中考数学专题-圆综合题

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 圆综合题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作DP∥BC交AC的延长线于点P．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
​（2）若AB＝5，AC＝12，求线段PC的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，
∴BC=AB2+AC2=52+122=13cm，
∴OB＝OC＝OD=12BC=132cm，
在Rt△BOD中，BD=OB2+OD2=(132)2+(132)2=1322cm，
∵∠CBD＝∠CAD＝45°，∠BCD＝∠BAD＝45°，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD=1322cm，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCP+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCP，
∵∠P＝∠ADB，
∴△ABD∽△DCP，
∴PCBD=CDAB，
∴PC1322=13225，
∴PC＝16.9，
∴线段PC的长为16.9cm．
2．如图，△BCE是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥BC，交⊙O于另一点D，延长BE，CD交于点A，过点D作⊙O的切线交AE于点F，连接ED．
（1）求证：∠DFE＝∠ECB；
（2）若∠A＝30°，AD＝CD，BC＝4，求BE的长及⊙O的半径长．

【解答】（1）证明：连接BD，如图，
∵CD⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵DF是⊙O的切线，
∴BD⊥DF，
∴∠BDF＝90°，
即∠FDE+∠EDB＝90°，
∵∠EDB＝∠BCE，
∴∠FDE+∠BCE＝90°，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠FDE+∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠ECB；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC=3BC＝43，
∴AD＝CD＝23，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，
∴DE=12AD=3，
∴AE=3DE=3×3=3，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=52+(3)2=27，
∴⊙O的半径长为7．

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，与边BC的延长线交于点E，过点E作∠AEB的平分线，交AB于点F，AC与EF交于点D．
（1）求证：AD＝AF．
（2）求证：AC•AF＝AB•DC．

【解答】证明：（1）∵OA是⊙O的切线，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∴∠BEF+∠CDE＝90°，
∵EF是∠AEB的平分线，
∴∠AEF＝∠BEF，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠BEF+∠CDE＝90°，∠AEF＝∠BEF，
∴∠AFE＝∠CDE，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠AFE＝∠ADF，
∴AD＝AF；
（2）由（1）知，∠AEF＝∠BEF，∠BAE＝∠ACE＝90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴AFCD=AECE，
∵∠B+∠BAC＝90°，∠CAE+∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠CAE＝∠B，∠ACB＝∠ACE＝90°，
∴△CAE∽△CBA，
∴CEAC=AEAB，
即：ABAC=AECE，
∵ABAC=AECE，AFCD=AECE，
∴ABAC=AFCD，
∴AC•AF＝AB•DC．
4．如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E．
（1）证明：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．

【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD．
在△AOD和△COD中，
AD=CDOD=ODOA=OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD．
∵⊙O与AD相切于点A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图，
由（1）知：△AOD≌△COD，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，BD平分∠ADC，
∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上，
在△AOB和△COB中，
OA=OCOB=OBBA=BC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠BAO＝∠BCO．
设AO的延长线交BC于点F，
∵OA⊥AD，BC∥AD，
∴AF⊥BC，
∴EF＝FC=12EC．
∵∠AFB＝∠OFC＝90°，
∴△ABF∽△COF，
∴ABOC=AFCF，
∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，
∴AFCF=42=2．
∴AF＝2CF．
设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x．
∵AF2+BF2＝AB2，
∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x=85，
∴CF=85．
∴EC＝2CF=165．


5．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为BC上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G．
（1）求证：EF＝MF；
（2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OE，

∵CD⊥AB，∠COA＝90°，∠A+∠AMO＝90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°，即∠OEA+∠FEM＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠AMO＝∠FEM，
又∵∠AMO＝∠FME，
∴∠FEM＝∠FME，
∴FE＝FM；
（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，
∵OE＝6，FE＝8，
∴OF=OE2+EF2=10，
由（1）知FE＝FM，
∴FM＝FE＝8，
∴OM＝OF﹣FM＝2，
∴在Rt△AOM中，AM=OA2+OM2=210，
即AM的长为 210．
6．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．
（1）求证：∠ABC＝2∠A；
（2）若⊙O半径为5，AB：BD＝5：1，求AE的长．

【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CD⊥DE，
∴OE∥CD，
∴∠ABC＝∠BOE．
∵∠BOE＝2∠A，
∴∠ABC＝2∠A；
（2）解：连接BD，
∵⊙O半径为5，AB：BD＝5：1，
∴AB＝25，BD=255．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°．
∵OE⊥ED，
∴∠OEB+∠BED＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE+∠BED＝90°．
∵∠OBE+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BED，
∴△ABE∽△EBD，
∴ABBE=BEBD，
∴BE2＝AB•BD＝25×255=4，
∵BE＞0，
∴BE＝2．
∴AE=AB2−BE2=(25)2−22=4．

7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以AD为直径作⊙O，分别与AB、AC交于点E、F当点D为弧EF的中点时．
（1）求证：BC与⊙O相切．
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ABD=35，求BE的长．

【解答】（1）证明：连接DE，DF，如图，
∵点D为弧EF的中点，
∴DE=DF，
∴DE＝EF．
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠EAD＝∠FAD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：∵⊙O的半径为6，
∴AD＝12．
∵AD⊥BC，sin∠ABD=35，
∴ADAB=35，
∴AB＝20．
∴BD=AB2−AD2=16．
∵DE⊥AB，sin∠ABD=35，sin∠ABD=DEBD，
∴DEBD=35，
∴DE=485．
∴BE=BD2−DE2=645．

8．如图，AB为⊙O的直径，DC是⊙O的切线，C为切点，延长DC交AB的延长线于点E，AD⊥EC．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC＝CF；
（2）若AD＝9，DE＝12，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴BC=CF，
∴BC＝CF；
（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD＝9，DE＝12，
根据勾股定理得AE＝15，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴EOEA=OCAD，
设⊙O的半径为r，
∴OE＝15﹣r，
∴15−r15=r9，
∴r=458，
∴BE＝15﹣2r=154，
答：BE的长为154．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接BD交AC于点E，连接AD，CD，OB，且BD＝AB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若CE＝2，AE＝8，求AD的长．

【解答】（1）证明：如图，延长BO交AD于点F，连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
∴OA＝OD，BA＝BD，∴BF垂直平分AD，
即BF⊥AD，AF＝DF，
∴OB∥CD；
（2）解：∵CE＝2，AE＝8，
∴OA＝OC＝5，OE＝3，
∵OB∥CD，
∴BEDE=OECE=32，
设BE＝3x，则DE＝2x，
∴BD＝BA＝5x，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝25x2﹣100，
在Rt△EBC中，BC2＝EB2﹣EC2＝9x2﹣4，
∴25x2﹣100＝9x2﹣4，
解得x=6，
∴BE＝36，
∴BC=BE2−CE2=(36)2−22=52，
在Rt△OBC中，OB=OC2+BC2=52+(52)2=53，
∵∠AOF＝∠BOC，∠AFO＝∠BCO，
∴△AOF∽△BOC，
∴AFBC=AOBO，即AF52=553，
解得AF=563，
∴AD＝2AF=1063．

10．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长到C，使AC＝AB，连接BC交⊙O于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点F．
（1）求证：OE∥AC；
（2）如果AB＝10，AD＝6，求EF的长．

【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBE＝∠OEB，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠OEB，
∴OE∥AC；
（2）解：连接BD，交OF于M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD=AB2−AD2=102−62=8，
∵OE∥AC，AD⊥BD，
∴OE⊥BD，
∴BM＝DM=12BD＝4，
∴OM=OB2−BM2=52−42=3，
∴sin∠OBM=OMOB=35，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF＝90°，
∴∠BOF+∠F＝90°，
∵∠OBM+∠BOM＝90°，
∴∠OBM＝∠F，
∴sinF=OBOF=35，
∴35=5OF，
∴OF=253，
∴EF＝OF﹣OE=253−5=103．

．
11．如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC＝2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若tanA=13，BE＝1，求CB的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵AO＝DO，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠BOD＝∠A+∠ADO＝2∠A，
又∵∠ABC＝2∠A，
∴∠ABC＝∠DOB，
∴OD∥CE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴CE⊥DE；
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵∠ODE＝90°，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠A＝∠BDE，
∴tanA＝tan∠BDE=BEDE=13，
∵BE＝1，
∴DE＝3，
∴BD=BE2+DE2=12+32=10，
∴AD＝310，
∴AB=AD2+BD2=10，
∴OD＝OB＝5，
∵∠ODE＝∠E＝∠OFB＝90°，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF＝OD＝5，
∴BF＝EF﹣BE＝5﹣1＝4，
∵OF⊥BC，
∴BC＝2BF＝8．
12．如图，在△ABC中，CA＝CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A、E、F的⊙O与BC相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE＝10，BE＝8，求AC的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，
∴DE=DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接DE，
EF∥BC，
∴∠BDE＝∠DEF，
又∵∠BAD＝∠CAD＝∠DEF，
∴∠BDE＝∠BAD，
又∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
∴BDBA=BEBD，
∴BD2＝BE•BA＝BE•（BE+AE）＝8×（8+10）＝144，
∴BD＝12，
∴DEAD=BEBD=812=23，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C，
又∵∠AFE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∴ADAC=DECD，
∴CD=DEAD⋅AC=23AC，
∵AC＝CB，
∴CD=23(BD+CD)=23×(12+CD)，
∴CD＝24，
∴AC=32×CD=36．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线DF交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC．
（2）若tanC=22，求AEAC的值．

【解答】（1）证明：如图1所示：连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB．
∵AB＝AC．
∴∠B＝∠C．
∴∠ODB＝∠C．
∴OD∥AC．
∴DF⊥AC；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵tanC=BECE=22，
∴设BE=2k，CE＝2k，
∴AE+AC＝AE+AB＝2k，
设AE＝x，则AB＝AC＝2k﹣x，
∵BE2+AE2＝AB2，
∴2k2+x2＝（2k﹣x）2，
解得x=12k，
∴AE=12k，AC=32k，
∴AEAC=12k32k=13．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点F在边AB上，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知⊙O的半径是2，连接OE，若OE⊥AD，求弧AE的长（结果保留π）．

【解答】（1）证明：连结OD，
∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC．
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠DAC．
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接OE交AD于点H，
∵OE⊥AD，
∴AH＝DH，∠AHE＝∠DHO＝90°，
∵∠ODA＝∠CAD，
∴△ODH≌△EAH（ASA），
∴OD＝AE，
∵OD＝OA＝OE，
∴OA＝AE＝OE，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴弧AE的长=60π×2180=2π3．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝CD，过A、B、D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝25，CD＝20，求AC的长．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠CAD，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠CAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠CAD+∠EAD＝90°，
即∠EAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径；
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC，则AC＝2CF，

∵AE＝25，CD＝20，AD＝CD，
∴sinC＝sinE=ADAE=2025=45，
∵sinC=DFCD=45，CD＝20，
∴DF＝16，
∴CF=CD2−DF2=12，
∴AC＝2CF＝24．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠DBO，
∴∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：如图，连接CD，

由（1）知，AE＝DE，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝10，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，
∴CD=AC2−AD2=102−82=6，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝8+x，
在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，即BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2，即BC2＝（8+x）2﹣102，
∴x2+62＝（8+x）2﹣102，
解得：x=92，
∴BC=x2+62=(92)2+62=152．