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- 3 第2节 摩擦力 学案 学案 1 次下载
- 4 第3节 牛顿第三定律 学案 学案 0 次下载
- 6 第4节 第2课时 实验：探究两个互成角度的力的合成规律 学案 学案 0 次下载
- 7 第5节 共点力的平衡 学案 学案 0 次下载
- 8 章末优化提升 学案 学案 0 次下载
5 第4节 第1课时 力的合成和分解 学案
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这是一份5 第4节 第1课时 力的合成和分解，共16页。
第4节 力的合成和分解
学习目标
核心素养形成脉络
1．知道合力、分力以及力的合成和分解的概念。
2．理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系。
3．知道共点力的概念，会用作图法、计算法求合力。
4．知道力的三角形定则，会区别矢量和标量。
5．会用正交分解法求分力。
6．会通过实验探究力的平行四边形定则。
[]#《优化^方案》%教辅[@*]
第1课时 力的合成和分解
一、合力和分力
1．共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
2．当物体受到几个力的共同作用时，可以用一个力代替它们，这个力单独作用的效果跟原来几个力共同作用的效果相同，那么这个力就叫作那几个力的合力，原来的几个力叫作这个力的分力。
二、力的合成和分解
1．定义
(1)力的合成：求几个力的合力的过程。
(2)力的分解：把求一个力的分力的过程叫作力的分解。
2．平行四边形定则：两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
3．多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
4．分解法则：遵从平行四边形定则。把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2。
5．力的分解依据
一个力可以分解为两个力，如果没有限制，对于同一条对角线，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。 []@*202&2版新教~材教#辅[]
1．判断下列说法是否正确。
(1)两个力的合力一定大于任一个分力。( )
(2)合力与其分力同时作用在物体上。( )
(3)力的分解是力的合成的逆运算。( )
(4)把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同。( )
(5)力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则。( )
(6)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．(多选)关于合力与分力的说法，正确的是( ) []#~《优化^方*案》教辅%[]
A．一个合力与它的两个分力是等效的
B．一个合力与它的两个分力作用点相同
C．一个合力与它的两个分力是同性质的力
D．一个合力一定大于它的任意一个分力
解析：选AB。合力与它的分力的作用点必然相同，合力与分力本来就是从效果相等来定义的，不涉及力的性质，从平行四边形定则可知合力大小的取值范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，综上所述，正确选项为A、B。
3．把竖直向下的90 N的力分解为两个力，一个力在水平方向上且大小为120 N，另一个分力的大小为( )
A．30 N B．90 N
C．120 N D．150 N
解析：选D。由题意，根据平行四边形定则作出力的分解示意图如图所示，根据勾股定理得F2＝＝ N＝150 N，故A、B、C错误，D正确。
探究一 合力和分力
1．合力和分力的“三性”
[]20~2^2版&新@教材*教辅[]
2．合力和分力的大小关系
(1)两个力共线时，其合力的大小范围
①最大值：当两个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2，合力和分力方向相同。
②最小值：当两个力反向时，合力F最小，Fmin＝|F1－F2|，合力和分力中较大的力方向相同。
(2)两分力成某一角度θ时，如图所示，合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 []《%优化方@~案*^》教辅[]
(3)夹角θ越大，合力就越小。
(4)合力可以大于等于两分力中的任何一个力，也可以小于两分力中的任何一个力。
(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是( ) []~^202&2%版新教材教*辅[]
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
[解析] 只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成。合力是对原来几个分力的等效替代，两力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在，A、C正确。 []2@022%版~新教材教*&辅[]
[答案] AC
探究二 力的合成和方法
1．作图法：作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向。具体操作流程如下： []2022版新教~材教辅%@&[^]
2．计算法
(1)两分力共线时：
F1与F2方向相同
合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同
F1与F2方向相反
合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同
(2)两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线的大小和方向，即为合力。
类型
作图
合力的计算
两分力
相互
垂直
大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力
等大，夹
角为θ
大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(当θ＝120°时，F1＝F2＝F)
两分力
分别为
F1、F2，
夹角为θ
根据余弦定理，合力大小
F＝
根据正弦定理，合力方向与F1方向的夹角正弦值为sin α＝
(多选)两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则( )
A．合力F一定增大
B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小
D．当0°<θ<90°时，合力F可能减小
[解析] 当两力之间的夹角0°<θ<90°时，如图甲所示，无论增大哪一个力，合力均增大；当两力之间的夹角90°<θ<180°时，如图乙所示，增大较大的分力时合力一定增大，而增大较小的分力时，合力可能减小、不变或增大，故B、C正确，A、D错误。
[答案] BC
(2020·南昌校级期中)南昌八一大桥是江西省第一座斜拉索桥，全长3 000多米，设计为双独塔双索面扇形预应力斜拉桥，如图所示。挺拔高耸的103 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔两侧的多对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
[解析] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下；根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC；考虑直角三角形AOD，∠AOD＝53°，而OD＝，则有：F＝2F1cos 53°＝2×5×104×0.6 N＝6×104 N，方向竖直向下。
[答案] 6×104 N 方向竖直向下
探究三 力的分解和方法
1．不受条件限制的力分解
一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图所示)。 []#@《优化方*案》教辅[~^]
分力大小与两分力间夹角的关系：
将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大分力越大：
2．有条件分解的几种情况
已知条件
示意图
解的情况
合力、两个
分力的方向
一组解
合力、两个分力的大小(同一平面内)
无解或
两组解
合力、一个分力的大小和方向
一组解
合力以及其中一个分力的大小和另一个分力的方向
①当F1＝F sin θ时，有一组解
②当F1
③当F sin θ
④当F1≥F时，有一组解
3．力分解的思路流程
(2020·上海市复旦中学期中)把一个力分解为两个分力时，下面说法中正确的是( )
A．两个分力中，一个分力变大时另一个分力一定减小
B．两个分力必须同时变大或同时变小
C．不论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
D．不论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的
[解析] 由于两分力的大小与两分力夹角有关，所以一个分力变大，另一个分力可变大，也可变小，A、B错误；当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的2倍，故C错误；当两个分力方向相同时，两个分力取最小值，此时F＝F1＋F2，显然F1、F2不能同时小于合力的一半，故D正确。
[答案] D
[针对训练] []2022^~版&新教材#教辅[%]
(多选)如图，将力F(大小已知)分解为两个分力F1和F2，F2和F的夹角θ小于90°。则关于分力F1，以下说法中正确的是( )
A．当F1>F sin θ时，肯定有两组解
B．当F>F1>F sin θ时，肯定有两组解
C．当F1
[]&2022版新教@%材教辅^[~]
当F＞F1＞F sin θ时，根据平行四边形定则，有两组解；若F1＞F，只有一组解，故A错误，B正确。当F1＝F sin θ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解；当F1＜F sin θ时，分力和合力不能构成三角形，无解，故D正确，C错误。
1．(合力和分力的关系)(多选)(2020·东丽校级期中)下列关于合力和分力的说法正确的是( )
A．分力与合力同时作用在物体上
B．分力同时作用在物体上时产生的效果与合力单独作用在物体上产生的效果相同
C．几个力的合力就是这几个力的代数和
D．合力可能大于、等于或小于任一分力 []《~^优*化%@方案》教辅[]
解析：选BD。分力和合力关系是等效替代，不是实际存在，则不可能同时作用在物体上，故A错误；合力与分力的关系是等效替代的关系，等效说的就是相同的作用效果，故B正确；当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力可能小于分力，当两个相等分力的夹角为120°时，合力的大小与两个分力大小相等，由此可见：合力可能大于分力，可能小于分力，也可能等于分力，故C错误，D正确。
2．(力的合成)某同学在单杠上做引体向上，在下列四个选项中双臂用力最小的是 ( )
[]*@《优化^方案%》教辅[#]
解析：选B。根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知：双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，各等于重力的一半，故B正确。
3．(力的合成)有三个力大小分别为3 N、7 N、9 N，则它们的合力的最大值和最小值分别为( )
A．19 N、1 N B．9 N、2 N
C．19 N、0 D．13 N、0
解析：选C。先确定其中任两个力如3 N、7 N的合力范围：最小值为4 N、最大值为10 N，由于第三个力为9 N，在前两个力合力范围内，故存在前两个力与第三个力等值反向的可能，故这三个力合力的最小值为0，而当为三个力的方向均相同时合力最大，即合力的最大值为19 N，C正确。
4．(力的分解)如图所示漫画中的大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为F，绳与水平方向的夹角为θ。若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为( )
A．F sin θ B．F cos θ []#20@2~2版新&教材教*辅[]
C． D．
解析：选A。将F分解为水平方向和竖直方向的两个分力，根据平行四边形定则，竖直方向上分力F′＝F sin θ。故A正确，B、C、D错误。
(限时：35分钟) []《优化@方%案~》#教辅[*]
【合格考练】
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．力的分解是力的合成的逆运算
B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同
C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则
D．分力一定小于合力
解析：选ABC。力的合成是求几个力的合力，而力的分解是求一个力的分力，即力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则，A、C正确；力的分解的本质是力的等效替代，就是用同时作用于物体的几个力产生的效果代替一个力的作用效果，B正确；合力与分力的关系满足平行四边形定则，故分力的大小可能大于、小于或等于合力的大小，D错误。
2．(2020·永城校级期末)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就越大
解析：选A。若F1和F2的大小不变，θ角越小，根据平行四边形定则知，合力变大，故A正确；合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误；若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若F2与F1反向，F1＞F2，则合力F减小，故C错误；根据力的合成法则，若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就可能越大，也可能一个不变，另一变大，也可能一个变小，另一变大，故D错误。 []#&202^2版%新教材*教辅[]
3．(2020·桃江校级期中)下列4个图中，F1大小为5 N，F2大小为3 N，F3大小为7 N，其中F1、F2、F3的合力最大的是( )
解析：选A。根据平行四边形定则可知，A图中三个力的合力为2F3＝14 N，B图中三个力的合力为0，C图中三个力的合力为2F1＝10 N，D图中三个力的合力为2F2＝6 N，所以A图合力最大，故A正确，B、C、D错误。
4．两个共点力的大小均为8 N，如果要使这两个力的合力大小也是8 N，则这两个共点力间的夹角应为( )
A．30° B．60° []《*~优化方#案&》教辅^[]
C．90° D．120°
解析：选D。根据合力和分力的关系我们知道，两个大小相等的分力在夹角为120°时分力和合力的大小相等。 []@20~2#2版%新教材教辅^[]
5．(2020·北京朝阳区高一期中)小芳同学想要悬挂一个镜框，以下四种方法中每根绳子所受拉力最小的是( )
[]202#^2版新教材&教辅[@*]
解析：选B。图A、C、D中的绳子与合力的方向都有一定的夹角，而B中的绳子与合力的夹角为0，当两个分力的夹角越大时，其合力越小，该题中的合力大小不变，故分力中只有B最小，故B正确。
6．(2020·浙江效实中学高二期中)如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的( )
A． B．cos θ
C． D．tan θ
解析：
选C。以人为研究对象，分析受力情况如图所示，根据平衡条件，两绳子合力与重力等大反向，则有：2F sin θ＝mg
解得：F＝，故钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的，故C正确，A、B、D错误。
7．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直。AC与水平方向成30°角。若把球的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A．G，G B．，G
C．G，G D．G，G
解析：选B。已知重力和两个分力的方向，根据平行四边形定则作力图，如图所示，
由图得到：G1＝G·sin 60°＝G；G2＝G·sin 30°＝G，故选B。
8．(2020·南昌市新建一中月考)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
解析：
选C。如图所示，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，当分力F2与F1垂直时，分力F2有最小值，最小值为：F2min＝F sin 30°＝25 N<30 N，所以F2有两个可能的方向，C正确，A、B、D错误。
9.
(2020·湖北巴东一中高一月考)有两个大小恒定的共点力，它们的合力大小F与两力之间夹角θ的关系如图所示，则这两个力的大小分别是( )
A．6 N和3 N B．9 N和3 N []202^%~2版新教材@教辅*[]
C．9 N和6 N D．12 N和6 N
解析：选B。设两个力大小分别为F1、F2，由题图得到：当两力夹角为0时，F1＋F2＝12 N；当两力夹角为π时，F1－F2＝6 N，联立解得：F1＝9 N，F2＝3 N，故B正确，A、C、D错误。
【等级考练】
10．两个共点力F1和F2的大小不变，它们的合力F跟两力F1、F2之间的夹角θ的关系如图所示，则合力F大小的变化范围是( )
A．0～1 N B．1～3 N
C．1～5 N D．1～7 N
解析：选D。由题图可得：θ＝π时，|F1－F2|＝1 N；θ＝0.5π时，＝5 N，解得F1＝3 N，F2＝4 N(或F1＝4 N，F2＝3 N)，故合力F的范围是1 N≤F≤7 N，故D正确。
11．如图所示，力F作用于物体的O点。现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为( ) []@#2022版新教*^材教&辅[]
A．F1＝F sin α B．F1＝F tan α
C．F1＝F D．F1＜F sin α
解析：选A。根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图，如图所示，在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上移动，由图可知，当F1与OO′即F合垂直时，F1有最小值，其值为F1＝F sin α，故A正确。
12．如图所示，一位重600 N的演员悬挂在绳上。若AO绳与水平方向的夹角为37°，BO绳水平，则AO、BO两绳受到的拉力各为多大？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：人对竖直绳的拉力F等于人的重力G，由于该力的作用AO、BO也受到拉力的作用，因此F产生了沿AO方向、BO方向使O点拉绳的分力F1、F2，将F沿AO方向和BO方向分解成两个分力，如图所示，由画出的平行四边形可知：AO绳上受到的拉力F1＝＝N＝1 000 N，BO绳上受到的拉力F2＝＝N＝800 N。 []《~%*优^化方案》#教辅[]
答案：1 000 N 800 N
13．如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小。
解析：
[]2022版新教^材教%&辅@#[]
以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin 30°＝FAC []《优~化方案》%教辅[*@&]
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC
FBCy＝FBCcos 45°＝FBC []《优化方@案》教辅%[~^#]
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即FAC＝FBC①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即FAC＋FBC＝50 N②
由①②两式解得：绳BC的拉力FBC＝25(－) N
绳AC的拉力FAC＝50(－1) N。
答案：50(－1) N 25(－) N
第4节 力的合成和分解
学习目标
核心素养形成脉络
1．知道合力、分力以及力的合成和分解的概念。
2．理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系。
3．知道共点力的概念，会用作图法、计算法求合力。
4．知道力的三角形定则，会区别矢量和标量。
5．会用正交分解法求分力。
6．会通过实验探究力的平行四边形定则。
[]#《优化^方案》%教辅[@*]
第1课时 力的合成和分解
一、合力和分力
1．共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
2．当物体受到几个力的共同作用时，可以用一个力代替它们，这个力单独作用的效果跟原来几个力共同作用的效果相同，那么这个力就叫作那几个力的合力，原来的几个力叫作这个力的分力。
二、力的合成和分解
1．定义
(1)力的合成：求几个力的合力的过程。
(2)力的分解：把求一个力的分力的过程叫作力的分解。
2．平行四边形定则：两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
3．多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
4．分解法则：遵从平行四边形定则。把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2。
5．力的分解依据
一个力可以分解为两个力，如果没有限制，对于同一条对角线，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。 []@*202&2版新教~材教#辅[]
1．判断下列说法是否正确。
(1)两个力的合力一定大于任一个分力。( )
(2)合力与其分力同时作用在物体上。( )
(3)力的分解是力的合成的逆运算。( )
(4)把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同。( )
(5)力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则。( )
(6)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．(多选)关于合力与分力的说法，正确的是( ) []#~《优化^方*案》教辅%[]
A．一个合力与它的两个分力是等效的
B．一个合力与它的两个分力作用点相同
C．一个合力与它的两个分力是同性质的力
D．一个合力一定大于它的任意一个分力
解析：选AB。合力与它的分力的作用点必然相同，合力与分力本来就是从效果相等来定义的，不涉及力的性质，从平行四边形定则可知合力大小的取值范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，综上所述，正确选项为A、B。
3．把竖直向下的90 N的力分解为两个力，一个力在水平方向上且大小为120 N，另一个分力的大小为( )
A．30 N B．90 N
C．120 N D．150 N
解析：选D。由题意，根据平行四边形定则作出力的分解示意图如图所示，根据勾股定理得F2＝＝ N＝150 N，故A、B、C错误，D正确。
探究一 合力和分力
1．合力和分力的“三性”
[]20~2^2版&新@教材*教辅[]
2．合力和分力的大小关系
(1)两个力共线时，其合力的大小范围
①最大值：当两个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2，合力和分力方向相同。
②最小值：当两个力反向时，合力F最小，Fmin＝|F1－F2|，合力和分力中较大的力方向相同。
(2)两分力成某一角度θ时，如图所示，合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 []《%优化方@~案*^》教辅[]
(3)夹角θ越大，合力就越小。
(4)合力可以大于等于两分力中的任何一个力，也可以小于两分力中的任何一个力。
(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是( ) []~^202&2%版新教材教*辅[]
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
[解析] 只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成。合力是对原来几个分力的等效替代，两力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在，A、C正确。 []2@022%版~新教材教*&辅[]
[答案] AC
探究二 力的合成和方法
1．作图法：作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向。具体操作流程如下： []2022版新教~材教辅%@&[^]
2．计算法
(1)两分力共线时：
F1与F2方向相同
合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同
F1与F2方向相反
合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同
(2)两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线的大小和方向，即为合力。
类型
作图
合力的计算
两分力
相互
垂直
大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力
等大，夹
角为θ
大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(当θ＝120°时，F1＝F2＝F)
两分力
分别为
F1、F2，
夹角为θ
根据余弦定理，合力大小
F＝
根据正弦定理，合力方向与F1方向的夹角正弦值为sin α＝
(多选)两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则( )
A．合力F一定增大
B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小
D．当0°<θ<90°时，合力F可能减小
[解析] 当两力之间的夹角0°<θ<90°时，如图甲所示，无论增大哪一个力，合力均增大；当两力之间的夹角90°<θ<180°时，如图乙所示，增大较大的分力时合力一定增大，而增大较小的分力时，合力可能减小、不变或增大，故B、C正确，A、D错误。
[答案] BC
(2020·南昌校级期中)南昌八一大桥是江西省第一座斜拉索桥，全长3 000多米，设计为双独塔双索面扇形预应力斜拉桥，如图所示。挺拔高耸的103 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔两侧的多对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
[解析] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下；根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC；考虑直角三角形AOD，∠AOD＝53°，而OD＝，则有：F＝2F1cos 53°＝2×5×104×0.6 N＝6×104 N，方向竖直向下。
[答案] 6×104 N 方向竖直向下
探究三 力的分解和方法
1．不受条件限制的力分解
一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图所示)。 []#@《优化方*案》教辅[~^]
分力大小与两分力间夹角的关系：
将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大分力越大：
2．有条件分解的几种情况
已知条件
示意图
解的情况
合力、两个
分力的方向
一组解
合力、两个分力的大小(同一平面内)
无解或
两组解
合力、一个分力的大小和方向
一组解
合力以及其中一个分力的大小和另一个分力的方向
①当F1＝F sin θ时，有一组解
②当F1
③当F sin θ
④当F1≥F时，有一组解
3．力分解的思路流程
(2020·上海市复旦中学期中)把一个力分解为两个分力时，下面说法中正确的是( )
A．两个分力中，一个分力变大时另一个分力一定减小
B．两个分力必须同时变大或同时变小
C．不论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
D．不论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的
[解析] 由于两分力的大小与两分力夹角有关，所以一个分力变大，另一个分力可变大，也可变小，A、B错误；当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的2倍，故C错误；当两个分力方向相同时，两个分力取最小值，此时F＝F1＋F2，显然F1、F2不能同时小于合力的一半，故D正确。
[答案] D
[针对训练] []2022^~版&新教材#教辅[%]
(多选)如图，将力F(大小已知)分解为两个分力F1和F2，F2和F的夹角θ小于90°。则关于分力F1，以下说法中正确的是( )
A．当F1>F sin θ时，肯定有两组解
B．当F>F1>F sin θ时，肯定有两组解
C．当F1
[]&2022版新教@%材教辅^[~]
当F＞F1＞F sin θ时，根据平行四边形定则，有两组解；若F1＞F，只有一组解，故A错误，B正确。当F1＝F sin θ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解；当F1＜F sin θ时，分力和合力不能构成三角形，无解，故D正确，C错误。
1．(合力和分力的关系)(多选)(2020·东丽校级期中)下列关于合力和分力的说法正确的是( )
A．分力与合力同时作用在物体上
B．分力同时作用在物体上时产生的效果与合力单独作用在物体上产生的效果相同
C．几个力的合力就是这几个力的代数和
D．合力可能大于、等于或小于任一分力 []《~^优*化%@方案》教辅[]
解析：选BD。分力和合力关系是等效替代，不是实际存在，则不可能同时作用在物体上，故A错误；合力与分力的关系是等效替代的关系，等效说的就是相同的作用效果，故B正确；当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力可能小于分力，当两个相等分力的夹角为120°时，合力的大小与两个分力大小相等，由此可见：合力可能大于分力，可能小于分力，也可能等于分力，故C错误，D正确。
2．(力的合成)某同学在单杠上做引体向上，在下列四个选项中双臂用力最小的是 ( )
[]*@《优化^方案%》教辅[#]
解析：选B。根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知：双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，各等于重力的一半，故B正确。
3．(力的合成)有三个力大小分别为3 N、7 N、9 N，则它们的合力的最大值和最小值分别为( )
A．19 N、1 N B．9 N、2 N
C．19 N、0 D．13 N、0
解析：选C。先确定其中任两个力如3 N、7 N的合力范围：最小值为4 N、最大值为10 N，由于第三个力为9 N，在前两个力合力范围内，故存在前两个力与第三个力等值反向的可能，故这三个力合力的最小值为0，而当为三个力的方向均相同时合力最大，即合力的最大值为19 N，C正确。
4．(力的分解)如图所示漫画中的大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为F，绳与水平方向的夹角为θ。若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为( )
A．F sin θ B．F cos θ []#20@2~2版新&教材教*辅[]
C． D．
解析：选A。将F分解为水平方向和竖直方向的两个分力，根据平行四边形定则，竖直方向上分力F′＝F sin θ。故A正确，B、C、D错误。
(限时：35分钟) []《优化@方%案~》#教辅[*]
【合格考练】
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．力的分解是力的合成的逆运算
B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同
C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则
D．分力一定小于合力
解析：选ABC。力的合成是求几个力的合力，而力的分解是求一个力的分力，即力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则，A、C正确；力的分解的本质是力的等效替代，就是用同时作用于物体的几个力产生的效果代替一个力的作用效果，B正确；合力与分力的关系满足平行四边形定则，故分力的大小可能大于、小于或等于合力的大小，D错误。
2．(2020·永城校级期末)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就越大
解析：选A。若F1和F2的大小不变，θ角越小，根据平行四边形定则知，合力变大，故A正确；合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误；若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若F2与F1反向，F1＞F2，则合力F减小，故C错误；根据力的合成法则，若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就可能越大，也可能一个不变，另一变大，也可能一个变小，另一变大，故D错误。 []#&202^2版%新教材*教辅[]
3．(2020·桃江校级期中)下列4个图中，F1大小为5 N，F2大小为3 N，F3大小为7 N，其中F1、F2、F3的合力最大的是( )
解析：选A。根据平行四边形定则可知，A图中三个力的合力为2F3＝14 N，B图中三个力的合力为0，C图中三个力的合力为2F1＝10 N，D图中三个力的合力为2F2＝6 N，所以A图合力最大，故A正确，B、C、D错误。
4．两个共点力的大小均为8 N，如果要使这两个力的合力大小也是8 N，则这两个共点力间的夹角应为( )
A．30° B．60° []《*~优化方#案&》教辅^[]
C．90° D．120°
解析：选D。根据合力和分力的关系我们知道，两个大小相等的分力在夹角为120°时分力和合力的大小相等。 []@20~2#2版%新教材教辅^[]
5．(2020·北京朝阳区高一期中)小芳同学想要悬挂一个镜框，以下四种方法中每根绳子所受拉力最小的是( )
[]202#^2版新教材&教辅[@*]
解析：选B。图A、C、D中的绳子与合力的方向都有一定的夹角，而B中的绳子与合力的夹角为0，当两个分力的夹角越大时，其合力越小，该题中的合力大小不变，故分力中只有B最小，故B正确。
6．(2020·浙江效实中学高二期中)如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的( )
A． B．cos θ
C． D．tan θ
解析：
选C。以人为研究对象，分析受力情况如图所示，根据平衡条件，两绳子合力与重力等大反向，则有：2F sin θ＝mg
解得：F＝，故钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的，故C正确，A、B、D错误。
7．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直。AC与水平方向成30°角。若把球的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A．G，G B．，G
C．G，G D．G，G
解析：选B。已知重力和两个分力的方向，根据平行四边形定则作力图，如图所示，
由图得到：G1＝G·sin 60°＝G；G2＝G·sin 30°＝G，故选B。
8．(2020·南昌市新建一中月考)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
解析：
选C。如图所示，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，当分力F2与F1垂直时，分力F2有最小值，最小值为：F2min＝F sin 30°＝25 N<30 N，所以F2有两个可能的方向，C正确，A、B、D错误。
9.
(2020·湖北巴东一中高一月考)有两个大小恒定的共点力，它们的合力大小F与两力之间夹角θ的关系如图所示，则这两个力的大小分别是( )
A．6 N和3 N B．9 N和3 N []202^%~2版新教材@教辅*[]
C．9 N和6 N D．12 N和6 N
解析：选B。设两个力大小分别为F1、F2，由题图得到：当两力夹角为0时，F1＋F2＝12 N；当两力夹角为π时，F1－F2＝6 N，联立解得：F1＝9 N，F2＝3 N，故B正确，A、C、D错误。
【等级考练】
10．两个共点力F1和F2的大小不变，它们的合力F跟两力F1、F2之间的夹角θ的关系如图所示，则合力F大小的变化范围是( )
A．0～1 N B．1～3 N
C．1～5 N D．1～7 N
解析：选D。由题图可得：θ＝π时，|F1－F2|＝1 N；θ＝0.5π时，＝5 N，解得F1＝3 N，F2＝4 N(或F1＝4 N，F2＝3 N)，故合力F的范围是1 N≤F≤7 N，故D正确。
11．如图所示，力F作用于物体的O点。现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为( ) []@#2022版新教*^材教&辅[]
A．F1＝F sin α B．F1＝F tan α
C．F1＝F D．F1＜F sin α
解析：选A。根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图，如图所示，在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上移动，由图可知，当F1与OO′即F合垂直时，F1有最小值，其值为F1＝F sin α，故A正确。
12．如图所示，一位重600 N的演员悬挂在绳上。若AO绳与水平方向的夹角为37°，BO绳水平，则AO、BO两绳受到的拉力各为多大？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：人对竖直绳的拉力F等于人的重力G，由于该力的作用AO、BO也受到拉力的作用，因此F产生了沿AO方向、BO方向使O点拉绳的分力F1、F2，将F沿AO方向和BO方向分解成两个分力，如图所示，由画出的平行四边形可知：AO绳上受到的拉力F1＝＝N＝1 000 N，BO绳上受到的拉力F2＝＝N＝800 N。 []《~%*优^化方案》#教辅[]
答案：1 000 N 800 N
13．如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小。
解析：
[]2022版新教^材教%&辅@#[]
以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin 30°＝FAC []《优~化方案》%教辅[*@&]
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC
FBCy＝FBCcos 45°＝FBC []《优化方@案》教辅%[~^#]
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即FAC＝FBC①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即FAC＋FBC＝50 N②
由①②两式解得：绳BC的拉力FBC＝25(－) N
绳AC的拉力FAC＝50(－1) N。
答案：50(－1) N 25(－) N
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