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1.1有理数、数轴（教师版） 教案
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有理数、数轴（教师版）
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
正负数、有理数、数轴
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解正负数在生活中的作用，理解有理数的意义。
2、掌握有理数的分类，和数轴的三要素。
3、能够应用有理数解决生活实际问题。
重、难点
有理数的分类，与数轴结合解决生活实际问题。
课首沟通
1. 你的小学阶段的内容掌握如何，计算能力，图形知识，应用题解决能力如何？
2. 你初中就读的学校是什么？是否在重点班？
知识导图
课首小测
1. [有理数] [难度： ★ ] 在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。
【参考答案】＜；＞；＜；＝；＞；＝。
【参考答案】上面： ； ；下面：1.25；2.75。
2. [难度： ★ ] 用直线上面的方框里填适当的分数，直线下面的方框里填适当的小数。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 把下列数进行转换
【参考答案】
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数。
－1，2.5,＋ ,0,-3.14,120,-1.732,－ .
正数： 负数：
【参考答案】正数： 2.5,＋,120； 负数：－1， -3.14, -1.732,－.
导学一 ： 运算复习
知识点讲解 1：四则运算顺序： 有括号要先算括号里面的（先算小括号里面的，再算中括号厘米的）， 先算高级运算再算低级运算（加减法为一级；乘除为二级、乘法开方为三级）。
例题
1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 直接写出得数.
－ ＝ 40×25%＝ × ＝
÷6＝ ×2.4＝ ÷0.4＝
【参考答案】 ；10； ； ； ；0.9；2；2。
÷ ＝
( － )
×8＝
2. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2015年广州市越秀区六年级期末考试） 计算下列各题. (1) × ÷ ； (2) ÷ ＋ × ；
(3)4－ ÷ ﹣ ； (4)( － )÷( ＋ × )
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
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1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2015年广州市荔湾区六年级期末考试） 计算下列各题。
（1） × ÷ （2）（ ＋ ）÷
（3）（ ＋ ）÷（ ） （4）8.6－ ÷ ÷
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）3.6。
2. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2014年广州市荔湾区六年级上第二单元考试） 脱式计算。
（1） （2）
（3） （4）
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
知识点讲解 2：运算定律与运算性质
例题
1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 脱式计算（能够简算的用简算）
（1）4.6-7.91+3.4-0.09 （2） 0.34-3.8+9.46-1.2
（3）17.18-2.7-4.3 （4） 48.14-2.43-7.57
（5） （6）52.62－4.43－（12.62＋5.57）
（7）19.8×3.7－9.8×3.7 （8）4.3×2.5＋43×0.75
（9） （10）
（11） （12）
（13）27× （14）999 ＋99 ＋9 ＋
（15）9 ×8＋8 ×7＋7 ×6＋6 ×5
【参考答案】（1）0；（2）5；（3）10.18；（4）38.14;（5）2 ；（6）40；（7）37；（8）43；
（9） ；（10）9；（11） ；（12）115；（13） ；（14）1110；（15）222。
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1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 脱式计算（能简算的用简算）。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）137；（5） ；（6） ；
【题目解析】
（2） （3）
（4） （5） （6）
导学二 ： 正负数知识点讲解 1：数论例题
1. [正数和负数] [难度： ★ ] 把自然数按照是否是（ ）的倍数，可以分为（ ）数和偶数。如果用字母n（n是自然数）来表示数，则奇数可以表示为（ ），则偶数可以表示为（ ）。
【参考答案】2；奇；2n＋1；2n。
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 请把奇数和偶数的运算性质填充完整。
奇数±奇数=（ ）数 偶数±偶数=（ ）数 奇数±偶数=（ ）数（大－小） 奇数×奇数=（ ）数 偶数×偶数=（ ）数 奇数×偶数=（ ）数
【参考答案】偶、偶、奇；奇、偶、偶。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 如果A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5，则A、B、C的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
【参考答案】2；450
【题目解析】A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5；只有2是相同的因数，所以最大公因数是2，再利用短除法求出最小 公倍数是450.
4. [奇数与偶数] [难度： ★★ ] 填空
（1） 甲数和乙数都是自然数，甲数是乙数的8倍，甲、乙两数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（2） a=2×5×7，b=2×5×9，则a与b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）
（3） 所有非零自然数的公因数都是（ ）
（4） 所有偶数的公因数都是（ ）
【参考答案】（1）乙数、甲数；（2）10、630；（3）1；（4）2。
【题目解析】（1）两个数存在着倍数关系的时候，最大公因数是小的那个数，最小公倍数是大的那个数。
（2）a=2×5×7，b=2×5×9，则a与b的最大公因数是2×5=10，最小公倍数是2×5×7×9=630.
（3）1是所有非0自然数的因数。
（4）偶数都是2的倍数，则偶数的公因数是2。
知识点讲解 2：正负数的定义
（1） 正数就是以前学过的除0之外的数,负数就是在以前学过的除0以外的数前加－号的数.
（2） 为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了-5、-2、-237、-0.7，象这样的数是一种新数，叫做负数．过去学过的那些数（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正数．正数前面有时也可以放上一个“+”（读作“正”）号，如5可 以写成+5，+5和5是一样的．
注意：0既不是正数，也不是负数．
例题
1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] （2014年广州市海珠区七年级上期末考试） 在数0.25，﹣，7，0，﹣3，
100中，正数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【参考答案】C
【题目解析】0.25，7，100是正数，
【思维对话】学生常见思维障碍点：不清晰0的归属。
思维障碍点突破方法；让学生理解0是没有的意思，不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。
【学有所获】 既不是正数，也不是负数。[学有所获答案]0
2. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 下列对于“0”的说法正确的个数是（ ）
0是正数和负数的分界点； 0表示“什么也没有”； 0可以表示特定的意义，如0℃等；
0是正数 0是自然数 0是非负数
A ．3 B． 4 C．5 D． 6
【参考答案】B
【题目解析】 正确； 错误； 正确； 错误； 正确； 正确。
【思维对话】学生常见思维障碍点：（1）在判断“ 0可以表示特定的意义，如0℃等”时，认为是正确的。
（2）在判断“ 0是非负数”时容易出错。
思维障碍点突破方法：（1）在实际生活中，我们会把一个标准的数量记为0，超过标准或者低于标注用正负数来表示，方便看出与标准之间相差的数量是什么，并不是不存在的意思。
（2）让学生理解清楚有正数、0、负数三类，非负数：是指0和正数；非正数：则是指0和负数。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数？
＋2017，－3.1， ， 10.58 ，－9，＋1，－45.6, 0 ，＋ ，－2.14 ，－1
正数： 负数：
【参考答案】正数：＋2017， ，10.58，＋1，＋ ；负数：－3.1，－9，－45.6, －2.14 ，－1
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1. [正数和负数] [难度： ★ ] 填空题
（1） 列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
+6，－21，54，0， ，－3.14，0.001，－999
负数： 正数：
（2） 最大的负整数是（ ），最小的正整数是（ ）
【参考答案】（1）负数：－21，－3.14，－999；正数：+6， 54， ，0.001。 （2）－1；1。
知识点讲解 3：用正负数表示具有相反意义的量
正负数：用正数表示其中一种意义的量,另一种量用负数表示;
（ 它们意义相反，如向东与向西； 它们需要都是同类量。）
（1） 特别地,在正负数表示向指定方向变化的量时,通常把向指定方向变化的量规定为正数,而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数.
（2） 通常我们习惯把“前进、上升、收入、零上温度、海拔以上”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度、海拔以下”规定为负。
例题
1. [正数和负数] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 如果水面上升10米记作＋10米，那么下降5米记作 米。
（2） 盈利200元记作＋200元，亏损100元记作 。
（3） 如向东走5米记作＋5米，则向西走5米记作 米。
（4） 如果温度上升4℃记作＋4℃，那么温度下降10℃记作 。
（5） 如果顺时针旋转30°记作+30°，那么－90°表示 。
（6）如果把公元2017年记作＋2017，那么－190表示 。
（7） 长江的水位高于正常水位7.6m时记作＋7.6m，那么低于正常水位5m时应记作 ，
－8.2m表示 ，0m表示 。
（8） “一只闹钟，一昼夜误差不超过±10s”这句话的含义是 。
【参考答案】（1）－5；（2）－100元；（3）－5；（4）－10℃；（5）逆时针旋转90°；（6）公元前190年；（7）
－5米，低于正常水位8.2m，正常水位高度；（8）一天一夜24小时最多快10秒或慢10秒。
【题目解析】此题考察用正负数表示相反意义的量，需要注意有些需要把单位补充完整。
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 七年级一班第一小组的五名同学的某次数学测验成绩的平均分成绩为85分，在做记录时，把超过平均分记为正数，五名同学的成绩记录如下表，请你写出这五名同学的实际成绩是多少分？
【参考答案】A70分；B81分；C85分；D89分；E100分。
【题目解析】A70分=85－15；B81分=85－4 ；C85分=85＋0； D89分=85＋4 ；E100分=85＋15。
【学有所获】“0”不仅仅表示没有，而是表示正数与负数的 “基准”，它既不是正数也不是负数。[学有所获答案]分界
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 某饮料生产公司生产一种瓶装饮料，外包装上印有“600±30（ml）”的字样，那么
±30ml表示什么含义？质监局分别抽查了5瓶，容量分别是603ml，611ml，588ml，568ml，628ml，问抽查的产品容量是 否合格？
【参考答案】±30ml表示比标准容量多30ml或者少30ml都在合格范围内，抽查的5瓶饮料中只有568ml比600ml少32ml不 合格，其余的均合格。
【题目解析】正确理解相反意义的量。±30ml表示比标准容量多30ml或者少30ml都在合格范围内，即是在（600＋30） ml到（600－30）ml之间。
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数是什么吗？
（1）―1，―2，＋3，―4，―5，＋6，―7，―8， ， ， ，···
（2）－1， ，－3， ，，－5， ，，－7， ， ， ， ，···
【参考答案】
【题目解析】
（1）＋9 ，－10，－11，后面第15个数是＋15，第101个数是－101，第2017个数是＋2017。
（2）－9， ，－11，后面第15个数是－15，第101个数是－101，第2017个数是 。
（1）符号具有周期规律：“――＋”，数字规律是按顺序从1开始。所以答案就是＋9 ，－10，－11，
后面第15个数是＋15，第101个数是－101，第2017个数是＋2017。
（2）符号具有周期规律“－＋”，数字的规律是“整数、分数”，看数字序号的是奇数还是偶数，快速判断。所以答案是－9， ，－11，后面第15个数是－15，第101个数是－101，第2017个数是 。
【思维对话】
学生常见思维障碍点：学生找不到数字的周期规律。
思维障碍点突破方法：先引导学生观察数字的符号，发现符号的正负规律，再引导学生观察数字与序号之间的关系，从而解决问题。
5. [正数和负数] [难度： ★ ] 现称六位七年级的学生的体重如下：40千克，38千克，37千克，46千克，39千克，34千克。
（1） 求一下六位同学的体重平均值。
（2） 你能以平均值为基准，用正负数表示每位同学的体重与平均值的差吗？
【参考答案】（1）39千克；（2）
【题目解析】（1）（40＋38＋37＋46＋39＋34）÷6=39（千克）
（2）略
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1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示（ ）。
A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%
【参考答案】C
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 填空题
（1） 薯片袋子上标有“500±5g”的字样中，＋5表示 ，－5表示 ， 说明每袋薯片的重量，在 g和 g之间。
（2） 卓越大楼地上共有30层，地下共有5层，若用正数、负数表示这栋楼房每层的楼层号，则地面上的最高层表示为
，地面下最底层表示为 ，某人乘电梯从地下最底层升至地上6层，电梯一共运行了
层。
【参考答案】（1）比500克多5克， 比500克少5克，495，505。（2）＋30层，－5层，10。
【题目解析】（2）最后一个填空易错，需要结合生活实际进行思考，地面就是1层，不存在0层，所以在-1和1之间只 有1层的高度，那么在最底层和上升到地上6层只是上升了10层。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第20个数、第200个数、第201个数是什么吗？
（1）1，－1，1，－1，1，－1，1，－1， ， ， ，…
（2）1，－2，3，－4，5，－6，7，－8， ， ， ，…
（3）－1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…
【参考答案】
（1）1，－1，1，第20个数是－1、第200个数是－1、第201个数是1。
（2）9，－10，11，第20个数是－20、第200个数是－200、第201个数是201。
（3） ，－ ， ，第20个数是 、第200个数是 、第201个数是－ 。
【题目解析】先找数字的正负性质符号的规律，再找数字的规律。
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 小康水平的一个指标是年人均收入1000美元，2011年年底对某地随机抽样调查，得出10 户的年人均收入，若以人均收入1000美元以及以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元 的美元数用负数表示。此10户年人均收入如下（单位：美元）
请你算一下这10户有百分之几达到了小康指标？
【参考答案】70%
【题目解析】7÷10×100%=70%
导学三 ： 有理数
知识点讲解 1：有理数
例题
1. [有理数] [难度： ★ ] 把下列循环小数化为分数。
（1）0.33······化为（ ）
（2）0.166······化为（ ）
【参考答案】 ，
【题目解析】 ，
（1）把0.33······设为a，10a=3.33······，相减得到9 a=3，a=
（2）把0.166······设为a，10a=1.66······相减得到9 a=1.5，a=
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 在下列各数中，哪些是有理数，哪些是正整数，哪些是负整数，哪些是正分数，哪些是负分数？
30，－3.25, 0， π， －3， － , 1.3， , －40， ,
有理数：
正整数： 负整数：
正分数： 负分数：
【参考答案】
有理数：30，－3.25, 0， －3， － , 1.3， , －40， , 正整数：30 ， 负整数：－3 ，－40
正分数：1.3， 负分数：－3.25, － ,
【题目解析】π是无限不循环小数，不是有理数。
3. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] （2013年广州市荔湾区七年级上期末考试） 下列说法正确的是（ ） A．在有理数中，零的意义仅表示没有 B．正有理数和负有理数组成全体有理数
C．0.9既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数 D．零既不是正数，也不是负数
【参考答案】D
【题目解析】选D．
①在有理数中，零的意义不仅表示没有，还表示一个具体的量：例如0℃，，因此选项错误；
②有理数包括正有理数，0和负有理数，因此选项错误；
③0.9不是整数，是分数，因此它是有理数，因此选项错误；
④零是正数和负数的分界，因此零既不是正数，也不是负数正确．
4. [倒数] [难度： ★ ] 填一填。
（1）3的倒数是 ， 的倒数是 。
（2）－7的倒数是 ，－ 的倒数是 。
（3）0.25的倒数是 ，－0.875的倒数是 。
【参考答案】（1） ,2；（2）－ ，－29；（3） ，－
【题目解析】有理数与自己的倒数是同正负的，正有理数的倒数是正数，负有理数的倒数是负数。
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1. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] 下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数、负整数。 B．0是整数，也是自然数。
C．分数包括正分数、负分数和0 D．有理数中，不是负数就是正数
【参考答案】B
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 填一填。
（1） 和 统称为有理数； 既不是正数也不是负数。
（2）0.25可以看作是 和 的比。
（3）－5的倒数是 ， 0.125的倒数是 ，－0.75的倒数是 。
【参考答案】（1）整数，分数，0； （2）1,4； （3）－ ， ，－ 。
知识点讲解 2：有理数的分类
有理数：正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数.整数和分数统称有理数。引入负数后，数扩充到有理数集合，有理数集可以用以下两种方法进行分类。
例题
1. [有理数的分类] [难度： ★ ] 将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
－9.3, 6， ＋3，－7 , 0, －100，＋ ，－2.25, 0.01，＋65，－ ， , 0.2 正整数集合：
负整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 整数集合： 分数集合：
【参考答案】
正整数集合： 负整数集合：
正分数集合：
负分数集合：
整数集合： 分数集合：
【题目解析】根据有理数的分类进行填写，这题要注意0.
【思维对话】学生常见思维障碍点：做题没有条理，常漏写数字。
思维障碍点突破方法：从做这种的的方法入手，教学生用以下两种方法解决，第一种：逐个考察给出的数，看它是什么数，也就是看是否属于某个集合，如属于，就可以填入相应的大括号内。第二种：逐个填写集合，也就是从给出的所有数中找出属于这个集合的数，然后填进去。
2. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] 下列关于“0”的说法正确的是（ ）。A．0不是自然数 B．0既不是整数也不是分数
C．0是最小的有理数 D．0是非负数
【参考答案】D
【题目解析】A.0是最小自然数，B.0是整数不是分数，没有最小有理数，非负数包括0和负数。
3. [有理数的分类] [难度： ★ ] 如图所示，大圆覆盖区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数范围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入属于的集合的圆内。
15，－ ，－5， ，－ ，0.1，－5.32，－80, 123, 2.333
【参考答案】小圆：123；15；中圆添上：－80；－5；大圆再添上：－ ， ，－ ，0.1，－5.32, 2.333
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1. [有理数的分类] [难度： ★ ] 把下列各数填入相应的大括号内： 整数集合：{ }
非负数集合：{ }
有理数集合：{ }
【参考答案】
整数集合：{ }
非负数集合：
有理数集合：
【题目解析】
①首先要明确有理数的分类，其中整数：包括正整数，负整数以及零。
②“非负数”是指正数或者零。
③“0”是一个特殊的数，“0”是一个非正，非负的中性数，但它是整数，是有理数。
④把一个数看成一个整体，那么这个整体就叫做这些数的集合，其中每一个数叫做这个数集合的一个元素。
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 有理数包括 、 、 、 、 。
（2） 正有理数包括 、 ；负有理数包括 、 。
（3） 非负数包括 、 ；非正数包括 、 。
【参考答案】（1）正整数、0、负整数、正分数、负分数；（2）正整数、正分数；负整数、负分数。
（3）0、正数；0、负数
导学四 ： 数轴
知识点讲解 1：数轴的概念
（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
（2） 所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数．
例题
1. [数轴] [难度： ★ ] 下图中哪一个表示数轴？不是数轴的请说出原因．
【参考答案】
根据数轴的三要素：
图（1）是数轴，它是具备了原点、正方向和单位长度的直线． 图（2）不是数轴，因为单位长度不一致．
图（3）不是数轴，因为没有原点和单位长度． 图（4）不是数轴，因为它是射线，不是直线．
图（5）不是数轴，有两处错误，一是没有标明正方向；二是负数的排序错误，从原点向左依次应是－ 1，－2，－3，…．
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2013年广州市白云区七年级上期末考试） 如图，下列各点表示的数中，比1大的数是点（ ）表示的数．
A．A B．B C．C D．D
【参考答案】D
【题目解析】A0； B－2； C1； D3
3. [数轴] [难度： ★ ] 填空题
（1） 数轴上表示2的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度．
（2） 数轴上表示－2的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度．
（3） 数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数 ．
（4） 数轴上在原点左边距原点 个单位长度的点表示数 ．
（5） 数轴上距原点2个单位长度的点有 个，它们分别表示数 ．
【参考答案】（1）右，2 （2）左，2 （3）3.7 （4） （5）2，＋2和－2
【题目解析】数轴上，表示正数的点都在原点的右边，表示负数的点都在原点的左边．距离不会是负数．
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1. [数轴] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 规定了 、 和 的 叫做数轴。
（2） 数轴上与原点相距5个单位长度的点有 个，它们表示的数是 ；数轴上表示－1与表示5的两个点之间的距离是 个单位长度。
（3） 数轴上与原点的距离小于3个单位长度的整数点的个数为 个，分别是： 。
【参考答案】（1）原点、单位长度、正方向、直线；（2）2，±5, 6。（3）5个，2、1、0、－1、－2。
【题目解析】数轴的三要素原点、单位长度、正方向，数轴本质是属于直线。
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 在数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数是（ ）。A．－2 B．2 C．±2 D．不能确定
【参考答案】C
【题目解析】到原点距离为固定值的点有2个,为±a.
知识点讲解 2：数轴的画法、应用
（数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。）
①画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。
②规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。
③选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…，从原点向 左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3…
例题
1. [数轴] [难度： ★ ] 画一条数轴，把有理数1，－3，－1.5，2.5，0，0.5用数轴上的点表示出来．
【参考答案】解：
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2014年广州市海珠区七年级上期末考试） 数轴上的点A表示的数是﹣1，将点A向左移动5个单位，终点表示的数是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【参考答案】D
【题目解析】解：数轴上的点A表示的数是﹣1，将点A向左移动5个单位，﹣1﹣5=﹣1+（﹣5）=﹣6． 故选：D．
3. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 已知有理数a，b所对应的点在数轴上如图所示，则有（ ）。
A．－a＜0＜b B．－b＜a＜0 C．a＜0＜－b D．0＜b＜－a
【参考答案】B
4. [数轴] [难度： ★ ] （2014年广州市白云区七年级上期末考试） a，b，c，d，e是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a，b，c，d，e按照从小到大的顺序排列，得 ＜ ＜ ＜ ＜ ．
【参考答案】∵在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，
∴b＜a＜d＜e＜c．
故答案为：b、a、d、e、c．
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1. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动3个单位后到达终点，这个终点表示的数是（ ）。
A．5 B．1 C．－1 D．－5
【参考答案】C
【题目解析】解：数轴上从原点向右移动2个单位后是到了数字2，再向左移动3个单位是到了数字－1。
2. [有理数大小比较] [难度： ★ ] （2015年广州市海珠区七年级上期末考试） 在﹣2、0、1、﹣1这四个数中，最大的有理数是 ．
【参考答案】1。
【题目解析】画出数轴，标上数字1＞0＞﹣1＞﹣2，最大的有理数是1．
3. [单选题] [有理数大小比较] [难度： ★ ] （2015年肇庆市七年级上期末考试） 如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【参考答案】D
【题目解析】根据数轴的特点可知，b＞a＞c．故选D．
限时考场模拟
1. [有理数] [难度： ★★★ ] 小王上周五买进了某种股票1000股，每股27元。下表为本周每天该股票的涨跌情况：
（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋1
＋1.5
－1.5
－2.5
＋0.5
（1） 星期三收盘时，每股是多少元？
（2） 本周内最高价是每股多少元？最低是每股多少元？
（3） 若小王以本周五收盘将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
（4） 你认为小王本周星期几能获利最多，获利多少？
【参考答案】（1）28元；（2）最高29.5元，最低25.5元。（3）不会；（4）周二；
【题目解析】（1）27＋1＋1.5－1.5=28（元）；
（2）周一：27＋1=28（元） 周二：28＋1.5=29.5（元） 周三：29.5－1.5=28（元）
周四：28－2.5=25.5（元） 周五：25.5＋0.5=26（元） 答：最高29.5元，最低25.5元。
（3）不会，26＜27，所以无法获利。
（4）周二获利最多，（ 29.5－27）×1000
=2.5×1000
=2500（元）
答：小王本周星期二能获利最多，获利2500。
【思维对话】学生常见思维障碍点：（1）本题是考试易错题，学生在学习过程中不重视，所以设置为“我当小老
师”，让学生自己尝试理清思路讲，以便加深理解。（2）学生不了解股票的价格是在前一天的基础上进行上涨或者下跌，会把后面每天的单价用27＋变化量作为新的单价。
思维障碍点突破方法：（1）先让学生尝试讲，学生讲不了就要求严格听讲，并且要求他听完以后再讲一次。如果学生会讲，就扮演学生针对易错知识点抛问题给他一个个解决。（2）给学生普及一下股票的价格变化实际情况，提升学生认知。
课后作业
1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 如果规定收入为正，支出为负，收入500元记作500元，那么支出237元应记作
（ ）。
A．－500元 B．－237元 C．237元 D．500元
【参考答案】B
2. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 根据气象部门测定，一般高度每增加1千米，气温大约下降5℃，现在甲地地面气温是15℃，那么4千米高空的气温是（ ）。
A．5℃ B．0℃ C．－5℃ D．－15℃
【参考答案】C
3. [数轴] [难度： ★ ] 数轴上与原点距离小于3个单位长度的整数点的个数为 。
【参考答案】5
4. [数轴] [难度： ★ ] 数轴上的点P表示的数是－1，将点P沿着数轴移动3个单位长度得到点Q,则点Q表示的数是
。
【参考答案】－4或2
5. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2013年广州市萝岗区七年级上期末考试） 若有理数a的值在﹣1与0之间，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．
【参考答案】D
【题目解析】
由上图所示：介于﹣1和0之间的有理数只有 ．
6. [单选题] [倒数] [难度： ★ ] （2015年佛山市七年级上期末考试） ﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【参考答案】A
【题目解析】解：∵（﹣3）×（﹣ ）=1，
∴﹣3的倒数是﹣ ． 故选A．
7. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 点A 为数轴上表示－2的点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（ ）
A 1 B －６ Ｃ ２或－６ Ｄ 不同于以上答案
【参考答案】C
8. [有理数] [难度： ★ ] 右表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午8:00.
（1） 现在纽约时间是多少？
（2） 冰冰现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？
【参考答案】（1）前一日19:00；（2）巴黎现在是凌晨1点，不合适。
【题目解析】（1）今日8:00－13=前一日19:00；（2）今日8:00－7=今日1:00，不合适
1. 复习这节课所讲的知识点。
2. 把教案里面的错题抄在错题本上。
3. 完成课后作业。
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
正负数、有理数、数轴
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解正负数在生活中的作用，理解有理数的意义。
2、掌握有理数的分类，和数轴的三要素。
3、能够应用有理数解决生活实际问题。
重、难点
有理数的分类，与数轴结合解决生活实际问题。
课首沟通
1. 你的小学阶段的内容掌握如何，计算能力，图形知识，应用题解决能力如何？
2. 你初中就读的学校是什么？是否在重点班？
知识导图
课首小测
1. [有理数] [难度： ★ ] 在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。
【参考答案】＜；＞；＜；＝；＞；＝。
【参考答案】上面： ； ；下面：1.25；2.75。
2. [难度： ★ ] 用直线上面的方框里填适当的分数，直线下面的方框里填适当的小数。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 把下列数进行转换
【参考答案】
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数。
－1，2.5,＋ ,0,-3.14,120,-1.732,－ .
正数： 负数：
【参考答案】正数： 2.5,＋,120； 负数：－1， -3.14, -1.732,－.
导学一 ： 运算复习
知识点讲解 1：四则运算顺序： 有括号要先算括号里面的（先算小括号里面的，再算中括号厘米的）， 先算高级运算再算低级运算（加减法为一级；乘除为二级、乘法开方为三级）。
例题
1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 直接写出得数.
－ ＝ 40×25%＝ × ＝
÷6＝ ×2.4＝ ÷0.4＝
【参考答案】 ；10； ； ； ；0.9；2；2。
÷ ＝
( － )
×8＝
2. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2015年广州市越秀区六年级期末考试） 计算下列各题. (1) × ÷ ； (2) ÷ ＋ × ；
(3)4－ ÷ ﹣ ； (4)( － )÷( ＋ × )
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
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1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2015年广州市荔湾区六年级期末考试） 计算下列各题。
（1） × ÷ （2）（ ＋ ）÷
（3）（ ＋ ）÷（ ） （4）8.6－ ÷ ÷
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）3.6。
2. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] （2014年广州市荔湾区六年级上第二单元考试） 脱式计算。
（1） （2）
（3） （4）
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
知识点讲解 2：运算定律与运算性质
例题
1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 脱式计算（能够简算的用简算）
（1）4.6-7.91+3.4-0.09 （2） 0.34-3.8+9.46-1.2
（3）17.18-2.7-4.3 （4） 48.14-2.43-7.57
（5） （6）52.62－4.43－（12.62＋5.57）
（7）19.8×3.7－9.8×3.7 （8）4.3×2.5＋43×0.75
（9） （10）
（11） （12）
（13）27× （14）999 ＋99 ＋9 ＋
（15）9 ×8＋8 ×7＋7 ×6＋6 ×5
【参考答案】（1）0；（2）5；（3）10.18；（4）38.14;（5）2 ；（6）40；（7）37；（8）43；
（9） ；（10）9；（11） ；（12）115；（13） ；（14）1110；（15）222。
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1. [有理数的加减混合运算] [难度： ★ ] 脱式计算（能简算的用简算）。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【参考答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）137；（5） ；（6） ；
【题目解析】
（2） （3）
（4） （5） （6）
导学二 ： 正负数知识点讲解 1：数论例题
1. [正数和负数] [难度： ★ ] 把自然数按照是否是（ ）的倍数，可以分为（ ）数和偶数。如果用字母n（n是自然数）来表示数，则奇数可以表示为（ ），则偶数可以表示为（ ）。
【参考答案】2；奇；2n＋1；2n。
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 请把奇数和偶数的运算性质填充完整。
奇数±奇数=（ ）数 偶数±偶数=（ ）数 奇数±偶数=（ ）数（大－小） 奇数×奇数=（ ）数 偶数×偶数=（ ）数 奇数×偶数=（ ）数
【参考答案】偶、偶、奇；奇、偶、偶。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 如果A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5，则A、B、C的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
【参考答案】2；450
【题目解析】A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5；只有2是相同的因数，所以最大公因数是2，再利用短除法求出最小 公倍数是450.
4. [奇数与偶数] [难度： ★★ ] 填空
（1） 甲数和乙数都是自然数，甲数是乙数的8倍，甲、乙两数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（2） a=2×5×7，b=2×5×9，则a与b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）
（3） 所有非零自然数的公因数都是（ ）
（4） 所有偶数的公因数都是（ ）
【参考答案】（1）乙数、甲数；（2）10、630；（3）1；（4）2。
【题目解析】（1）两个数存在着倍数关系的时候，最大公因数是小的那个数，最小公倍数是大的那个数。
（2）a=2×5×7，b=2×5×9，则a与b的最大公因数是2×5=10，最小公倍数是2×5×7×9=630.
（3）1是所有非0自然数的因数。
（4）偶数都是2的倍数，则偶数的公因数是2。
知识点讲解 2：正负数的定义
（1） 正数就是以前学过的除0之外的数,负数就是在以前学过的除0以外的数前加－号的数.
（2） 为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了-5、-2、-237、-0.7，象这样的数是一种新数，叫做负数．过去学过的那些数（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正数．正数前面有时也可以放上一个“+”（读作“正”）号，如5可 以写成+5，+5和5是一样的．
注意：0既不是正数，也不是负数．
例题
1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] （2014年广州市海珠区七年级上期末考试） 在数0.25，﹣，7，0，﹣3，
100中，正数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【参考答案】C
【题目解析】0.25，7，100是正数，
【思维对话】学生常见思维障碍点：不清晰0的归属。
思维障碍点突破方法；让学生理解0是没有的意思，不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。
【学有所获】 既不是正数，也不是负数。[学有所获答案]0
2. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 下列对于“0”的说法正确的个数是（ ）
0是正数和负数的分界点； 0表示“什么也没有”； 0可以表示特定的意义，如0℃等；
0是正数 0是自然数 0是非负数
A ．3 B． 4 C．5 D． 6
【参考答案】B
【题目解析】 正确； 错误； 正确； 错误； 正确； 正确。
【思维对话】学生常见思维障碍点：（1）在判断“ 0可以表示特定的意义，如0℃等”时，认为是正确的。
（2）在判断“ 0是非负数”时容易出错。
思维障碍点突破方法：（1）在实际生活中，我们会把一个标准的数量记为0，超过标准或者低于标注用正负数来表示，方便看出与标准之间相差的数量是什么，并不是不存在的意思。
（2）让学生理解清楚有正数、0、负数三类，非负数：是指0和正数；非正数：则是指0和负数。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数？
＋2017，－3.1， ， 10.58 ，－9，＋1，－45.6, 0 ，＋ ，－2.14 ，－1
正数： 负数：
【参考答案】正数：＋2017， ，10.58，＋1，＋ ；负数：－3.1，－9，－45.6, －2.14 ，－1
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1. [正数和负数] [难度： ★ ] 填空题
（1） 列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
+6，－21，54，0， ，－3.14，0.001，－999
负数： 正数：
（2） 最大的负整数是（ ），最小的正整数是（ ）
【参考答案】（1）负数：－21，－3.14，－999；正数：+6， 54， ，0.001。 （2）－1；1。
知识点讲解 3：用正负数表示具有相反意义的量
正负数：用正数表示其中一种意义的量,另一种量用负数表示;
（ 它们意义相反，如向东与向西； 它们需要都是同类量。）
（1） 特别地,在正负数表示向指定方向变化的量时,通常把向指定方向变化的量规定为正数,而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数.
（2） 通常我们习惯把“前进、上升、收入、零上温度、海拔以上”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度、海拔以下”规定为负。
例题
1. [正数和负数] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 如果水面上升10米记作＋10米，那么下降5米记作 米。
（2） 盈利200元记作＋200元，亏损100元记作 。
（3） 如向东走5米记作＋5米，则向西走5米记作 米。
（4） 如果温度上升4℃记作＋4℃，那么温度下降10℃记作 。
（5） 如果顺时针旋转30°记作+30°，那么－90°表示 。
（6）如果把公元2017年记作＋2017，那么－190表示 。
（7） 长江的水位高于正常水位7.6m时记作＋7.6m，那么低于正常水位5m时应记作 ，
－8.2m表示 ，0m表示 。
（8） “一只闹钟，一昼夜误差不超过±10s”这句话的含义是 。
【参考答案】（1）－5；（2）－100元；（3）－5；（4）－10℃；（5）逆时针旋转90°；（6）公元前190年；（7）
－5米，低于正常水位8.2m，正常水位高度；（8）一天一夜24小时最多快10秒或慢10秒。
【题目解析】此题考察用正负数表示相反意义的量，需要注意有些需要把单位补充完整。
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 七年级一班第一小组的五名同学的某次数学测验成绩的平均分成绩为85分，在做记录时，把超过平均分记为正数，五名同学的成绩记录如下表，请你写出这五名同学的实际成绩是多少分？
【参考答案】A70分；B81分；C85分；D89分；E100分。
【题目解析】A70分=85－15；B81分=85－4 ；C85分=85＋0； D89分=85＋4 ；E100分=85＋15。
【学有所获】“0”不仅仅表示没有，而是表示正数与负数的 “基准”，它既不是正数也不是负数。[学有所获答案]分界
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 某饮料生产公司生产一种瓶装饮料，外包装上印有“600±30（ml）”的字样，那么
±30ml表示什么含义？质监局分别抽查了5瓶，容量分别是603ml，611ml，588ml，568ml，628ml，问抽查的产品容量是 否合格？
【参考答案】±30ml表示比标准容量多30ml或者少30ml都在合格范围内，抽查的5瓶饮料中只有568ml比600ml少32ml不 合格，其余的均合格。
【题目解析】正确理解相反意义的量。±30ml表示比标准容量多30ml或者少30ml都在合格范围内，即是在（600＋30） ml到（600－30）ml之间。
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数是什么吗？
（1）―1，―2，＋3，―4，―5，＋6，―7，―8， ， ， ，···
（2）－1， ，－3， ，，－5， ，，－7， ， ， ， ，···
【参考答案】
【题目解析】
（1）＋9 ，－10，－11，后面第15个数是＋15，第101个数是－101，第2017个数是＋2017。
（2）－9， ，－11，后面第15个数是－15，第101个数是－101，第2017个数是 。
（1）符号具有周期规律：“――＋”，数字规律是按顺序从1开始。所以答案就是＋9 ，－10，－11，
后面第15个数是＋15，第101个数是－101，第2017个数是＋2017。
（2）符号具有周期规律“－＋”，数字的规律是“整数、分数”，看数字序号的是奇数还是偶数，快速判断。所以答案是－9， ，－11，后面第15个数是－15，第101个数是－101，第2017个数是 。
【思维对话】
学生常见思维障碍点：学生找不到数字的周期规律。
思维障碍点突破方法：先引导学生观察数字的符号，发现符号的正负规律，再引导学生观察数字与序号之间的关系，从而解决问题。
5. [正数和负数] [难度： ★ ] 现称六位七年级的学生的体重如下：40千克，38千克，37千克，46千克，39千克，34千克。
（1） 求一下六位同学的体重平均值。
（2） 你能以平均值为基准，用正负数表示每位同学的体重与平均值的差吗？
【参考答案】（1）39千克；（2）
【题目解析】（1）（40＋38＋37＋46＋39＋34）÷6=39（千克）
（2）略
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1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示（ ）。
A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%
【参考答案】C
2. [正数和负数] [难度： ★ ] 填空题
（1） 薯片袋子上标有“500±5g”的字样中，＋5表示 ，－5表示 ， 说明每袋薯片的重量，在 g和 g之间。
（2） 卓越大楼地上共有30层，地下共有5层，若用正数、负数表示这栋楼房每层的楼层号，则地面上的最高层表示为
，地面下最底层表示为 ，某人乘电梯从地下最底层升至地上6层，电梯一共运行了
层。
【参考答案】（1）比500克多5克， 比500克少5克，495，505。（2）＋30层，－5层，10。
【题目解析】（2）最后一个填空易错，需要结合生活实际进行思考，地面就是1层，不存在0层，所以在-1和1之间只 有1层的高度，那么在最底层和上升到地上6层只是上升了10层。
3. [正数和负数] [难度： ★ ] 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第20个数、第200个数、第201个数是什么吗？
（1）1，－1，1，－1，1，－1，1，－1， ， ， ，…
（2）1，－2，3，－4，5，－6，7，－8， ， ， ，…
（3）－1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…
【参考答案】
（1）1，－1，1，第20个数是－1、第200个数是－1、第201个数是1。
（2）9，－10，11，第20个数是－20、第200个数是－200、第201个数是201。
（3） ，－ ， ，第20个数是 、第200个数是 、第201个数是－ 。
【题目解析】先找数字的正负性质符号的规律，再找数字的规律。
4. [正数和负数] [难度： ★ ] 小康水平的一个指标是年人均收入1000美元，2011年年底对某地随机抽样调查，得出10 户的年人均收入，若以人均收入1000美元以及以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元 的美元数用负数表示。此10户年人均收入如下（单位：美元）
请你算一下这10户有百分之几达到了小康指标？
【参考答案】70%
【题目解析】7÷10×100%=70%
导学三 ： 有理数
知识点讲解 1：有理数
例题
1. [有理数] [难度： ★ ] 把下列循环小数化为分数。
（1）0.33······化为（ ）
（2）0.166······化为（ ）
【参考答案】 ，
【题目解析】 ，
（1）把0.33······设为a，10a=3.33······，相减得到9 a=3，a=
（2）把0.166······设为a，10a=1.66······相减得到9 a=1.5，a=
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 在下列各数中，哪些是有理数，哪些是正整数，哪些是负整数，哪些是正分数，哪些是负分数？
30，－3.25, 0， π， －3， － , 1.3， , －40， ,
有理数：
正整数： 负整数：
正分数： 负分数：
【参考答案】
有理数：30，－3.25, 0， －3， － , 1.3， , －40， , 正整数：30 ， 负整数：－3 ，－40
正分数：1.3， 负分数：－3.25, － ,
【题目解析】π是无限不循环小数，不是有理数。
3. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] （2013年广州市荔湾区七年级上期末考试） 下列说法正确的是（ ） A．在有理数中，零的意义仅表示没有 B．正有理数和负有理数组成全体有理数
C．0.9既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数 D．零既不是正数，也不是负数
【参考答案】D
【题目解析】选D．
①在有理数中，零的意义不仅表示没有，还表示一个具体的量：例如0℃，，因此选项错误；
②有理数包括正有理数，0和负有理数，因此选项错误；
③0.9不是整数，是分数，因此它是有理数，因此选项错误；
④零是正数和负数的分界，因此零既不是正数，也不是负数正确．
4. [倒数] [难度： ★ ] 填一填。
（1）3的倒数是 ， 的倒数是 。
（2）－7的倒数是 ，－ 的倒数是 。
（3）0.25的倒数是 ，－0.875的倒数是 。
【参考答案】（1） ,2；（2）－ ，－29；（3） ，－
【题目解析】有理数与自己的倒数是同正负的，正有理数的倒数是正数，负有理数的倒数是负数。
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1. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] 下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数、负整数。 B．0是整数，也是自然数。
C．分数包括正分数、负分数和0 D．有理数中，不是负数就是正数
【参考答案】B
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 填一填。
（1） 和 统称为有理数； 既不是正数也不是负数。
（2）0.25可以看作是 和 的比。
（3）－5的倒数是 ， 0.125的倒数是 ，－0.75的倒数是 。
【参考答案】（1）整数，分数，0； （2）1,4； （3）－ ， ，－ 。
知识点讲解 2：有理数的分类
有理数：正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数.整数和分数统称有理数。引入负数后，数扩充到有理数集合，有理数集可以用以下两种方法进行分类。
例题
1. [有理数的分类] [难度： ★ ] 将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
－9.3, 6， ＋3，－7 , 0, －100，＋ ，－2.25, 0.01，＋65，－ ， , 0.2 正整数集合：
负整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 整数集合： 分数集合：
【参考答案】
正整数集合： 负整数集合：
正分数集合：
负分数集合：
整数集合： 分数集合：
【题目解析】根据有理数的分类进行填写，这题要注意0.
【思维对话】学生常见思维障碍点：做题没有条理，常漏写数字。
思维障碍点突破方法：从做这种的的方法入手，教学生用以下两种方法解决，第一种：逐个考察给出的数，看它是什么数，也就是看是否属于某个集合，如属于，就可以填入相应的大括号内。第二种：逐个填写集合，也就是从给出的所有数中找出属于这个集合的数，然后填进去。
2. [单选题] [有理数的分类] [难度： ★ ] 下列关于“0”的说法正确的是（ ）。A．0不是自然数 B．0既不是整数也不是分数
C．0是最小的有理数 D．0是非负数
【参考答案】D
【题目解析】A.0是最小自然数，B.0是整数不是分数，没有最小有理数，非负数包括0和负数。
3. [有理数的分类] [难度： ★ ] 如图所示，大圆覆盖区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数范围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入属于的集合的圆内。
15，－ ，－5， ，－ ，0.1，－5.32，－80, 123, 2.333
【参考答案】小圆：123；15；中圆添上：－80；－5；大圆再添上：－ ， ，－ ，0.1，－5.32, 2.333
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1. [有理数的分类] [难度： ★ ] 把下列各数填入相应的大括号内： 整数集合：{ }
非负数集合：{ }
有理数集合：{ }
【参考答案】
整数集合：{ }
非负数集合：
有理数集合：
【题目解析】
①首先要明确有理数的分类，其中整数：包括正整数，负整数以及零。
②“非负数”是指正数或者零。
③“0”是一个特殊的数，“0”是一个非正，非负的中性数，但它是整数，是有理数。
④把一个数看成一个整体，那么这个整体就叫做这些数的集合，其中每一个数叫做这个数集合的一个元素。
2. [有理数的分类] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 有理数包括 、 、 、 、 。
（2） 正有理数包括 、 ；负有理数包括 、 。
（3） 非负数包括 、 ；非正数包括 、 。
【参考答案】（1）正整数、0、负整数、正分数、负分数；（2）正整数、正分数；负整数、负分数。
（3）0、正数；0、负数
导学四 ： 数轴
知识点讲解 1：数轴的概念
（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
（2） 所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数．
例题
1. [数轴] [难度： ★ ] 下图中哪一个表示数轴？不是数轴的请说出原因．
【参考答案】
根据数轴的三要素：
图（1）是数轴，它是具备了原点、正方向和单位长度的直线． 图（2）不是数轴，因为单位长度不一致．
图（3）不是数轴，因为没有原点和单位长度． 图（4）不是数轴，因为它是射线，不是直线．
图（5）不是数轴，有两处错误，一是没有标明正方向；二是负数的排序错误，从原点向左依次应是－ 1，－2，－3，…．
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2013年广州市白云区七年级上期末考试） 如图，下列各点表示的数中，比1大的数是点（ ）表示的数．
A．A B．B C．C D．D
【参考答案】D
【题目解析】A0； B－2； C1； D3
3. [数轴] [难度： ★ ] 填空题
（1） 数轴上表示2的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度．
（2） 数轴上表示－2的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度．
（3） 数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数 ．
（4） 数轴上在原点左边距原点 个单位长度的点表示数 ．
（5） 数轴上距原点2个单位长度的点有 个，它们分别表示数 ．
【参考答案】（1）右，2 （2）左，2 （3）3.7 （4） （5）2，＋2和－2
【题目解析】数轴上，表示正数的点都在原点的右边，表示负数的点都在原点的左边．距离不会是负数．
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1. [数轴] [难度： ★ ] 想一想，填一填。
（1） 规定了 、 和 的 叫做数轴。
（2） 数轴上与原点相距5个单位长度的点有 个，它们表示的数是 ；数轴上表示－1与表示5的两个点之间的距离是 个单位长度。
（3） 数轴上与原点的距离小于3个单位长度的整数点的个数为 个，分别是： 。
【参考答案】（1）原点、单位长度、正方向、直线；（2）2，±5, 6。（3）5个，2、1、0、－1、－2。
【题目解析】数轴的三要素原点、单位长度、正方向，数轴本质是属于直线。
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 在数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数是（ ）。A．－2 B．2 C．±2 D．不能确定
【参考答案】C
【题目解析】到原点距离为固定值的点有2个,为±a.
知识点讲解 2：数轴的画法、应用
（数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。）
①画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。
②规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。
③选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…，从原点向 左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3…
例题
1. [数轴] [难度： ★ ] 画一条数轴，把有理数1，－3，－1.5，2.5，0，0.5用数轴上的点表示出来．
【参考答案】解：
2. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2014年广州市海珠区七年级上期末考试） 数轴上的点A表示的数是﹣1，将点A向左移动5个单位，终点表示的数是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【参考答案】D
【题目解析】解：数轴上的点A表示的数是﹣1，将点A向左移动5个单位，﹣1﹣5=﹣1+（﹣5）=﹣6． 故选：D．
3. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 已知有理数a，b所对应的点在数轴上如图所示，则有（ ）。
A．－a＜0＜b B．－b＜a＜0 C．a＜0＜－b D．0＜b＜－a
【参考答案】B
4. [数轴] [难度： ★ ] （2014年广州市白云区七年级上期末考试） a，b，c，d，e是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a，b，c，d，e按照从小到大的顺序排列，得 ＜ ＜ ＜ ＜ ．
【参考答案】∵在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，
∴b＜a＜d＜e＜c．
故答案为：b、a、d、e、c．
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1. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动3个单位后到达终点，这个终点表示的数是（ ）。
A．5 B．1 C．－1 D．－5
【参考答案】C
【题目解析】解：数轴上从原点向右移动2个单位后是到了数字2，再向左移动3个单位是到了数字－1。
2. [有理数大小比较] [难度： ★ ] （2015年广州市海珠区七年级上期末考试） 在﹣2、0、1、﹣1这四个数中，最大的有理数是 ．
【参考答案】1。
【题目解析】画出数轴，标上数字1＞0＞﹣1＞﹣2，最大的有理数是1．
3. [单选题] [有理数大小比较] [难度： ★ ] （2015年肇庆市七年级上期末考试） 如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【参考答案】D
【题目解析】根据数轴的特点可知，b＞a＞c．故选D．
限时考场模拟
1. [有理数] [难度： ★★★ ] 小王上周五买进了某种股票1000股，每股27元。下表为本周每天该股票的涨跌情况：
（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋1
＋1.5
－1.5
－2.5
＋0.5
（1） 星期三收盘时，每股是多少元？
（2） 本周内最高价是每股多少元？最低是每股多少元？
（3） 若小王以本周五收盘将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
（4） 你认为小王本周星期几能获利最多，获利多少？
【参考答案】（1）28元；（2）最高29.5元，最低25.5元。（3）不会；（4）周二；
【题目解析】（1）27＋1＋1.5－1.5=28（元）；
（2）周一：27＋1=28（元） 周二：28＋1.5=29.5（元） 周三：29.5－1.5=28（元）
周四：28－2.5=25.5（元） 周五：25.5＋0.5=26（元） 答：最高29.5元，最低25.5元。
（3）不会，26＜27，所以无法获利。
（4）周二获利最多，（ 29.5－27）×1000
=2.5×1000
=2500（元）
答：小王本周星期二能获利最多，获利2500。
【思维对话】学生常见思维障碍点：（1）本题是考试易错题，学生在学习过程中不重视，所以设置为“我当小老
师”，让学生自己尝试理清思路讲，以便加深理解。（2）学生不了解股票的价格是在前一天的基础上进行上涨或者下跌，会把后面每天的单价用27＋变化量作为新的单价。
思维障碍点突破方法：（1）先让学生尝试讲，学生讲不了就要求严格听讲，并且要求他听完以后再讲一次。如果学生会讲，就扮演学生针对易错知识点抛问题给他一个个解决。（2）给学生普及一下股票的价格变化实际情况，提升学生认知。
课后作业
1. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 如果规定收入为正，支出为负，收入500元记作500元，那么支出237元应记作
（ ）。
A．－500元 B．－237元 C．237元 D．500元
【参考答案】B
2. [单选题] [正数和负数] [难度： ★ ] 根据气象部门测定，一般高度每增加1千米，气温大约下降5℃，现在甲地地面气温是15℃，那么4千米高空的气温是（ ）。
A．5℃ B．0℃ C．－5℃ D．－15℃
【参考答案】C
3. [数轴] [难度： ★ ] 数轴上与原点距离小于3个单位长度的整数点的个数为 。
【参考答案】5
4. [数轴] [难度： ★ ] 数轴上的点P表示的数是－1，将点P沿着数轴移动3个单位长度得到点Q,则点Q表示的数是
。
【参考答案】－4或2
5. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] （2013年广州市萝岗区七年级上期末考试） 若有理数a的值在﹣1与0之间，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．
【参考答案】D
【题目解析】
由上图所示：介于﹣1和0之间的有理数只有 ．
6. [单选题] [倒数] [难度： ★ ] （2015年佛山市七年级上期末考试） ﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【参考答案】A
【题目解析】解：∵（﹣3）×（﹣ ）=1，
∴﹣3的倒数是﹣ ． 故选A．
7. [单选题] [数轴] [难度： ★ ] 点A 为数轴上表示－2的点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（ ）
A 1 B －６ Ｃ ２或－６ Ｄ 不同于以上答案
【参考答案】C
8. [有理数] [难度： ★ ] 右表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午8:00.
（1） 现在纽约时间是多少？
（2） 冰冰现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？
【参考答案】（1）前一日19:00；（2）巴黎现在是凌晨1点，不合适。
【题目解析】（1）今日8:00－13=前一日19:00；（2）今日8:00－7=今日1:00，不合适
1. 复习这节课所讲的知识点。
2. 把教案里面的错题抄在错题本上。
3. 完成课后作业。
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