高考数学一轮复习 专题3.4 幂函数(讲)
展开高考数学一轮复习策略
1、揣摩例题。
课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
专题3.4 幂函数
新课程考试要求 | 1.了解幂函数的概念.掌握幂函数 ,的图象和性质. 2.了解幂函数的变化特征. |
核心素养 | 培养学生数学抽象(例1)、数学运算(例5--10)、数学建模、逻辑推理(例10)、直观想象(例2.3.4)等核心数学素养. |
考向预测 | 1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外,多在题目中应用函数的图象和性质; 2.幂函数的图象与性质的应用. 3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质. |
【知识清单】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数特征性质 | y=x | y=x2 | y=x3 | y=x | y=x-1 |
定义域 | R | R | R | [0,+∞) | {x|x∈R,且x≠0} |
值域 | R | [0,+∞) | R | [0,+∞) | {y|y∈R,且y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
【考点分类剖析】
考点一 :幂函数的概念
例1.已知函数f(x)=(m2+2m)·xm2+m-1,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
【总结提升】
形如y=xα的函数叫幂函数,这里需有:(1)系数为1,(2)指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、y=xx+1、y=x2+1均不是幂函数,再者注意与指数函数的区别,例如:y=x2是幂函数,y=2x是指数函数.
【变式探究】
(2021·全国高一课时练习)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
考点二 :幂函数的图象
例2.(2020·四川省高一期末)若四个幂函数,,,在同一坐标系中的部分图象如图,则、、、的大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示,则与的取值情况为 ( )
A. B. C. D.
例4.(2021·浙江高一期末)已知幂函数的图像过点,则________,_________.
【总结提升】
1.函数y=xα的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当α>0时,第一象限图象是上坡递增;当α<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可.
2.幂函数y=xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”,往往利用待定系数法,求幂指数,得到函数解析式,进一步解题.
【变式探究】
1.(2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考(文))函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
2.(2020·上海高一课时练习)如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A. B.
C. D.
3.(2020·上海高一课时练习)下列四个结论中,正确的是( )
A.幂函数的图像过和两点 B.幂函数的图像不可能出现在第四象限
C.当时,是增函数 D.的图像是一条直线
考点三 :幂函数的性质
例5. (2021·北京高三其他模拟)已知定义在上的幂函数(为实数)过点,记,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
例6.(2021·贵州省思南中学高三一模(理))已知幂函数,经过点,试确定的值,并求满足条件的实数的取值范围.
例7.(2021·全国高一课时练习)已知偶函数在上是减函数,则整数a的值是________.
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不同次数的幂函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幂的底数不确定时,要注意讨论底数的不同取值情况.
【变式探究】
1. (2020·四川省高三二模(文))已知点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,设,b=f(lnπ),,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
2.(2020·上海高一课时练习)已知幂函数的图像满足,当时,在直线的上方;当时,在直线的下方,则实数的取值范围是_______________.
3.(2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考(文)) 已知函数是幂函数,且在上单调递增,则实数________.
考点四:幂函数综合问题
例8.(2021·江西高三其他模拟(文))已知函数是幂函数,直线过点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例9.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y= (x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为________.
例10.(2020·江西省南康中学高一月考)已知幂函数满足.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数使得的最小值为0?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数,使函数在上的值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
【变式探究】
1.(2019·内蒙古自治区高三月考(理))若幂函数的图象过点,则函数的最大值为( )
A. B. C. D.-1
2.(2020·上海高一课时练习)若,求实数a的取值范围.
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