人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课时训练

这是一份人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课时训练，共63页。试卷主要包含了5 一次函数的实际应用问题，2cm，求此时体温计的读数．等内容，欢迎下载使用。

八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.5 一次函数的实际应用问题

题型一 利用一次函数解决销售问题


【例题1】（2022秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　）

A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
【变式1-1】（2022秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价（元/千克）
4.8
4
零售价（元/千克）
7.2
5.6
（1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？
（2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式．






【变式1-2】（2022秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？




【变式1-3】（2022秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？




【变式1-4】（2022秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．

【变式1-5】（2021春•侯马市期中）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件，已知甲加工120个A型零件所用时间和乙加工160个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件70个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；
（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为a元/件（5≤a≤8），加工B型零件所获得的利润每件比A型少2元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．





题型二 利用一次函数解决有关行程问题



【例题2】（2022秋•宁波期末）小锐一家去离家200千米的某地自驾游，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？
（2）出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以每小时80千米的速度直达目的地，求等候的时间及线段BC的解析式．

【变式2-1】（2022秋•宁阳县期末）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）　 　（填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是　 　米/分钟；
（2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？


【变式2-2】（2023•宁波模拟）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？


【变式2-3】（2023•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．
（1）a＝　 　；
（2）求CD所在直线的函数表达式；
（3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？



【变式2-4】（2022秋•招远市期末）小明和小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．小亮骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）小明跑步速度为 　 　米/分，步行的速度 　 米/分；
（2）图中点D的坐标为 　 　；
（3）求小亮离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式；
（4）两人出发多长时间相遇？
（5）请求出两人出发多长时间相距2500米．

【变式2-5】（2022秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；
（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？








题型三 利用一次函数解决工程问题


【例题3】为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？

【变式3-1】（2023•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图．
（1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？
（2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？
（3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间．



【变式3-2】（2022•吉林三模）工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲组的工作效率是 　 　件/时；
（2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．
（3）当x为何值时，两组一共生产570件．


【变式3-3】某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示．

（1）甲车间每天加工零件为　 　件，图中d值为　 　．
（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．
（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？







【变式3-4】（2021春•甘井子区校级期末）甲、乙两个工程队分别同时修整两段公路，所修公路的长度y（米）与修路时间x（时）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）甲队每小时修路　 　米；乙队修路2小时后，每小时修路　 米；
（2）修路6小时，甲比乙多修了　 　米；
（3）当修路时间是多少时，甲、乙两队所修公路的长度相同？









【变式3-5】甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．
（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式　 　；
（2）求乙组加工零件总量a的值；
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？







题型四 利用图表信息解决实际问题


【例题4】（2022秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
150
240
设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？







【变式4-1】（2022秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示．
x（kg）
…
30
40
50
…
y（元）
…
4
6
8
…
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量；
（3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　．




【变式4-2】（2021春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm．

第一套
第二套
椅子高度xcm
40
37
桌子高度ycm
75
70
（1）请确定y与x的函数关系式．
（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？



【变式4-3】已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

水银柱的长度x（cm）
4.2
…
8.2
9.8
体温计的读数y（℃）
35.0
…
40.0
42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．




【变式4-4】（2021•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x（cm）
…
4
6
8
10
…
双层部分的长度y（cm）
…
73
72
71
70
…
（1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．



【变式4-5】某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．







题型五 实际问题中的分段函数

【例题5】一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠．
（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？
（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．



【变式5-1】（2022春•南召县期中）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折：
（1）观察下表：
购买量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
2.5
5
7.5
10
a
14
b
18
…
完成填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）写出付款金额y（元）关于购买量x（千克）的函数关系，并画出函数图象．


【变式5-2】（2022秋•淮北月考）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水xt，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；若某户居民上月用水8t，应交水费多少元？
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式；
（3）若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？


【变式5-3】（2023•灞桥区校级四模）五一期间，灞桥水果经销商老王每天从雨润水果批发市场分别以10元/斤、11元/斤的价格购进奶油味草莓和巧克力味草莓进行销售．奶油味草莓的销售单价为13元/斤，巧克力味草莓的销售方式为：当销售不超过50斤时，销售单价为15元/斤；当销售超过50斤时，超出的部分销售单价为14.5元/斤．老王每天购进这两种味道的草莓共100斤，并在当天全部销售完，设每天销售巧克力味草莓x斤（销售过程中损耗不计）．
（1）求出每天销售获利y（元）与x（斤）的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若5月1日这一天，老王购进35斤奶油味草莓，求老王这一天将所有草莓都销售完可以获利多少钱？





【变式5-4】（2022春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？



【变式5-5】（2022春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；
（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？


题型六 利用一次函数解决最值问题


【例题6】（2022秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件．
（1）试求出售价y与x之间的函数关系式；
（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润．

【变式6-1】（2022春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求W与x的函数关系式；
（3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．






【变式6-2】（2022秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？







【变式6-3】（2022秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？




【变式6-4】（2021秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．





【变式6-5】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．




题型七 利用一次函数解决几何问题



【例题7】（2021春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）直接写出△APD的面积的最大值．




【变式7-1】如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2；
（2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；
（3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2



【变式7-2】（2021春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题：

（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ；
（2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值．






【变式7-3】（2022春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
（1）△ABC的高AF的长为 　 　．
（2）写出S与x的关系式 　 　．
（3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？



【变式7-4】（2022春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象．

（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式；
（3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值．


【变式7-5】（2021春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示．
（1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm；
（2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式；
（3）当y＝12时，求x的值；
（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数．



八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.4 待定系数法求一次函数的解析式答案

题型一 已知两点确定函数解析式

【例题1】（2022秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；
（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，
∴2k+b=0b=4，解得k=−2b=4，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∴当x＝﹣1时，y＝6，
∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．

【变式1-1】（2022秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　．
【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，
∴k+b=12k+b=−1，
解得：b=3k=−2，
∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式1-2】（2021•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　．
x
0
1
2
y
a
1
3
【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：k+b=12k+b=3，
解得：k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1．
当x＝0时，y＝﹣1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝3时，求出对应y的值．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，然后把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，解方程组求出k、b即可求解；
（2）把x＝3代入一次函数的表达式即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得b=3−2k+b=6，解得k=−32b=3，
所以这个一次函数的表达式为y=−32x+3；
（2）当x＝3时，
y=−32×3+3=−32．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式1-4】（2021秋•射洪市期末）已知函数y＝kx+b，自变量x的取值范围为﹣1≤x≤7，相应函数值的取值范围为﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．
【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣1，y＝﹣12；x＝7，y＝8代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝﹣1时，y＝8，x＝7时，y＝﹣12，代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：①当k＞0时，y随x增大而增大，
∵x＝﹣1，y＝﹣12；x＝7，y＝8，
∴−k+b=−127k+b=8，解得k=52b=−192，
∴该函数的解析式为y=52x−192；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵x＝﹣1时，y＝8，x＝7时，y＝﹣12，
∴−k+b=87k+b=−12，解得k=−512b=112，
∴该函数的解析式为y=−52x+112，
综上所述，该函数的表达式为y=52x−192或y=−52x+112．
【点评】本题主要考查的是待定系数法求一次函数的解析式，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，注意要分情况讨论、
【变式1-5】（2022秋•嘉兴期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当﹣2≤y＜4时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）分别把y＝﹣2和y＝4代入y＝﹣2x+4，再根据一次函数的增减性，即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式y＝kx+b，
∵点A（0，4），B（1，2）在此函数图象上，
∴b=4k+b=2，
解得：k=−2b=4，
∴这个一次函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）把y＝﹣2代入y＝﹣2x+4得：x＝3；
把y＝4代入y＝﹣2x+4得：x＝0，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当﹣2≤y＜4时，x的范围是0＜x≤3．
【点评】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•亭湖区期末）已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值．
（2）把B、C点的坐标代入解析式即可判断．
（3）把x＝﹣3和x＝﹣1分别代入解析式，分别求得函数值，根据求得的函数值即可求得．
【解答】解：（1）将x＝2，y＝3代入一次函数解析式得：3＝2k+7，
解得：k＝﹣2．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9≠8，
当x＝3时，y＝﹣2x+7＝﹣6+7＝1，
所以，点B（﹣1，8）不在这个一次函数的图象上；点C（3，1）在这个函数的图象上；
（3）当x＝﹣3时，y＝﹣2x+7＝6+7＝13，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9，
所以当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是9＜y＜13．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

题型二 由函数图象确定函数解析式


【例题2】（2021春•长沙期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x＝10时，y的值是多少？

【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）代入x＝10求出与之对应的y值．
【解答】解：（1）观察函数图象，可知：点（2，0），（6，4）在函数y＝kx+b的图象上，
∴2k+b=06k+b=4，解得：k=1b=−2，
∴该一次函数的表达式为y＝x﹣2．
（2）当x＝10时，y＝10﹣2＝8．
【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
【变式2-1】（2021春•永年区月考）直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（　　）

A．y＝2x+4 B．y＝﹣2x+4 C．y＝4x+2 D．y＝﹣4x﹣2
【答案】A．
【分析】根据待定系数法即可求出函数表达式．
【解答】解：设直线的解析式为y＝kx+b，
由图象可知直线与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，4），
把点（﹣2，0），（0，4）代入y＝kx+b得
−2k+b=0b=4
解得k=2b=4，
∴该直线的函数解析式为y＝2x+4，
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

【变式2-2】（2022春•周至县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数的解析式；
（2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值．
【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），
∴2k+b=6−4k+b=−3，
解得k=32b=3，
所以一次函数的表达式为：y=32x+3；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y=32x+3﹣5，即y=32x﹣2，
∵经过点（m，﹣5），
∴﹣5=32m﹣2，
解得m＝﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式2-3】（2022春•朝阳区校级期中）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求直线l的解析式；
（2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值．

【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点A（3，m）代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点（﹣2，0），（0，1）代入y＝kx+b得−2k+b=0b=1，
解得k=12b=1，
∴直线l的解析式为y=12x+1；
（2）直线l向上平移3个单位后得到y=12x+1+3=12x+4，
∵经过点A（3，m），
∴m=12×3+4=112．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式2-4】已知某一次函数的图象如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．

【分析】（1）从图象可知一次函数的图象过点（2，0）和（0，3），用待定系数法求出解析式即可；
（2）关于y轴对称，那么它们的k值互为相反数，b不变，由此即可得到所求直线的解析式．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
据图可知：直线经过（0，3）和（2，0）两点
∴3=0+b0=2k+b，
解之得：b=3k=−32，
∴一次函数的解析式为：y=−32x+3；
（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：y=32x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，明确关于y轴对称的直线，那么它们的k值互为相反数，b不变是解此题的关键．
【变式2-5】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）先求出该函数图象向下平移3个单位后的直线解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），
∴−2k+b=02k+b=2
解得k=12，b＝1
∴一次函数的解析式为：y=12x+1；
（2）∵一次函数y=12x+1向下平移3个单位的解析式为y=12x﹣2，
∴当y＝0时，x＝4，
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（4，0）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．
【变式2-6】已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）；
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；

【分析】（1）把A（1，3）代入y＝mx，利用待定系数法求得正比例函数的解析式；把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得一次函数与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可求得答案；
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝mx，得m＝3，
则正比例函数的解析式为y＝3x；
把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，
得a+b=3−2a+b=0，解得a=1b=2，
则一次函数的解析式为：y＝x+2；
（2）∵一次函数的解析式为：y＝x+2，
∴一次函数与y轴的交点坐标为：（0，2），
又一次函数与x轴的交点坐标为：（﹣2，0），
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为：12×2×2＝2；
【点评】此题考查了两条直线的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积．正确求出两个函数的解析式是解此题的关键．




题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式


【例题3】（2021秋•新吴区期末）已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），把x＝3，y＝1代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；
（2）求出y＝﹣2、y＝1时的自变量x的值，然后根据一次函数的增减性写出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），
把x＝3，y＝1代入得：1+2＝k，
解得：k＝3，
则该函数关系式为：y＝﹣3x+10；
（2）把y＝﹣2代入y＝﹣3x+10，得x＝4，
把y＝1代入y＝﹣3x+10，得x＝3，
∴当﹣2＜y＜1时，3＜x＜4．
【变式3-1】（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为 　 　．
【分析】设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），再把当x＝3时，y＝﹣4代入求出k的值即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），
∵当x＝3时，y＝﹣4，
∴﹣4＝k（3﹣2），
∴k＝﹣4，
∴y＝﹣4（x﹣2）＝﹣4x+8．
故答案为：y＝﹣4x+8．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．

【变式3-2】（2021秋•烈山区期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝1时，求y的值．
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y＝k（x﹣1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣1），
把x＝3，y＝4代入得（3﹣1）k＝4，解得k＝2，
所以y＝2（x﹣1），
即y＝2x﹣2；
（2）当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0．
【点评】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式3-3】已知y+4与x﹣3成正比例，且x＝5时y＝4，则当x＝2时，y的值为 　 　．
【分析】由y+4与x﹣3成正比例，设y+4＝k（x﹣3），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系，把x＝2代入计算即可求出y的值．
【解答】解：∵y+4与x﹣3成正比例，
∴y+4＝k（x﹣3），
∵x＝5时，y＝4，
∴8＝k•（5﹣3），
解得：k＝4，
故y+4＝4（x﹣3），
即y与x之间的函数关系式为y＝4x﹣16，
当x＝2时，y＝4×2﹣16＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式3-4】（2021秋•射阳县校级期末）已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝4时，求x的值．
【分析】（1）根据题意可设y+2＝k（x+1），然后把x＝2，y＝7代入进行计算求出k的值即可解答；
（2）把y＝4代入（1）所求的函数表达式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）设y+2＝k（x+1），
把x＝2，y＝7代入y+2＝k（x+1）中可得：
7+2＝k（2+1），
解得：k＝3，
∴y+2＝3（x+1），
∴y＝3x+1，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝3x+1；
（2）当y＝4时，3x+1＝4，
解得：x＝1，
∴x的值为1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【变式3-5】（2021秋•高邮市期末）已知y﹣2与x+1成正比例，且x＝2时，y＝8．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上．且m＞n，求m的取值范围．
【分析】（1）利用正比例的意义设y﹣2＝k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）利用n＝2m+4和m＞n得到m＞2m+4，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）设y﹣2＝k（x+1），
把x＝2，y＝8代入得8﹣2＝（2+1）k，
解得k＝2，
所以y﹣2＝2（x+1），
所以y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；
（2）把P（m，n）代入y＝2x+4得n＝2m+4，
因为m＞n，
所以m＞2m+4，
解得m＜﹣4，
即m的取值范围为m＜﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．

【变式3-6】（2022•南京模拟）已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．
【分析】（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），可得y＝k1x+3+k2（x﹣2），把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入求解即可．
（2）由（1）可直接把x＝4代入求解．
【解答】解：（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1x+3+k2（x﹣2），
把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入得，
∴7=2k1+30=k1+3−k2，
解得k1=2k2=5，
∴y＝2x+3+5（x﹣2）＝7x﹣7，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝7x﹣7．
（2）把x＝4代入y＝7x﹣7得：
y＝7×4﹣7＝21．
【点评】本题主要考查正比例函数的定义及求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．

题型四 由三角形的面积确定一次函数解析式

【例题4】（2022秋•西安期末）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ．
【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（−2k，0），然后根据三角形的面积公式得到12×2×|−2k|＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．
【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，
把（0，2）代入得b＝2，
所以y＝kx+2，
把y＝0代入得x=−2k，
所以12×2×|−2k|＝2，
解得：k＝1或﹣1，
所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．

【变式4-1】（2022秋•东平县期末）已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为　 　．
【分析】由题意可设函数解析式为y＝kx﹣2，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积=12|x||y|可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx﹣2，
令y＝0，得x=2k，则一次函数的图象与x轴交点坐标为（2k，0），
∴面积=12×2×|2k|＝3，解得：k＝±23．
∴一次函数解析式为：y=23x﹣2，或y=−23x﹣2．
故答案为：y=23x﹣2，或y=−23x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化．
【变式4-2】（2022春•濮阳期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 　 　．
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【解答】解：∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∵△AOB的面积为6，
∴12OA•OB＝6，
∴12×3•OB＝6，
∴OB＝4，
∴B（0，4）或（0，﹣4），
将A（3，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=4，
解得：k=−43b=4，
∴一次函数的解析式为：y=−43x+4，
将A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）得：
3k+b=0b=−4，
解得：k=43b=−4，
∴一次函数的解析式为：y=43x﹣4，
综上所述：一次函数的解析式为：y=−43x+4或y=43x﹣4，
故答案为：y=−43x+4或y=43x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 　 　．
【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b）
则12×2×|b|＝6，
解得|b|＝6，
∴b＝±6，
①当b＝6时，与y轴交点为（0，6）
∴2k+b=0b=6，解得k=−3b=6，
∴函数解析式为y＝﹣3x+6；
②当b＝﹣6时，与y轴的交点为（0，﹣6）
∴2k+b=0b=−6解得k=3b=−6，
∴函数解析式为y＝3x﹣6．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
故答案为：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
【变式4-4】（2022春•建瓯市校级月考）已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式．
【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得．
【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b，
当y＝0时，x=b2，则A(b2，0)，OA=|b2|，
当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|，
∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6，
∴12OA⋅OB=12×|b2|×|b|=6，即b2＝24，
解得b=±26，
则一次函数解析式为y=−2x+26或y=−2x−26．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键．
【变式4-5】（2021秋•文山市校级期末）如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C（0，3），已知OB＝4，S△AOB＝8．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点A的坐标．

【分析】（1）利用点B与点C的坐标，结合待定系数法可得直线AB的解析式；
（2）利用三角形面积公式求出A点纵坐标，继而求出横坐标，从而可知A点坐标．
【解答】解：∵根据图形，点B在x轴上，OB＝4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将点B，C代入得：4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3，
∴直线AB的解析式为：y=−34x+3；
（2）设点A（m，n），
∵S△AOB=12×OB×n=12×4×n=2n=8，
∴n＝4．
令y=−34x+3=4，解得x=−43，
∴m=−43，
∴点A的坐标为(−43，4)．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，几何面积与一次函数综合，牢记待定系数法和三角形面积公式是解题的关键．
【变式4-6】（2022•南京模拟）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，直线y＝﹣x+b分别交OA、AB于点C、D，且△BOD的面积是4
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式．

【分析】（1）由OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，得A点坐标为（4，8），通过待定系数法，求得直线AO的解析式；
（2）由OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，求得D点的坐标，再通过待定系数法，求得直线CD的解析式．
【解答】解：（1）∵OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y＝kx，则4k＝8，
解得k＝2，即直线AO的解析式为y＝2x．
（2）∵OB＝4，∠ABO＝90°，S△BOD=12×OB×BD=4，
∴DB＝2，
∴D点的坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y＝﹣x+b得：2＝﹣4+b
解得b＝6，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，准确求得相关点坐标，熟练运用待定系数法是解题的关键．


题型五 利用图形变换确定一次函数解析式


【例题5】（2022秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+5 D．y＝﹣2x+7
【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，
即y＝﹣2x+5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
【变式5-1】（2022秋•南山区期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象向上平移2个单位长度的表达式是 　 　．
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），进而根据待定系数法即可求得．
【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），
∴2k+b=33k+b=6，
解得k=3b=−3，
∴此函数表达式是y＝3x﹣3，
∵函数图像向上平移2个单位长度的表达式是y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•唐河县期中）将直线y＝3x﹣2平移后过点（3，1），则平移后函数的表达式是 　 　．
【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．
【解答】解：新直线是由一次函数y＝3x﹣2的图象平移得到的，
∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．
∵经过点（3，1），则3×3+b＝1，
解得b＝﹣8，
∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣8；
故答案为：y＝3x﹣8．
【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
【变式5-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式
为（　　）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：
y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，
即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
【变式5-4】（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y=12x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（　　）
A．y=−12x﹣5 B．y=12x+3 C．y=12x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
【答案】C．
【分析】根据两直线平行时k的值相等，设出所求解析式，把已知点坐标代入计算即可．
【解答】解：由一次函数的图象与直线y=12x+6平行，设直线解析式为y=12x+b，
把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b，即b＝﹣3，
则这个一次函数解析式为y=12x﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
【变式5-5】（2022秋•贵池区期末）如图一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移若干单位长度得到的直线l恰好经过点D，若OD＝2，则直线l的函数表达式为 　 　．

【分析】待定系数法求得一次函数的解析式，设平移后的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴−6k+b=0b=3，
解得：k=12b=3，
∴y=12x+3，
依题意，设直线l的解析式为y=12x+b1，将点D（2，0）代入得，0=12×2+b1，
解得：b1＝﹣1，
∴直线l的解析式为：y=12x−1，
故答案为：y=12x−1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式5-6】（2022•桥西区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴的负半轴上，记作点C，折痕与y轴交于点D，则直线AD的解析式为　 　．
【分析】分别将x＝0、y＝0代入直线y=−34x+3中求出与之对应的y、x值，由此即可得出点B、A的坐标，根据折叠的性质结合勾股定理可求出AC的长度，进而可得出点C的坐标，设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，在Rt△COD中利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点D的坐标，则可求出答案．
【解答】解：如图，

当x＝0时，y=−34x+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
当y＝0时，有−34x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
由折叠性质可知，△ABD≌△ACD，
∴AC＝AB，BD＝CD．
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∴AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0）．
设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即12+m2＝（3﹣m）2，
解得：m=43，
∴OD=43，
∴点D的坐标为（0，43）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，0）、D（0，43）代入y＝kx+b，
4k+b=0b=43，
解得：k=−13b=43，
∴直线AD的解析式为y=−13x+43．
故答案为：y=−13x+43．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式5-7】如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求：（1）这条直线的解析式；
（2）若将这条直线沿x轴翻折，求翻折后得到的直线的解析式．

【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（−4k，0），B（0，4），再根据三角形面积公式得到
12•（−4k）•4＝10，然后解方程求出k的值即可得到直线解析式；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出翻折后直线的解析式．
【解答】解：（1）当y＝0时，kx+4＝0，解得x=−4k，则A（−4k，0），
当x＝0时，y＝kx+4＝4，则B（0，4），
∵△OAB的面积为10，
∴12•（−4k）•4＝10，解得k=−45，
∴直线解析式为y=−45x+4；
（2）若将直线y=−45x+4沿x轴翻折，翻折后得到的直线的解析式为﹣y=−45x+4，即y=45x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及翻折变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【变式5-8】（2021秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 　 　．

【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC＝OB，AD＝AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y＝ax+b，解出解析式即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4＝2k，
解得：k＝2，
∴y＝2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB＝2，AB＝4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4
∴C（6，2），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：2a+b=46a+b=2，
解得：a=−0.5b=5，
所以解析式为：y＝﹣0.5x+5.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及旋转变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

题型六 由实际问题确定一次函数解析式

【例题6】（2021秋•高新区校级期末）新冠肺炎依然在肆虐，“郑州加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力．市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表所示，则y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式是 　 ．
价格x（元/袋）
…
5
6
10
15.5
…
销售量y（万袋）
…
3
2.8
2
0.9
…
【分析】先设y与x之间的一次函数解析式为：y＝kx+b，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：设y与x之间的一次函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得：
5k+b=310k+b=2，
解得：k=−15b=4，
∴y与x之间的一次函数解析式为：y=−15x+4，
故答案为：y=−15x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．

【变式6-1】（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价．
【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，
则0≤x≤20．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围．
【变式6-2】（2021春•宽城县期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）
A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20）
C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）
【分析】根据等腰三角形的周长＝2y+x可得出y与x的关系，再根据三角形的三边关系可确定x的范围．
【解答】解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x
∴y＝20﹣0.5x，
又∵x为底边，
∴x＜2y，x＞y﹣y，
∴0＜x＜20．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的周长和三边关系，掌握三角形周长等于三边之和及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022春•阜新县期末）A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地．汽车距B地的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为　 　．
【分析】根据汽车距B地的距离＝总路程﹣汽车行驶的距离即可解决问题．
【解答】解：由题意y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
故答案为y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
【点评】本题考查实际问题列一次函数关系式，解题的关键是理解题意，知道根据汽车距B地的距离＝总路程﹣汽车行驶的距离，注意自变量的取值范围，属于中考常考题型．
【变式6-4】（2022春•顺德区校级期中）地面温度为15℃，如果高度每升高1千米，气温下降6℃，则高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为h＝　 　．
【分析】升高h（千米）就可求得温度的下降值，进而求得h千米处的温度．
【解答】解：高度h（千米）与气温t（℃）之间的关系式为：h=15−t6．
【点评】正确理解高度每升高1千米，气温下降6℃，的含义是解题关键．
【变式6-5】（2022春•船山区校级期中）已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5时，求出函数值．
【分析】（1）根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三边关系可得出x的取值范围．
（2）由（1）的关系式，代入可得出函数的值．
【解答】解：（1）由题意得：12＝2x+y
∴可得：y＝12﹣2x，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12
∴可得3＜x＜6．
（2）由（1）得：y＝12﹣2x
∴当x＝5时函数值＝2．
【点评】本题考查三角形的周长和边长的关系，属于中档题，在确定x的范围时要注意应用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【变式6-6】（2020春•香洲区校级期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量
【分析】（1）由油箱中的余油量＝原有油量﹣耗油量可求得函数解析式；
（2）把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值．
【解答】解：（1）由题意可知：Q＝40﹣4t（0≤t≤10）；
（2）把t＝5时代入Q＝40﹣4t得：油箱的余油量Q＝20升．
【点评】此题由数量关系列出函数解析式，再把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值，问题解决．
【变式6-7】（2012•长春校级模拟）某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元，如果用x（单位：桶）表示每天的销售数量，用y（元）表示每天的利润（利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本）．
（1）试写出y与x的函数关系式．
（2）若现在固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x的函数关系式．
【分析】（1）设每天的销售数量为x，每天的利润为y元，然后根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出函数解析式；
（2）根据每桶水的进价增加了1元，列出函数解析式即可．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y＝8x﹣5x﹣200＝3x﹣200．
（2）y与x的函数关系式为：y＝8x﹣6x﹣200×（1+5%）＝2x﹣210．
【点评】本题考查的是一次函数解析式问题，关键是根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出解析式．
【变式6-8】（2021秋•朝阳区校级月考）周长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，另一边为y米．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据题意可得：两个宽+一个长＝12米，因此可得：y+2x＝12，再整理可得y＝﹣2x+12；
（2）根据长＞0，宽＞0可得﹣2x+12＞0和x＞0，再求公共解集即可．
【解答】解：（1）由题意得：y+2x＝12，
则y＝﹣2x+12；
（2）﹣2x+12＞0，
解得：x＜6，
∵x＞0，
∴0＜x＜6．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．


题型七 与确定函数解析式有关的综合性问题


【例题7】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−32，0），（32，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．

【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标．
（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，
∵点A坐标为（−32，0），点B坐标为（32，1），
∴|AB|=(0−1)2+(−32−32)2=2，
∵BH＝1，
∴BH=2AB，
∴∠BAH＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝2，
∴∠CAB+∠BAH＝90°，
∴点C的纵坐标为2，
∴点C的坐标为（−32，2）．
（2）由（1）知点C的坐标为（−32，2），点B的坐标为（32，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则1=32k+b2=−32k+b，解得k=−33b=32，
故直线BC的函数解析式为y=−33x+32．

【点评】此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式．
【变式7-1】（2022春•封开县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝2S△AOC，求点C的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得C的纵坐标为2，然后根据题意即可求得C的坐标为（2，2）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴−2k+b=0k+b=4，
解得：k=43b=83，
∴直线AB的解析式为y=43x+83；
（2）∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴S△AOB=12×2×4=4，
设C的纵坐标为n（n＞0），
∵点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
∴C（n，n），
∵S△AOB＝2S△AOC，
∴S△AOC=12×2•n＝2，
∴n＝2，
∴点C的坐标为（2，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．

【变式7-2】（2023•鼓楼区校级一模）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）当x　≤34　时，y≥0；
（4）求原点到直线l的距离．

【分析】（1）把（3，﹣3），（0，1）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
（2）根据解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）观察图象即可求得；
（4）利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把（3，﹣3），（0，1）代入y＝kx+b，
得3k+b=−3b=1，
解得：k=−43b=1，
∴直线l的解析式为y=−43x+1；
（2）在y=−43x+1中，令y＝0，则−43x+1＝0，
解得x=34，
∴A（34，0），
∵B（0，1），
∴OA=34，OB＝1，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×34×1=38，
∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为38；
（3）∵A（34，0），
∴当x≤34时，y≥0；
故答案为：≤34；
（4）设原点到直线的距离为h，
∵OA=34，OB＝1，
∴AB=OA2+OB2=(916)2+12=54，
∵S△AOB=12AB•h，
∴38=12×54×h，
∴h=35．
故原点到直线l的距离为35．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
【变式7-3】（2022•石阡县模拟）已知直线l1与x轴交于点A（−34，0），与y轴相交于点B（0，﹣3），直线l2：y=−12x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接BD．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l2上是否存在一点E，使得S△ADE=32S△CBD，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求直线l1的解析式；
（2）先利用y=−12x+3确定C（0，3），D（6，0），再计算出S△CBD＝18，则S△ADE＝27，设E点坐标为（t，−12t+3），利用三角形面积公式得到12×（6+34）×|−12t+3|＝27，然后解方程求出t，从而得到E点坐标．
【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
把A（−34，0），B（0，﹣3）分别代入得−34k+b=0b=−3，
解得k=−4b=−3，
∴直线l1的解析式为y＝﹣4x﹣3；
（2）存在．
当x＝0时，y=−12x+3＝3，则C（0，3）；
当y＝0时，−12x+3＝0，解得x＝6，则D（6，0），
∴S△CBD=12×6×6＝18，
∴S△ADE=32S△CBD=32×18＝27，
设E点坐标为（t，−12t+3），
∴12×（6+34）×|−12t+3|＝27，
解得t＝﹣10或t＝22，
∴E点坐标为（﹣10，8）或（22，﹣8）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．

【变式7-4】（2022秋•余姚市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴于点C（﹣2，0）．
（1）点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　；
（2）求直线BC的表达式；
（3）若点D在直线BC上，且△ACD是以AD为腰的等腰三角形，点D的坐标．

【分析】（1）令y＝0解得x＝3，令x＝0得y＝4；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b代入法求解即可；
（3）当AD＝AC时，此时D与B重合，求得D点坐标为（0，4）；当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，求得此时D点的横坐标，代入BC的表达式求得纵坐标即可．
【解答】解：（1）直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y＝0即0=−43x+4，解得x＝3，
令x＝0得y＝4，
即点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，4），
故答案为：（3，0），（0，4）；
（2）设过点B（0，4）、C（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b，
则有：0=−2k+b4=b，
解得：k=2b=4，
故直线BC的表达式y＝2x+4；
（3）由（1）可知，AC＝OA+OC＝5，AB=OA2+OB2=5，
当AD＝AC时，此时D与B重合，
D点坐标为（0，4），
当AD＝CD时，如图，D点在AC的垂直平分线上，

此时D点的横坐标为：3+(−2)2=12，
将x=12代入y＝2x+4，
求得y＝5，
D点坐标为(12，5)，
故D点坐标为（0，4）或(12，5)．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的存在性；解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系．

【变式7-5】（2022春•丹江口市期中）如图，直线y＝x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y＝﹣2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E．
（1）直线CD的解析式为 　 　；
（2）求△EBC的面积；
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标．

【分析】（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；
（2）由y=x+3y=−2x+6可得E（1，4），再由三角形面积公式进行解答即可；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）依题意设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，
∴b＝6，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：y＝﹣2x+6；
（2）由y=x+3y=−2x+6，
解得x=1y=4，
∴E（1，4），
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
当y＝0时，0＝﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴BC＝6，
∴S△EBC=12×BC×yE=12×6×4=12；
（3）设P（x，x+3），则Q（x，﹣2x+6），

由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，
解得：x＝3或﹣1，
∴P（3，6）或（﹣1，2）．

【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，掌握以上知识点是解题的关键．

【变式7-6】（2021秋•榆林期末）如图，已知直线AB经过点（1，﹣2），且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式和点B的坐标；
（2）若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况考虑：当直线l经过点B时，此时S△BCP：S△BAP＝1：3；（②当直线l与AB的交点D在第四象限时，易得S△APD=14S△ABC＝2，求出D点坐标，即可确定出直线l解析式．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（h≠0）．
把点（1，﹣2），（2，0）代入得k+b=−22k+b=0，
解得k=2b=−4，
∴直线AB为y＝2x﹣4．
当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4）．
（2）①当直线l经过点B时，如图1．
∵直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，
∴OA＝OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
∵P为OC的中点，
∴P（﹣1，0），
∴AP＝3CP，
∴S△BCP：S△BAP＝1：3．
设此时直线l的表达式为y＝mx+n（ m≠0）．
将点P（﹣1，0）、B（0，﹣4）代入得−m+n=0n=−4，
解得m=−4n=−4，
∴此时直线l的表达式为y＝﹣4x﹣4；
②当直线l与AB的交点D在第四象限时，如图2．
∵A（2，0），C（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴AC＝4，OB＝4，
∴S△ABC=12AC•OB=12×4×4＝8．
∵直线l将△ABC的面积分为1：3的两部分，
∴S△APD=14S△ABC＝2，
∴12•AP•|yD|＝2，即12×3×|yD|＝2，
解得|yD|=43，
将y=−43代入y＝2x﹣4，得x=43，
∴D（43，−43）．
设此时直线l的函数表达式为y＝m2x+n2（ m2≠0）．
将点D（43，−43）、P（﹣1，0）代入得−m2+n2=043m2+n2=−43，
解得m2=−47n2=−47，
∴此时直线l的函数表达式为y=−47x−47．
综上所述，所有符合条件的直线l的函数表达式为y＝﹣4x﹣4或y=−47x−47．


【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．