2023年九年级数学中考重点题型圆类综合题

这是一份2023年九年级数学中考重点题型圆类综合题，共10页。试卷主要包含了知识清单，常考题型，每章一练等内容，欢迎下载使用。

1、垂径定理及其推论(重要)
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
*推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（4）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
（5）圆周角定理（重要）
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2(：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
4、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补（重要），外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边ABCD是内接四边形
∴CBAD180 BD180
DAEC
5、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）（记住理解即可，不会考证明题）
6、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB；PO平分BPA（用三角形全等证明）
7、弧长和扇形面积
（1）弧长公式半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：
（2）扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
二、常考题型
1、相切的证明（即证明垂直）
证明相切常用两种方法：
证明与已知的直角平行
利用等量代换证明直角
以上两种方法均必须重视由圆半径组成的三角形为等腰三角形，两底脚相等及直径所对圆周角为90°，这个隐含条件！
例1、如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。
解：（1）CD是⊙O的切线,。理由如下：
连接OC，
∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。
又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。
∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°。
∴∠B+∠Q=90°。∴∠BCO +∠DCQ =90°。
∴∠DCO=∠QCB－(∠BCO +∠DCQ)=180°－90°=90°。
∴OC⊥DC。
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。
例2、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．
求证：（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
证明：（1）连接OC，
∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB。
∵CD⊥AB，∴AF∥CD。
∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形。
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴。
设OC=x，
∵BE=2，∴OE=x﹣2。
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴，解得：x=4。
∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。
在Rt△AED中，，∴AD=CD。
∴平行四边形FADC是菱形。
（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC。
在△AFO和△CFO中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS）。
∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。
∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线。
试题分析：（1）连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线。
2、求圆内某条线段的长度，一般会求圆的半径
求解该类试题应从如下两方面考虑：
（1）利用勾股定理求解：若所求线段在直角三角形中，可考虑用勾股定理或相似求解：设圆半径为x，则题会增加很多已知量，半径为x，则圆内的所有半径，直径长度均成已知量，利用已知量及等量关系将未知数，放入已知条件最多的一个或者两个三角形中，利用相似或者勾股定理求出为实数x。
例3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，则AB= ．
解：如图，连接OD，设AB=4x，
∵AE：BE =1：3，∴AE= x，BE=3x，。
∵AB为⊙O的直径，∴OE= x，OD=2x。
又∵弦CD⊥AB于点E， CD=，∴DE=3。
在Rt△ODE中，，即，解得。
∴ AB=4x。
（2）利用相似求解
A
B
D
O
C
例4、如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
(1)求证：AD平分∠BAC;
(2)求AC的长。
证明：（1）连接OD
∵BD是⊙O的切线，D为切点
∴
∵
∴OD∥AC
A
B
D
O
C
∴∠ODA=∠CAD
又∵OD=OA
∴∠BAD=∠CAD
∴AD平分∠ABC
(2)解：∵OD∥AC
∴ΔBOD∽ΔBAC
∴ODAC=BOBA
∴4AC=610
∴AC=203
3、证明两条线段相等（角相等）
看需要证 在同一三角形中 角相等（等角对等边）
明的两条线
段是否在同一 不再同一 ①证明全等
三角形中 三角形中 ②等量代换
例4、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
4、证明形如a＊b=c＊d类等式
将乘积的形式化成如a/c=d/b的形式，通过证明两个三角形相似来证明上述等式成立
A
B
C
D
O
P
例6、已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。
求证：（1）BC平分∠PBD；
（2）。
证明：（1）连结OC。 （2）连结AC。∵PD切⊙O于点C， ∵AB是⊙O的直径，
又∵BD⊥PD， ∴∠ACB＝90°。
∴OC∥BD。 又∵BD⊥PD，
∴∠OCB＝∠CBD。 ∴∠ACB＝∠CDB＝90°
又∵OC＝OB， 又∵∠1＝∠2，
∴∠OCB＝∠OBC。 ∴△ABC∽△CBD
∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠PBD。 ∴
∴
三、每章一练
1、如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D.
(1)求证：∠BAD＋∠C＝90°；
(2)求线段AD的长.
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上.以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)已知AB＝6，AC＝8，求AF的长.


3、如图，⊙O的半径为3，C是⊙O外一点，且OC＝6.过点C作⊙O的两条切线CB、CD，切点分别为B、D，连接BO并延长交切线CD于点A.
(1)求AD的长；
(2)若M是⊙O上一动点，求CM长的最大值，并说明理由.


4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP.
(1)求证：∠APO＝∠BPO；
(2)若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值.

5、 如图，已知：AB是的弦，过点B作BC⊥AB交于点C，过点C作的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.
求证：（1）FC=FG；
（2）
6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
7、如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
A
B
D
O
C
(1)求证：AD平分∠BAC;
(2)求AC的长。
解答：
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠E=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠E；
（2）解：连接BC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=2×5=10，
∴BC=，
∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE=．