江苏省南京市第二十九中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2022-2023学年江苏省南京二十九中八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列调查中，适合普查方式的是(    )

A. 调查某市初中生的睡眠情况 B. 调查某班级学生的身高情况
C. 调查南京秦淮河的水质情况 D. 调查某品牌钢笔的使用寿命

3.  年南京市有名初中毕业生参加升学考试，为了了解这名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是(    )

A. 名考生 B. 抽取的名考生
C. 名考生的数学成绩 D. 抽取的名考生的数学成绩

4.  下列说法不正确的是(    )

A. “抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件
B. “任意打开数学教科书八年级下册，正好是第页”是不可能事件
C. “把个球放入三个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有个球”是必然事件
D. “在一个不透明的袋子中，有个除颜色外完全一样的小球，其中个红球，个白球，从中任意摸出个小球，正好是红球”是随机事件

5.  如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6.  对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．
甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取．
乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取．
下列正确的是(    )
 

A. 甲的思路对，他的值错 B. 乙的思路错，他的值对
C. 甲和乙的思路都对 D. 甲和乙的值都对

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

7.  在整数中，数字“”出现的频率是______．

8.  如图是某市连续天的天气情况，最大的日温差是           
 

9.  如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是______．
填符合条件的序号
说明做次这种试验，事件必发生次；
说明做次这种试验，事件可能发生次；
说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生；
说明事件发生的频率是．

10.  用反证法证明命题“三角形中至少有一个角小于或等于”，第一步应该假设：______．

11.  如图，在▱中，若，则______

12.  如图，在▱中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为______．

13.  在菱形中，，，则与之间的距离为______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过        秒该直线可将矩形的面积平分．

15.  如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则          ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：

请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近        精确到；
试估算盒子里白球有        个；
某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是        填写所有正确结论的序号．
从一副扑克牌不含大小王中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
掷一个质地均匀的正方体骰子面的点数分别为到，落地时面朝上点数“小于”．
投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．

17.  本小题分
某中学九年级男生共人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．

设学生引体向上测试成绩为单位：个学校规定：当时成绩等级为不及格，当时成绩等级为及格，当时成绩等级为良好，当时成绩等级为优秀请补全图中某中学抽样九年级男生引体向上等级人数分布扇形统计图；
估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数．

18.  本小题分
如图在正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．

在图中，作关于点对称的；
在图中过点作直线，使点，到直线的距离相等，画出所有符合要求的直线．

19.  本小题分
如图，四边形中，点、是对角线上的两点，且．
若四边形是平行四边形，求证：四边形是平行四边形．
若四边形是矩形，试判断四边形是否为矩形，并说明理由．

20.  本小题分
如图，在中，是的中点．作，且使，连接，与交于点．
求证：；
连接、，要使四边形是菱形，的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．
 

21.  本小题分
用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．
求证：．

证法：如图，在的内部作，
与相交于点．
，
______ ．
，
．
又 ______ ，
．
．
，
即是斜边上的中线，且．
又是斜边上的中线，即与重合，
．
请把证法补充完整，并用不同的方法完成证法．

22.  本小题分
如图，在四边形中，点是线段上的任意一点与，不重合，、、分别是、、的中点连接，若，，说明：四边形是正方形．

23.  本小题分
在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．

如图，当点在菱形内部或边上时，连接，求证：，．
当点在菱形外部时，如图和图，那么中的结论        直接填“成立”或“不成立”．
如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，等边边长为        ．

24.  本小题分
如图，四边形是矩形，动点从出发，沿射线方向移动，作关于直线的对称．

若四边形是正方形，直线与直线相交于点，连接．
如图，当点在线段上不包括和，说明结论“”成立的理由．
当点在线段延长线上，试探究：结论”是否总是成立？请说明理由．
在矩形中，，，当点在线段延长线上，当为直角三角形时，直接写出的长        ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、调查某市初中生的睡眠情况，应采用抽样调查，此选项错误；
B、调查某班级学生的身高情况，应采用普查，此选项正确；
C、调查南京秦淮河的水质情况，应采用抽样调查，此选项错误；
D、调查某品牌钢笔的使用寿命，应选择抽样调查，此选项错误；
故选：．
适合普查的方式一般有以下几种：范围较小；容易掌控；不具有破坏性；可操作性较强．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个问题中样本是所抽取的名考生的数学成绩，
故选D．
根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可．
本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
 

4.【答案】 

【解析】解：、“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件，正确；
B、“任意打开数学教科书八年级下册，正好是第页”是随机事件，则原命题错误；
C、“把个球放入三个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有个球”是必然事件，正确；
D、“在一个不透明的袋子中，有个除颜色外完全一样的小球，其中个红球，个白球，从中任意摸出个小球，正好是红球”是随机事件，正确．
故选：．
根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义即可作出判断．
本题考查了随机事件、不可能事件以及必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形长为宽为，
矩形的对角线长为：，
矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
该正方形的边长不小于，
，
该正方形边长的最小正数为．
故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
故选：．
据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：数字“”出现的频率是：，
故答案为：．
根据频率的计算公式：频率频数除以总数进行计算即可．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
利用有理数的加减运算法则，利用大数减去小数即可得出结果．
此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握有理数加减运算法则是解题关键．
【解答】
解：，
即最大的日温差是．
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：说明做次这种试验，事件必发生次，不一定发生，故错误；
说明做次这种试验，事件可能发生次，正确；
说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生，错误；
说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误．
故答案为：．
直接利用概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键．
 

10.【答案】三角形的三个内角都小于 

【解析】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：三角形的三个内角都小于．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得：；
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
，
即，
解得：；
；
故答案为：．
由平行四边形的性质和角平分线得出，得出，同理可证，再由的长，即可求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：作于，再反向延长交于．
四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积，
，
故答案为：．
作于交于利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形面积即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理、平行线之间的距离等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，交于点，
当经过点时，该直线可将矩形的面积平分；
，是▱的对角线，
，
，，
，
，
根据题意设平移后直线的解析式为，
，
，解得，
平移后的直线的解析式为，
直线要向下平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将矩形的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质及三角形中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．
连接，则为的中位线，根据勾股定理求出长即可求出的长．
【解答】
解：连接，

正方形和正方形中，，，
，，，
，
在中，．
、分别是、的中点，
．
故答案为：．  

16.【答案】     

【解析】解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
根据题意得：个，
故答案为：；
从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
掷一个质地均匀的正六面体骰子面的点数标记分别为到，落地时面朝上的点数小于的概率为，故不符合题意；
投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：．
由表中的最大值所对应的频率即为所求；
根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案；
试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
 

17.【答案】解：样本容量为：；
及格所占百分比为：；
优秀所占百分比为：；
良好所占百分比为：．
如图所示：

人
答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为人． 

【解析】根据每部分的人数除以抽查的人数，可得相应的百分比，根据所占的百分比，可得扇形统计图；
根据利用样本估计总体，可得答案．
本题考查扇形统计图、条形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，直线，即为所求．
 

【解析】根据中心对称的性质作图即可．
连接，与网格线交于点，即点为线段的中点，连接，则所在的直线满足要求；过点作的平行线，则也满足要求．
本题考查中心对称、点到直线的距离，熟练掌握中心对称的性质以及点到直线的距离是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接交于点．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形不是矩形，理由如下：
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，不是矩形． 

【解析】元平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，，再证，，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：当或时，四边形是菱形；理由如下：
如图所示：








是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
由得，四边形是平行四边形，
，
当时，，
，即，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
证明四边形是平行四边形，由得四边形是平行四边形，得出，当时，，由平行线的性质得出，即，即可得出四边形是菱形．
 

21.【答案】证法：；；
证法：延长至点，使得，连接、如图所示：

，．

四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．
，
又，
．

【解析】

【解答】
解：证法：如图，在的内部作，

与相交于点．
，
，
，
．
又，
．
．
，
即是斜边上的中线，且．
又是斜边上的中线，即与重合，
．
 故答案为：；；

证法：见答案．

【分析】

本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．
证法：在的内部作，证明与重合即可；

证法：延长至点，使得，连接、证明四边形是平行四边形．再证出四边形是矩形．得出，即可得出结论．  

22.【答案】证明：连接，
、分别是、的中点，
，
同理，
四边形是平行四边形，
、分别是，的中点，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
菱形是正方形． 

【解析】由三角形中位线定理可得，，可证四边形是平行四边形，再由正方形的判定方法可得结论．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】成立  

【解析】证明：如图，连接，连接，并延长交于点，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：成立．
证明：如图，连接，设交于点，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：成立；
解：如图，连接交于点，作于点，则，
，
；
，，，
，
；
，
，
，，
，
等边边长为．
故答案为：．
连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明≌即可证得结论；
中的结论成立，用中的方法证明≌即可；
连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长，即可得到等边三角形的边长积．
此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及用转化法求图形的面积等知识点与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】或或 

【解析】解：和关于直线，
，，，
，
≌，
，
，
，
则；

成立，理由：
如下图，

同理可得：≌，
，
设，
则，
则，
，
；

如图，当为直角时，

在中，，
由勾股定理得：，
设，则，
由对称知：，，
，
又，
，
在中，，
，
解得：，
即；
如下图，当，在的延长线上时，

在中，，
，
在中，则有：，
解得；
如下图，当时，

，，
四边形为正方形，
，
综上所述，或或．
故答案为：或或．
证明≌，得到，而，则，即可求解；
同理可得：≌，则，即，即可求解；
当为直角时，由，即可求解；当、同理可解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．