专题7.7 平行线四大模型专项训练（40道）-七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题7.7  平行线四大模型专项训练（40道）

【苏科版】

考卷信息：

本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！

【模型1  “铅笔”模型】

1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　)

A．55° B．60° C．65° D．70°

2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．

4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数.

5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，，，，求的度数.

6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，

∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°

∵AB//CD，∴PE//CD．

……

请你帮助小明完成剩余的解答．

(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．

7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．

（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．

如图2，过点P作PE∥AB，

因为AB∥CD，所以PE∥CD．（      ）

所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（      ）

因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，

∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．

问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【模型2  “猪蹄”模型】

9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度．

10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：

(1)如图1，，，，直接写出的度数．

(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．

(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．

11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．

(1)猜想：若，，试猜想______°；

(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．

12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．

(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；

(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．

13．（2022·广东韶关·七年级期中）如图1，点、分别在直线、上，，.

（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）

（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；

（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．

14．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：

15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．

（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；

（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．

①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．

②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）

16．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．

(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

17．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；

(1)若∠E＝60°，则∠F＝        ；

(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；

(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

18．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；

解：过点P作直线PH∥AB，

所以∠A＝∠APH，依据是　　；

因为AB∥CD，PH∥AB，

所以PH∥CD，依据是　　；

所以∠C＝（　　），

所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°．

（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：

①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；

②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．

19．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足 ．

（1）证明：；

（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．

20．（2022·重庆江北·七年级期末）如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．

（1）求的值；

（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；

（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．

21．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．

（1）如图1，求证：HG⊥HE；

（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

22.（2022·广西柳州·七年级期中）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．

(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；

(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．

①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；

②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．

【模型3  “臭脚”模型】

23．（2022·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；

（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？

24．（2022·全国·七年级）已知，，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．

25．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．

（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．

（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．

26．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F．

求证：．

证明：∵于点A，于点F，（已知）

∴．（垂直的定义）

∴AD∥EF，（    ）

∴__________（    ）

∵AE∥CD，（已知）

∴________．（两直线平行，同位角相等）

∵，

∴．（等量代换）

27．（2022·广东珠海·七年级期中）已知，点为平面内一点，于．

（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；

（2）点在两条平行线之间，过点作于点．

①如图2，说明成立的理由；

②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．

28．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【模型4  “铅笔”模型】

29．（2022·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．

30．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______

31．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．

32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．

33．（2022·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．

34．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D

35．（2022·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．

（1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由；

（2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程．

（3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．

36．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与探究

【问题情境】

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

【问题迁移】

（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，

①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．

②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．

37．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．

（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；

（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；

（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．

38．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；

（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．

（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．

39．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　．

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

40．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．

（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　        ；（不需要证明）

如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　        ；（不需要证明）

（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；

（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．