初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定测试题

【巩固练习】

一.选择题

1.下列命题中，正确的是(     )

A.两邻边相等的四边形是菱形

B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线垂直的四边形是菱形

2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（    ）

 A.30°和150° B.45°和135°   C.60°和120°    D.80°和100°

3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（    ）

A．6，8   B. 3，4  C. 12，16   D. 24，32

4. （2020•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）

A.108°  B.72°   C.90°    D.100°

5. （2020•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4

6. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A.        B.2          C.3          D.

二.填空题

7. （2020•江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为      ．

8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.

9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.  

10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是                  ．

11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝        ．

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.

三.解答题

13. （2020•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．

求证：（1）四边形AMCF是菱形；

     （2）△ACB≌△MCE．

14. （2020•安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．

(1)求证：△BDE≌△BCF；

(2)判断△BEF的形状，并说明理由；

(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B；

2.【答案】A；

  【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.

3.【答案】C；

【解析】设两条对角线的长为.所以有，∴，所以两条对角线的长为12 ，16.

4.【答案】B；

【解析】连接PA，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，

∴PA=PC，

∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，

∴PA=PD，

∴PD=PC，

∴∠PCD=∠CDP=36°，

∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；

故选：B．

5.【答案】A.

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，

由勾股定理得：AB==5，

∵S菱形ABCD=，

∴，

∴DH=，

故选A．

6.【答案】A；

  【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.

二.填空题

7.【答案】． ； 

【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，

由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，

∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，

在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，

AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.

8.【答案】5；

  【解析】菱形四条边相等.

9.【答案】；

  【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.

10.【答案】5；；；

  【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.

11.【答案】；

   【解析】.

12.【答案】；

【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．

三.解答题

13.【解析】

证明：（1）∵△ACF是等边三角形，

∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACB=∠FAC，

∴AF∥BC，

∵AM∥FC，

∴四边形AMCF是平行四边形，

∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，

∴∠AMC=60°，

又∵∠ACB=60°，

∴△AMC是等边三角形，

∴AM=MC，

∴四边形AMCF是菱形；

（2）∵△BCE是等边三角形，

∴BC=EC，

在△ABC和△MEC中

∵，

∴△ABC≌△MEC（SAS）．

14.【解析】

（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四边形AECF为菱形时，

∴AE=EC．

又∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB=BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，

▱ABCD的BC边上的高可由勾股定理算得为，

∴菱形AECF的面积为2．

15．【解析】

解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF

        ∴AE＝DF，DE＝CF，

        ∵AB＝BD

        ∴∠A＝∠ADB＝60°

        在△BDE与△BCF中

∴△BDE≌△BCF

（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF

∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°

         ∴△BEF是等边三角形

 (3)∵≤△BEF的边长＜2

∴

∴