数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

【课前预习】

知识点一

 ?p(x)

诊断分析

(1)√　(2) ×　(3)√　[解析] (1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个(或有些)菱形不是平行四边形”.

(2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些(或存在一个)奇数的平方不是奇数”.

(3)“每个平行四边形都是中心对称图形”的否定是“存在一个平行四边形不是中心对称图形”.

知识点二

∀x∈M,?p(x)

诊断分析

(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.

(2)存在量词命题与其否定一真一假.

(3)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)该命题的否定:∃n∈Z,n∉Q.假命题.

(2)该命题的否定:∃a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根.真命题.

(3)该命题的否定:存在一个平行四边形,它的两条对角线不相等.真命题.

(4)该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.真命题.

变式　解:(1)真命题.该命题的否定: 存在一个圆不是轴对称图形.

(2)假命题.该命题的否定: ∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.

(3)假命题.该命题的否定: 存在被5整除的整数,其个位数不是0.

探究点二

例2　解:(1)该命题的否定:所有的素数都不是奇数.假命题.

(2)该命题的否定:∀x∈R,3x+5<0.假命题.

(3)该命题的否定:所有的平行四边形都是正方形.假命题.

变式　解:(1)真命题.该命题的否定:∀x∈{x|x是无理数},x2是有理数.

(2)真命题.该命题的否定:∀x,y∈Z,x+y≠3.

(3)真命题.该命题的否定:任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.

探究点三

例3　a≤0　[解析] 依题意,命题“∃x∈R,x2-a<0” 是假命题,则它的否定“∀x∈R,x2-a≥0”是真命题,所以a≤x2对x∈R恒成立,所以a≤0.

变式　解:∵命题p“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,

∴“∃x∈{x|1≤x≤2},x2-k<1”为真命题,当1≤x≤2时,1≤x2≤4,

∴k+1>1,得k>0,故当p为假命题时,k的取值范围为k>0.

【课堂评价】

1.C　[解析] 命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即“对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根”.

2.D　[解析] 命题p“∀x∈N,x3>1”的否定为:∃x∈N,x3≤1,故选D.

3.A　[解析] 含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.所以原命题的否定为“∀x,y∈N,x2+y2≠2021”.

4.C　[解析] 易知A,B,D中说法正确.对于C,“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为“所有的三角形都不是正三角形”,故C中说法错误.故选C.

5.m>2　[解析] “∀x∈R,|x|+2≥m”是假命题,所以它的否定“∃x∈R,|x|+2<m”是真命题,因为|x|≥0,所以|x|+2≥2,所以m>2.