专题3.4 幂函数-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以常见幂函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
幂函数的定义
幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

知识点二
常见的5种幂函数的图象
常见的5种幂函数的图象
知识点三
常见的5种幂函数的性质
常见的5种幂函数的性质
常考题型剖析
题型一：幂函数的概念
【典例分析】
例1-1. （2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
例1-2. （2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则___________.
【知识拓展】
1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.
【变式训练】
变式1-1. （2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
变式1-2. （2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
题型二：幂函数的图象
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．

例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
例2-3.（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例2-4.（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.
【规律方法】
函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
【变式训练】
变式2-1.（2011·陕西·高考真题）函数的图象是( )
A． B．C．D．
变式2-2. （2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
变式2-3. （2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
变式2-4.（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．
题型三：幂函数的性质
【典例分析】
例3-1.（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是( )
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
例3-2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
A．B．C．D．
例3-3．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例3-4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
【变式训练】
变式3-1. （2020·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
变式3-2. （2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
变式3-3. 【多选题】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3-4.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.

题型四：幂函数综合问题
【典例分析】
例4-1. （2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
例4-2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
例4-3．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
例4-4．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【变式训练】
变式4-1. （2023·广东佛山·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2. （2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4-3. （2023·高三课时练习）已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为______．（写出满足条件的所有取值）
变式4-4. （2020秋·江西上饶·高三校考阶段练习）已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
一、单选题
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
5．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
6．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
7.（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
8．（2012·山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、填空题
9. （2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
10．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.
11.（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
12．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇