浙教版八年级下册4.2 平行四边形课后作业题

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1．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
；
故选：C．
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
．
故选：A．
3．矩形中，，平分交于，平分交于．
①说明四边形为平行四边形；
②求四边形的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）30
【分析】解：①是矩形，
，即，．
．
平分，平分，
．
．
四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
②作于，
平分，（角平分线的性质），
又，
，．
在中，设，则，
那么
．
平行四边形的面积等于．
核心知识2 矩形的判定与性质综合
1．下列说法中正确的是
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，故选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项符合题意；
故选：D．
2．如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是____________________________．
【答案】或或（写出一个即可）
【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
添加，，
，
为矩形；
添加，
，
为矩形；
添加，
，
为矩形．
故答案为：或或．
3．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是
A．3B．3.6C．3.75D．4
【答案】B
【解析】解：连接，如图所示：
，于点，于点，
四边形是矩形，，
，与互相平分，
点是的中点，
，
当时，最小，
，
，
故选：B．
4．如图，在三角形中，点是边上的一个动点，过点作直线平行于，设交的角平分线于点，交的外角平分线于．问：
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．
【分析】（1）证明：
交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，，
，
，，
，
；
（3）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，
理由如下：当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
5．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，平分，则平行四边形的面积为_________．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为；．
6．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）．
【分析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）可知，四边形为矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
核心知识3 菱形的性质
1．如图，菱形的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为
A．2B．C．6D．
【答案】D
【解析】解：菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
解得，，
，
故选：D．
2．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为
A．48B．24C．12D．6
【答案】C
【解析】解：菱形的两条对角线的长分别为12和8，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，
阴影部分的面积．
故选：C．
3．菱形的周长是24，两邻角比为，较长的对角线长为_________．
【答案】
【解析】解：如图，菱形的周长是24，
菱形的边长，
菱形的两邻角之比为，
较小的内角，
是等边三角形，
，
在菱形中，，，，
，
在中，，
较长的对角线．
故答案为：．
4．如图，四边形为平行四边形，对角线，交于点，，分别在，上，，．
（1）当时，判断四边形的形状并证明；
（2）当四边形为菱形时，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形，
，
又，，
，
平行四边形的周长．
核心知识4 菱形的判定与性质综合
1．如图，点，分别在的边，上，，连接，．请问下列条件中不能使为菱形的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
为菱形，故选项不符合题意；
B、由，，，不能判定，
不能得出，
不能使为菱形，故选项符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
为菱形，故选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
为菱形，故选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，在中，点是边的中点，点，分别是及其延长线上的点，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当满足_______条件时，四边形为菱形．（填写序号）
①．②，③，④．
【答案】（1）证明见分析；（2）①，理由见分析．
【分析】（1）证明：在中，是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：满足条件①时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
由（1）知，，
，，
平行四边形为菱形．
故答案为：①．
3．如图，在四边形中，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）过点作，交的延长线于点，若，．
①求菱形的面积．
②求四边形的周长．
【答案】（1）证明见分析；（2）①48；②26
【分析】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：①菱形中，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②．
4．如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）证明：菱形的对角线和交于点，
，，，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
．
5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见分析；（2）2
【分析】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
核心知识5 正方形的性质
1．如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是
A．34B．36C．40D．100
【答案】C
【解析】解：正方形的边长为8，在各边上顺次截取，
，
四边形的面积为：；
故选C．
2．如图，、、分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如图，设与交于点，过点作交于点，交于点，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
在中，．
故选：D．
3．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：如图，延长交于点，
，，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
同理可得，
在中，，
故选：C．
4．如图，已知在正方形中，是的中点，是延长线上一点，且交的平分线于．试判定线段与的大小关系，并说明理由．
【答案】相等，证明见分析
【分析】解：，理由如下：
如图，取的中点，连接，
，
，
，
平分，即，
又，
，
．
，
在和中，
，
，
．
核心知识6 正方形的判定与性质综合
1．下列说法中，正确的有
（1）对角线相等的平行四边形是菱形；
（2）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）对角线相等且垂直的四边形是正方形；
（5）对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形，故（1）错误；
（2）一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故（2）错误；
（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（3）错误；
（4）对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故（4）错误；
（5）对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故（5）正确．
所以正确的只有（5）一个，
故选：A．
2．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：两组对边分别相等；一组对边平行且相等；一组邻边相等；一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①，，；②，，；③，，．你认为能得到正方形的是_________．（填写你认为正确的序号）
【答案】①②
【解析】解：①由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故答案为：①②．
3．如图，在矩形中，点，分别在，边上，且，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）17
【分析】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
矩形是正方形．
（2）解：由（1）可知：，
又，，
由勾股定理得，，
四边形是正方形，
．
4．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明见分析；（2）①证明见分析；②．
【分析】（1）证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：如图，作于，于，得矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
，
，
连接，
，
．
正方形的边长为．
5．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1）_______（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
【答案】（1）45；（2）①证明见分析；②2；（3）
【分析】解：（1），
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
（2）①作于，如图1所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
②设，
，
，
由①得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为2；
（3）解：如图2所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
故答案为：．