人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀练习题

人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编

专题08 二次函数的实际应用—销售问题

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2022九下·嘉祥开学考）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（　　）

A．55 B．56 C．57 D．58

【答案】A

【完整解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，

即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，

故答案为：A．

【思路引导】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式  ，再利用二次函数的性质求解即可。

2．（2分）（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） 

A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）

C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）

【答案】D

【完整解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），

则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，

商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．

故答案为：D．

【思路引导】根据题意中的等量关系，列出方程即可。

3．（2分）（2021九上·淮北月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　） 

A．90元，4500元 B．80元，4500元

C．90元，4000元 D．80元，4000元

【答案】B

【完整解答】解：设每月总利润为 ，

依题意得：

，此图象开口向下，又 ，

当 时， 有最大值，最大值为4500元．

故答案为：B．

【思路引导】根据题意，列出二次函数，根据二次函数的最值求出答案即可。

4．（2分）（2021九上·江干月考）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　）元。

A．3元 B．4元 C．5元 D．8元

【答案】B

【完整解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润为w元，

则

.

，

时， ，

故答案为：B.

【思路引导】设每件降价x元，每天获得的利润为w元，根据总利润=单件利润×销售量可得w与x之间的函数关系式，配成顶点式并根据二次函数的性质可求解.

5．（2分）（2021·淄川模拟）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（　　）人 

A．56 B．55 C．54 D．53

【答案】B

【完整解答】解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则 ，

由题意得： ，

由二次函数的性质可知，在 内，当 时，y取得最大值，

即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，

故答案为：B．

【思路引导】设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，由题意可列出利润与x的函数关系式，进而求得最值得出答案。

6．（2分）（2021·博山模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（　　） 

A．20 B．1508 C．1550 D．1558

【答案】D

【完整解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，

∴当x=20时，y最大值=1558．

故答案为：D．

【思路引导】将x=20代入 y=-2（x-20）2+1558计算求解即可。

7．（2分）（2020九上·安新期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 （元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法： 

①当 时， ② 与 之间的函数关系式为 ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克

其中正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④

【答案】B

【完整解答】当 时， ，故①符合题意；

由题意得： ，故②符合题意；

日销售利润为 ，

由题意得： ，

整理得： ，

解得： ， ，

∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，

∴ 不合题意，

即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③不符合题意；

由上问可知： ，

即 ，

∵ ，

∴当 时， ，

即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④符合题意；

故正确的是①②④；

故答案为：B．

【思路引导】利用“每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克 ”列出y和x的函数关系式，再利用“总利润=每件利润×数量”可得w和x的函数关系式，再逐项判断即可。

8．（2分）（2020九上·文登期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（　　）  

A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元

【答案】C

【完整解答】解：依题意得：

y=（30-20+x）（240-10x）

y=-10x2+140x+2400．

∵每件首饰售价不能高于40元．

∴0≤x≤10．

∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；

∴y=-10（x-7）2+2890．

∴a=-10＜0．

∴当x=7时，y最大=2890．

∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．

∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．

故答案为：C．

【思路引导】先求出y=-10x2+140x+2400，再求出0≤x≤10，最后计算求解即可。

9．（2分）（2021九上·肥城期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 （单位：元）与每件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（　　）  

A． B．

C． D．

【答案】D

【完整解答】解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，

∴ 销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，

∴ 每星期销售出商品的利润 ．

故答案为：D．

 【思路引导】先求出销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，再根据利润公式进行计算求解即可。

10．（2分）（2020九上·金华期中）2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台，下列结论正确的是（　　）  

A．  当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元

B．当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的

C．手机的进价是每台500元

D．零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大

【答案】A

【完整解答】解：A、设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴手机 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【思路引导】设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出手机的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022·聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为　     　元（利润=总销售额-总成本）．

【答案】121

【完整解答】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：

，

解得，

∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，

设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，

，

∵1<0，

∴当时，w有最大值为121，

故答案为：121．

【思路引导】先结合函数图象利用待定系数法求出一次函数解析式，再设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。

12．（2分）（2021·北仑模拟） 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱。有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完。经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为　     　元时，该种植户一天的销售收入最大。

【答案】25

【完整解答】解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22）=﹣30x2+1500x-11880，
∵-30＜0，
∴当x=﹣=﹣=25时，y最大，
即当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25.
【思路引导】设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，再根据零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，可列二次函数关系式y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22），整理得y=﹣30x2+1500x-11880，再结合二次函数的性质求解即可.

13．（2分）（2021九上·河池期中）某文具店出售某种文具盒，若每个获利 元，一天可售 个，则当 　     　元时，一天出售这种文具盒的总利润 最大. 

【答案】5

【完整解答】解：由题意，得

y＝x（10−x）＝−x2＋10x＝−（x−5）2＋25，

当x＝5时，y最大＝25，

故当 5元时，一天出售这种文具盒的总利润 最大

故答案为：5.

【思路引导】 根据每个获利 元，一天可售 个，结合“总利润=单件利润×数量”列函数时，再根据二次函数性质求最大值即可.

14．（2分）（2021九上·南通月考）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为　     　元时，获得的利润最多.

【答案】70

【完整解答】解：设销售单价定为每千克x元，获得利润为y元，则：

y=（x-40）[500-（x-50）×10]，

=（x-40）（1000-10x），

=-10x2+1400x-40000，

=-10（x-70）2+9000，

∴当x=70时，利润最大为9000元.

故答案为：70.

【思路引导】设销售单价定为每千克x元，获得利润为y元，利用利润=每件的利润×销售量列出式子，再化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得出答案.

15．（2分）（2021九上·长兴月考）某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为　     　元. 

【答案】256

【完整解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：

W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000

＝（x﹣28）[80﹣（ x﹣42）]﹣5000

＝﹣ x2+129x﹣8416

＝﹣ （x﹣258）2+8225，

∵当x＝258时，y＝ ×258﹣42＝22.5，不是整数，

∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，

又∵想让客人得到实惠，

∴x＝260（舍去）

∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，

故答案为：256.

【思路引导】设每天的利润为W元，根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，再利用配方化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可.

16．（2分）（2021·连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　     　元.

【答案】1264

【完整解答】解：设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数为 份，则B种快餐的份数为 份.

据题意：

∴

∵

∴当 的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元

故答案为：1264

 【思路引导】设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数为 份，则B种快餐的份数为 份.根据总利润=每个的利润×销售量，分别求出W1、W2，由W=W1+W2即得W关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.

17．（2分）（2020九上·天津月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则根据题意列函数关系式为： 　                    　（要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）  

【答案】y＝﹣10x2+100x+6000

【完整解答】解：y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000．

故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000．

【思路引导】每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．

18．（2分）（2019九上·云阳期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，当销售单价是　     　元时，每天获利最多.

【答案】80

【完整解答】解：设销售单价降低x元时，则销售单价是 元时，每天获利y元.

根据题意，得

，当 时，y有最大值，

即 ， ，

答：当销售单价是80元时，每天获利最多.

故答案为：80.

【思路引导】根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数的性质进行解答.

19．（2分）（2020九上·黄岛期末）为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为　     　元时，可使每天所获销售利润最大．

【答案】80

【完整解答】解：设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．

根据题意，得

y=（100-50-x）（50+5x）

=-5x2+200x+2500

=-5（x-20）2+4500

∵-5＜0，当x=20时，y有最大值，

即100-x=80，80＞50，

答：当销售单价是80元时，每天获利最多．

故答案为80．

【思路引导】设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．根据题意列出y=（100-50-x）（50+5x），即可求解。

20．（2分）（2018九上·绍兴期中）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a>0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　     　。

【答案】0<a<6

【完整解答】解：设未来30天每天获得的利润为y元，
y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a
y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a
要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，

解之t＜6
∵a＞0
∴a的取值范围应为：0<a<6
故答案为：0<a<6

【思路引导】设未来30天每天获得的利润为y，根据利润=（售价-进价）×件数-推广费用，就可列出利润y和天数t之间的关系式，再根据利润y随着天数t的增大而增大，结合二次函数图象的性质列出关于a的不等式，进而求出a的取值范围。

三．解答题（共9小题，满分60分）

21．（5分）（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？

【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．

则有y＝（80+10x）（100﹣10x）

＝﹣100x2+200x+8000．

当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．

则x＝1时，y＝8100，

答：每张床位每天应提高10元．

【思路引导】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。

22．（5分）（2021九上·宿松期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

【答案】解：由题意得：

， 且 为整数 ，

，

当 时， 有最大值 ，

，且 为整数，

当 时， ， ，

当 时， ， ，

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

【思路引导】先根据题意写出函数解析式，再根据函数的性质以及自变量的取值范围，确定函数的值即可。

23．（5分）（2021九上·甘井子月考）某商品现在的售价每件60元，每星期可卖出300；市场调查发现，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为40元，如何定价，才能使利润最大？

【答案】解：设每件商品降价 元时，对应的利润为 元，据题意得 ， 

其中 ，整理得 ．

配方得 ．

，

∴当 时， 有最大值6125．

∴ ．

答：当商品定价为57.5元时，利润最大．

【思路引导】先求出 ， 再求出 当 时， 有最大值6125，最后计算求解即可。

24．（5分）（2021·建邺模拟）“垃圾分类，利在千秋”.某废品回收站的废纸回收价为1.5元/千克，每天可回收100千克.回收价格每增加0.1元/千克，每天可多回收废纸40千克.如果废纸销往废品收购公司的价格为2.5元/千克，销售废纸的利润为 元，如何定回收价可以使得当天利润不低于150元？ 

【答案】解：设回收价格增加 元/千克，则回收价为 元/千克， 

根据题意可得：

.

∵ ，

∴该二次函数的图象开口向下.

当 时，即 ，

解得： ， ，   

∴当 时， ，

∴ .

∴回收价大于等于 且小于等于2元/千克时，可以使得当天利润不低于150元.

【思路引导】设回收价格增加x元/千克，则回收价为（1.5＋x）元/千克，每千克的利润为[2.5-(1.5+x)]元，每天回收的数量为(100+40×10x)千克，W=每千克的利润×销售数量建立出W关于x的二次函数，令W＝150，解得相应的x值，根据二次函数的性质可得答案．

25．（5分）（2021九上·沙依巴克期末）某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？  

【答案】解：设每件童装降价x元，利润为y元，  

，

∴当 时，y取得最大值，此时 ，

即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元.

【思路引导】设每件童装降价x元，利润为y元，利用利润y=每一件的利润×销售量，可得到y与x之间的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.

26．（9分）（2022·盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）（3分）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）（3分）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

（3）（3分）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，

把点（25，50）和点（35，30）代入，得

，解得，

∴一次函数的解析式为；

（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则

，

解得：，，

∴当天玩具的销售单价是40元或20元；

（3）解：根据题意，则

，

整理得：；

∵，

∴当时，有最大值，最大值为800；

∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．

【思路引导】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该玩具某天的销售利润是600元， 列方程求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。

27．（7分）（2022·贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套.

（1）（3分）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；

（2）（4分）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）解：根据题意，得

与x之间的函数关系式是

（2）解：根据题意，得

∴抛物线开口向下，W有最大值

当 时，

答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元.

【思路引导】（1）由题意可得当售价为x元时，每天可多少卖×4(x-48)套，利用200减去少卖的套数可得y与x的关系式；
（2）根据(售价-进价)×销售量可得W关于x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.

28．（9分）（2022·玉环模拟）面朝大海，春暖花开！榴岛大地正值草莓上市销售的旺季．某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如下图所示：

（1）（3分）求y关于x的函数关系式；

（2）（3分）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

（3）（3分）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励 ，商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值．

【答案】（1）解：设y=kx+b，
∵（25，110）和（35，90）在函数图象上，
∴，解得，
∴y=-2x+160；

（2）解：设日销售利润为W元，
由题意，得：W=（x-20）（-2x+160），
整理，得：W=-2（x-50）2+1800，
∵-2＜0，即二次函数图象开口向下，
当x＜50时，W随x的增大而增大，
∵20＜x≤49，
∴当x=49时，W取得最大值，Wmax=1798元，
答：当售价定为每盒49元时，日销售利润最大，最大利润是1798元；

（3）解：∵顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励（a＞0），
∴W=（x-20-a）（-2x+160）=-2x2+（2a+200）x-3200-160a，
∴对称轴为x==a+50，
又∵日销售量不少于40盒，

∴-2x+160≥60，
∴x≤60，
∴20＜x≤60，
①当a+50＜60 ，即a＜20时， ，
解得：a=116（不合题意，舍去）或a=4，
②当a+50≥60，即a≥20时，，
解得：a=0.8（不合题意，舍去），
∴商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元时，a=4.

【思路引导】（1）设y=kx+b，把（25，110）和（35，90）代入解析式求得k和b，即可求出y关于x的函数关系式；
（2）设日销售利润为W元，根据总利润=单件利润×销售数量，可列出W与x之间的函数关系式，再利用二次函数性质，结合20＜x≤49，即可得W取得最大值；
（3）由（2）中利润的表达式及顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励（a＞0），可得W与x之间的函数关系式，根据日销售量不少于40盒求得x的取值范围，分两种情况：①当a+50＜60 ，即a＜20时；②当a+50≥60，即a≥20时，分别利用二次函数的增减性表示出其最大值，再根据日销售最大利润为1568元，列出关于a的方程，解之并确定符合题意的a值即可.

29．（10分）（2022·牡丹模拟）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．

（1）（3分）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；

（2）（3分）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；

（3）（4分）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）解：根据题意得：，；

（2）解：根据题意可得：，

整理得： ，

解得：，（不符合题意，舍去），

答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．

（3）解：由题意，得，

，

，

∵，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线，

当时，w随x的增大而增大．

∵，

∴当时，w有最大值，

此时，，

答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．

【思路引导】（1）根据题意列出一次函数的解析式即可；
（2）利用“总利润=每件的利润×数量”可得方程，再求出x的值即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。