冀教版21.2 一次函数的图像和性质精品课件ppt
展开如图所示,显示的是一个自行车骑车手骑车时热量消耗W (焦)与身体质量x (千克)之间的关系,你能写出W与x 之间的关系式吗?
在下图所示的两个坐标系中,分别画出一次函数y =2x+3、 y = x-2和y =-2x+4、y =- x+2的图像,并回答以下问题:
哪些函数,y 的值是随x 的值的增大而增大的?哪些函数,y 的值是随x 的值的增大而减小的?y 的值随x 的增大而增大和y 的值随x 值的增大而减小两种函数,它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系?由图可知,y =2x+3和 两个函数y 的值是随x的值的增大而增大的;y=-2x+4和 两个函数y 的值是随x 的值的增大而减小的.而这两组函数的区别在于:前两个函数的自变量系数是正的,而后两个函数的自变量系数是负的.
一般地,我们有:对于一次函数y=kx+b(k,b 为常数,且k≠0):当k >0时,y 的值随x 的值的增大而增大;当k <0时,y 的值随x 的值的增大而减小.
例1 已知一次函数y=(6+3m)x+(m-4),y 随x 的增大而增大,函数的图像与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,求m 的取值范围.
导引:根据一次函数的性质可知,6+3m>0,且m-4<0,联立解不等式组即可.
解:根据题意,得 ,解得-2<m<4.所以m 的取值范围是-2<m<4.
对于一次函数y=kx+b (k≠0),(1)判断k 值符号的方法:①增减性法:当y 随x 的增大而增大时,k>0;反之,k<0.②直线升、降法:当直线从左到右上升时,k>0;反之,k<0.③经过象限法:当直线过第一、三象限时,k>0;当直线经过第二、四象限时,k<0.(2)判断b 值符号的方法:与y 轴交点法,即若直线y=kx+b 与y 轴交于正半轴,则b>0;与y 轴交于负半轴,则b<0;与y 轴交于原点,则b=0.
1 判断下列函数中,y 的值随x 的值增大而变化的情况. (1) y =-3x+3; (2) y =3x-3;(3) y =(3-π)x; (4)y =0.5x
(1)y 随x 的增大而减小.(2)y 随x 的增大而增大.(3)y 随x 的增大而减小. (4)y 随x 的增大而增大.
2 已知关于x 的一次函数y =kx+4k-2.(1)如果函数的图像经过原点,求k 的值.(2)如果 y 的值随x 的值增大而减小,求k 的取值范围.
(1)由题意得,k≠0,且4k-2=0,解得k= .(2)由题意得,k<0.
已知一次函数y =(k+1) x-1, y 的值随x 的值增大 而减小,求k 的取值范围.
解:由题意得,k+1<0,所以k<-1.
4 画出函数y=-3x+3的图像,结合图像回答下列问题.(1) y 的值随x 的值增大而_____(填“增大”或“减小”),图像从左到右逐渐_______(填“上升”或“下降”)(2)当y<0时,求x 的取值范围. (2)当0 < x<1时,求y 的取值范围.
图像如图所示.(1)减小;下降 (2)当y<0时,x>1.(3)当0<x<1时, 0<y<3.
5 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数y=- x+2图像上的两点,下列判断中,正确的是( )A.y1>y2 B.y1<y2C.当x1<x2时,y1<y2 D.当x1<x2时,y1>y2
6 下列一次函数中,y 随x 的增大而减小的是( )①y=-(2x-1);②y=- ;③y=(2- )x+1;④y= (6-x).A.①和② B.②和③C.①和④ D.③和④
7 一次函数y= x+3的图像如图所示,当y>0时x 的取值范围是( )A.x>2B.x<2C.x<0D.2<x<4
8 下列函数中,同时满足下面两个条件的是( )①y 随着x 的增大而增大;②其图像与x 轴的正半轴相交.A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-1 D.y=2x+1
9 已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的图像 上,则y1,y2,0的大小关系是( )A.0<y1<y2 B.y1<0<y2C.y1<y2<0 D.y2<0<y1
参考上面画出的四个函数y=2x+3, y= x-2,y=-2x+4,y=- x+2的图像,请谈谈:(1)哪些函数的图像与y 轴的交点在x 轴的上方,哪些函 数与y 轴的交点在x 轴的下方?(2)函数的图像与y 轴的交点在x 轴的上方和函数的图像 与y 轴的交点在x 轴的下方,这两种函数,它们的区 别与常数项有怎样的关系?(3)正比例函数的图像一定经过哪个点?
事实上,一次函数y=kx+b 的图像是经过y 轴上的点(0,b)的一条直线.当b>0时,点(0,b)在x 轴的上方;当b<0时,点(0,b)在x 轴的下方;当b=0时,点(0,0)是原点,即正比例函数y=kx 的图像是经过原点的一条直线.
例2 已知关于x的一次函数y=(2k-1) x+(2k+1).(1) 当k 满足什么条件时,函数y 的值随x 的值增大而增大.(2) 当k 取何时,y=(2k-1) x+(2k+1)的图像经过原点.(3) 当k 满足什么条件时,函数y=(2k-1) x+(2k+1)的图像与y 轴的交点在x 轴的下方.
(1)当2k-1>0时, y 的值随x 的值增大而增大. 解2k-1>0,得k> .(2)当2k-1=0时,即k= 时,函数y=(2k-1) x+(2k+1)的图像经过原点.(3)当2k-1<0时,函数y=(2k-1) x+(2k+1)的图像与y 轴的交点在x 轴的下方. 解2k-1< 0,得k< .
1 在同一直角坐标系中,画出一次函数 , 的图像,并回答:(1)各图像的位置有什么关系?(2)这种位置关系与函数表达式中的哪个量相关?
所画函数图像如图所示.(1)三条直线平行.(2)与函数表达式中 的k 相关.
2 在同一直角坐标系中,画出函数①y=x+3,②y=x-3,③y=-x+3, ④y=-x-3的图像,并找出每两个函数图像之间的共同特征.
所画函数图像如图所示.每两个函数图像之间的共同特征略.
3 某面食加工部每周用10 000元流动资金采购面粉及其他物品.其中购买面粉的质量在1 500 kg〜2 000 kg之间,面粉的单价为3.6元/千克,用剩余款额y 元购买其他物品.设购买面粉的质量为x kg.(1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(2)画出该函数的图像.(3)观察图像,写出购买其他物品的款额y 的取值范围.
(1)y=10 000-3.6x (1 500≤ x ≤2 000).(2)函数图像如图所示.(3)2 800≤ y ≤4 600.
4 若正比例函数y=kx (k≠0)的函数值y 随x 的增大而减小,则一次函数y=kx+k 的图像大致是( )
5 将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD 的顶点都在格点上.若直线y=kx (k≠0)与正方形ABCD有公共点,则k 的取值范围是( )A.k≤2 B.k≥ C. ≤k≤2 D.
8 已知一次函数y=kx+2k+3的图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,且函数值y 随x 的增大而减小,则k 所能取到的整数值为________.
已知一次函数y=kx+b,当-3≤ x ≤1时,对应的y 值为-1≤ y ≤ 8,则b 的值是( )A. B. C. D.
易错点:对函数性质理解不透彻导致漏解.
1 若点M (-7,m ),N (-8,n )都在函数y=-(k 2+2k+4)x+1(k 为常数)的图像上,则m 和n 的大小关系是( )A.m>n B.m<nC.m=n D.不能确定
已知一次函数y=(m+3)x+m 2-16,且y 的值 随x 值的增大而增大. (1)求m 的取值范围; (2)若此一次函数又是正比例函数,求m 的值.
(1)由题意得m+3>0, 解得m>-3.(2)由题意得m 2-16=0,解得m=±4, 又因为m>-3, 所以m=4.
已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4). (1)当m 为何值时,y 随x 的增大而减小? (2)当m,n 为何值时,函数的图像与y 轴的交 点在x 轴的下方? (3)当m,n 为何值时,函数的图像经过原点?
(1)因为y 随x 的增大而减小, 所以6+3m<0,解得m<-2.(2)由题意得6+3m≠0,n-4<0, 解得m≠-2,n<4.(3)由题意得6+3m≠0,n-4=0, 解得m≠-2,n=4.
如图,已知直线y=2x+4与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,直线AB上有一点Q 在第一象限且到y 轴的距离为2.(1)求点A、B、Q 的坐标;(2)若点P 在x 轴上,且PO=24,求△APQ 的面积.
(1)∵直线y=2x+4与x 轴交于点A,与y 轴交于点B, 且当y=0时,x=-2, 当x=0时,y=4,∴A (-2,0),B (0,4). ∵点Q 在直线AB上,又在第一象限且到y 轴的距离为2, ∴点Q 的横坐标为2,此时y=4+4=8, ∴Q (2,8).
(2)由A (-2,0)得OA=2, 由Q (2,8)可得△APQ 中AP 边上的高为8, 当点P 在x 轴的正半轴上时, AP=OA+PO=2+24=26, S△APQ= ×26×8=104; 当点P′ 在x 轴的负半轴上时, AP′=P′O-OA=24-2=22, S△AP′Q= ×22×8=88. 综上所述,△APQ 的面积为104或88.
一次函数的解析式为y=ax-a+1(a 为常数,且a≠0).(1)若点 在一次函数y=ax-a+1的图象上,求a 的值;(2)当-1≤x≤2时,函数有最大值2,请求出a 的值.
(1)将点 的坐标代入y=ax-a+1中,得3=- a-a+1,解得a=- .(2)当x=-1时,y=-2a+1,当x=2时,y=a+1. 当-2a+10时, a+1=2,则a=1,符合条件. 当-2a+1>a+1,即a<0时,-2a+1=2, 则a=- ,符合条件,所以a=1或a=- .
1. 一次函数y=kx+b 的图像为一条直线,故其图像又称为直线y=kx+b. 2. 一次函数y=kx+b 中的系数k 与b 决定着它的性质:(1)当k>0时,y 随x 的增大而增大,图像从左向右是上升的.(2)当k<0时,y 随x 的增大而减小,图像从左向右是下降的.
(3)当b=0时,一次函数y=kx+b 为正比例函数y=kx,它的图像一定经过原点.(4)当b≠0时,直线y=kx+b 一定不经过原点.
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