专题05 指对幂函数及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第5讲 指对幂函数及其应用

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一、知识梳理

指数和指数函数

1.根式的概念及性质

(1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.

(2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

(2)指数函数的图像与性质

对数和对数函数

1.对数的概念

在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

①loga(MN)＝logaM＋logaN，

②logaMα＝αlogaM，

③loga＝logaM－logaN.

其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.

(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

(2)对数函数的图像与性质

4.指数函数与对数函数的关系

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.

幂函数和二次函数

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图像

(3)幂函数的性质

①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).

②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.

③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图像和性质

二、考点和典型例题

1、指数和指数函数

【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练习）（多选）关于函数的结论正确的是（       ）

A．值域是 B．单调增区间是

C．值域是 D．单调减区间是

【典例1-2】（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）（多选）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-4】（2022·重庆·模拟预测）（多选）已知（e为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（       ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

2、对数和对数函数

【典例2-1】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设，，，则，，的大小关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

【典例2-2】（2022·江苏南京·三模）我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（       ）位数．

A．71 B．70 C．69 D．68

【典例2-3】（2022·河南开封·三模（理））函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【典例2-4】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【典例2-5】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（       ）

A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657

3、幂函数和二次函数

【典例3-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（       ）

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）

A． B．0或2 C．0 D．2

【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（       ）

A．是周期函数 B．是单调函数

C．关于点对称 D．关于原点对称

【典例3-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（       ）

A． B．

C． D．

【典例3-5】（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例3-6】（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））幂函数在上单调递增，则的图象过定点（       ）

A． B． C． D．

4、综合应用

【典例4-1】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【典例4-2】（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【典例4-3】（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（       ）

A． B．

C． D．

【典例4-4】（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【典例4-5】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）

A． B． C． D．