FP＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∵∠FPE＝100°，
∴∠PFE＝40°，
故答案为：40°．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为 8 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故答案为：8．
16．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ 60或300 °时，GC＝GB．
【解答】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为：60或300
三．解答题（共10小题）
17．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1（点A的对应点为A1）．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）OA＝OA1、∠AOA1＝∠BOB1．
18．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）将△ABC向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）若点M是平面直角坐标系中直线AB上的一个动点，点N是x轴上的一个动点，且以O、A2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）当OA2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），
当OA2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
求证：AC、EF互相平分．
【解答】证明：连接AE、CF，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
20．如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 ② （直接写出这个条件的序号）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件②，（1）的结论依然成立．
故答案为②
21．题目：如图1，已知线段AB、BC．用直尺和圆规作▱ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）图2是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图．
【解答】解：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等；
（2）如下图，连接 AC 后作 AC 中垂线，得到 AC 中点 O； 再连接 BO 并延长，利用圆规得到 OD＝OB．
则四边形ABCD即为所求作的平行四边形．
22．某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：
（1）这种树苗成活概率的估计值为 0.9 ．
（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活 5400 棵．
（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
【解答】解：（1）从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，根据频率估计概率，这种树苗成活概率约为0.9，
故答案为：0.9；
（2）6000×0.9＝5400（棵），
故答案为：5400；
（3）9 000÷0.9＝10000（棵），
答：需移植这种树苗大约10000棵．
23．某市教研室的数学调研小组对老师在讲评试卷中学生参与的深度与广度进行评调查，其评价项目为“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”四项，该调研小组随机抽取了若干名初中九年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数．
分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题
（1）在这次评价中，一共抽查了 560 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 54 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有60000名九年级学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），
故答案是：560；
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360°×＝54°，
故答案是：54；
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．
（4）60000×＝18000（人），
答：在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有18000人．
24．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线．
求证： BO＝AC ．
证明：
【解答】解：求证：BO＝AC，
故答案为：BO＝AC．
证明：如图，延长BO到D，使得OD＝OB．
∵BO是中线，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB，
即BO＝AC．
25．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证
∠EFM＝∠BMF ，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 AM＝BM ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：∠EFM＝∠BMF，
AM＝BM（或：M是AB中点）．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM．
26．（1）问题背景
如图甲，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD＝CD，DE＝5，求四边形ABCD的面积．
小明发现四边形ABCD的一组邻边AD＝CD，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△ADE绕点D逆时针旋转90°；
第二步：利用∠A与∠DCB互补，
证明F、C、B三点共线，
从而得到正方形DEBF；
进而求得四边形ABCD的面积．
请直接写出四边形ABCD的面积为 25 ．
（2）类比迁移
如图乙，P为等边△ABC外一点，BP＝1，CP＝3，且∠BPC＝120°，求四边形ABPC的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形ABCDE中，BC＝4，CD+AB＝4，AE＝DE＝6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积．
【解答】解：（1）由题可知．
故答案为25．
（2）如图，延长PC至D，取CD＝1，连接AD．
∵等边△ABC中，∠BAC＝60°，∠BPC＝120°，
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
∴四边形ABPC中，∠ABP+∠ACP＝360°﹣180°＝180°，
∴∠ABP＝∠ACD＝180°﹣∠ACP，
又∵AB＝AC，BP＝CD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP＝AP，∠BAP＝∠CAP．
∵∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝60°，
∴∠CAD+∠PAC＝60°，
∴△APD为等边三角形且PD＝PC+CD＝3+1＝4，
∴．
（3）如图，延长CD至DF＝AB，连接EF、BE、CE．
∵AB＝DF，AE＝DE，∠BAE＝∠FDE＝90°，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴EB＝EF．
∵CD+AB＝CD+DF＝4，BC＝4，
∴CD+DF＝CF＝BC，
∴△EBC≌△EFC（SSS），
∴
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