第19讲 复数-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）复数（为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以复数在复平面内的对应点为，位于第二象限，
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以
故选：C
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则（ ）
A．|z|=2B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=
【答案】AB
【详解】
由题意，，A选项正确；
，B选项正确；
在复平面内对应点为，对应点在第一象限，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB.
例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数，则___________.
【答案】2
【详解】
解：，
则.
故答案为：2.
例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知其中是实数，是虚数单位，则_________
【答案】
【详解】
由，可得
则，解得.
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则的虚部为_____________.
【答案】-1
【详解】
，所以虚部为-1.
故答案为：-1.
例7．（2022·全国·高三专题练习）复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】
因为，
所以在复平面中所对应的点的坐标为，
令，解得.
故答案为：.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．
【详解】
，所以，，
所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】
因为，
所以，
所以的虚部为，
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若，则当且仅当时，为纯虚数；③则；④；⑤若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】
根据复数的概念，逐项判断，即可得到结果.
【详解】
复数 (为实数)，当时可以比较大小，当时，不能比较大小，故①错误;
复数，当为实数且时，为纯虚数，故②错误;
若,则，但不成立，故③错误;
只有当时，有，故④错误;
若，则，不是纯虚数，故⑤错误.
综上可知，有0个命题正确.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出，再根据，得出，从而可求出的取值范围.
【详解】
解：因为， 所以，
所以，解得：，
因为，所以，解得：或，
则实数的取值范围是.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用复数相等列方程组，解方程组求得，由此求得的虚部.
【详解】
设，，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
故复数的虚部为.
故选：D
6．（2022·浙江·高三专题练习）设，，为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，，那么，且
【答案】D
【分析】
举特例排除选项，利用正实数的性质判断正确.
【详解】
对于，反例，，满足，，但是不正确，所以不正确；
对于，反例，满足，但是，所以不正确；
对于，满足的复数对应的点的轨迹为点 与点 连线的中垂线，所以不正确；
对于，，显然为正实数，所以，且正确.
故选：
7．（2022·浙江·高三专题练习）复数，若复数，则在复平面内，复数对应的点与复数对应的点（ ）
A．关于实轴对称B．关于虚轴对称
C．关于原点对称D．关于点对称
【答案】B
【分析】
由条件求得，化简，根据复平面内坐标，判断两复数对称性即可.
【详解】
由题知，，由复数在复平面内对应的点的坐标知，其对应的点关于虚轴对称.
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.
【详解】
由题知，，，，设.
则，.
因为为平行四边形，所以.
由，解得，
所以点对应的复数为.
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用复数的除法化简复数，可求得复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】
由题意，得，所以．
所以在复平面内对应的点为．
故选：D．
10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，从而可得结果.
【详解】
，
，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】
由题意得，.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
13．（2022·全国·高三专题练习）若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】
首先化简复数，再根据复数的几何意义，判断选项.
【详解】
由题意可知：，所以复数在复平面上对应的点为.位于第四象限.
故选:D.
14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】
先由欧拉公式计算可得，然后根据复数的几何意义作出判断即可.
【详解】
根据题意，故，对应点，在第一象限.
故选：A.
16．（2022·全国·模拟预测）已知复数在复平面上对应的点在直线上，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】
由复数的四则运算得出复数在复平面上对应的点的坐标，再代入直线方程得出.
【详解】
因为
所以其对应点的坐标为
由题意知，解得
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解.
【详解】
由复数，可得，所以，
所以.
故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数及模长公式可求出结果.
【详解】
因为，
所以
所以.
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由复数z的实部为，结合，由求解.
【详解】
因为复数z的实部为，
所以，
因为，
所以，
解得，（舍去），
所以复数z的虚部．
故选：A
21．（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】
设，利用推出对应复平面上的点的轨迹，的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.
【详解】
设，由，推出，则，
于是可看成以为圆心，半径为的圆上运动，，
意为A到的距离，距离最大值为3，所以.
故选：D.
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数，则=（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】
根据复数的乘方运算以及减法运算求出，然后利用模长公式即可求出结果.
【详解】
由题意可得：，则，所以．
故选：B．
23．（2021·全国·高三专题练习）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25B．5C．D．41
【答案】C
【分析】
将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.
【详解】
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
24．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用复数的四则运算求得，再根据共轭复数的定义即可得到答案.
【详解】
因为，
所以的共轭复数为.
故选.
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．的值可能为D．
【答案】BCD
【分析】
由复数相等的定义求出的关系，并求得的可能值，然后判断各选项.
【详解】
因为.
所以，，
即，，则.解得或，
故A错误，B，C，D均正确.
故选：BCD.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．对应的点位于第二象限
C．D．
【答案】AD
【分析】
对于A选项利用复数的相关概念可判断；对于B选项结合复数的减法运算以及复数的几何意义即可判断；对于C选项结合复数的加法运算以及复数的模长公式即可判断；对于D选项结合复数的乘法运算以及复数的模长公式即可判断.
【详解】
对于A选项,利用复数的相关概念可判断A正确；
对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；
对于C选项，，则，故C错；
对于D选项，，则，故D正确.
故选：AD.
27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A．的虚部为B．
C．为纯虚数D．的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.
【详解】
因为，
对于A：的虚部为，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故为纯虚数，正确；
对于D：的共轭复数为，错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】
利用复数运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
设，
，，A正确.
，
，B正确.
，C错误.
，，，，D正确.
故选：ABD
29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．是实数D．是纯虚数
【答案】ABC
【分析】
设（，为虚数单位），有（，为虚数单位）.
对于A， ，，由此可判断.
对于B，根据复数的除法运算和复数的模的运算可判断；
对于C，由可判断.
对于D，由，分和判断.
【详解】
解：设（，为虚数单位），则（，为虚数单位）.
对于A，，，所以A选项正确.
对于B，，所以B选项正确.
对于C，，为实数，所以C选项正确.
对于D，，当时，为实数，当时，为纯虚数，故D选项错误.
故选：ABC.
30．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
对于A，B，利用复数模和共轭复数的意义即可判断；对于C，设出复数和的代数形式，根据给定条件计算判断；对于D，举特例说明并判断作答.
【详解】
对于A，因，则，即，则为真，A正确；
对于B，因，则和互为共轭复数，则为真，B正确；
对于C，设，因，则，即，
于是得，则为真，C正确；
对于D，当，有，而，即为假，D不正确.
故选：ABC
31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．的最大值
D．的最小值为
【答案】BC
【分析】
根据复数的概念和几何意义即可求解.
【详解】
对于A，由得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，
所以，故B正确，
对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义，，
所以，，故C正确，
对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.
故选：BC.
32．（2021·全国·高三专题练习（理））设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最大值为2
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
设，根据复数求模公式、乘法法则、几何意义等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
设，则 ，
对于A：，，故A正确；
对于B：，，当时，，故B错误；
对于C：表示z对应的点Z，在以（0,0）为圆心，1为半径的圆上，
则表示点Z与点（0，-1）的距离，
所以当时，的最大值为2，故C正确；
对于D：，表示z对应的点Z在以（1,0）为圆心，1为半径的圆上，
则表示点Z与原点（0,0）的距离，
当点Z在原点时，最小为0，
当点时，最大为2，
所以，故D正确.
故选：ACD
33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为B．（为的共轭复数）
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】
对 A，根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；对B，根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；对C，D，根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】
解：对A，复数为虚数单位在复平面内对应的点为，
点的坐标为，故A正确；
对 B，，
，故B正确；
对 C，D，设，在复平面内对应的点为，
设，
，
点到点的距离为1，
因此点是在以为圆心，1为半径的圆，
表示圆上的点到点距离，
因此，
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
34．（2022·浙江·高三专题练习）已知是虚数单位，，且，则__________.
【答案】3
【分析】
根据复数相等得出，解方程组即可求解.
【详解】
由题意可得解得，
所以.
故答案为：3
35．（2022·全国·高三专题练习（文））为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，
【答案】
【分析】
设实根为，代入方程，利用复数相等的条件列出方程，即可解得和的值.
【详解】
设该方程的实根为，则，
整理得，因为，
所以 解得.
故答案为：.
36．（2022·上海·高三专题练习）若复数满足，其中为虚数单位，则_________．
【答案】
【详解】
设，则
考点：复数相等，共轭复数
37．（2022·全国·高三专题练习）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为___________.
【答案】
【分析】
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，列出方程组，即可求解.
【详解】
根据复数的运算法则，化简得，
因为复数为纯虚数，可得，解得.
故答案为：.
38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数，，若为实数，则______．
【答案】
【分析】
利用复数的四则运算化简复数，根据已知条件可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
，由已知条件可得，解得．
故答案为：.
39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数，，是正实数，则复数__________.
【答案】
【分析】
令，应用复数的乘法求，结合已知可得且，即可求x、y，进而写出复数.
【详解】
令，而，
∴为正实数，
∴，又， 即或（舍），
∴.
故答案为：
40．（2022·全国·高三专题练习）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．
【答案】-2
【详解】
为实数，
则.
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数，
当时，为虚数，
当时，为实数，
当时，为纯虚数.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
【答案】
【分析】
化复数z为a+bi的形式，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【详解】
解：∵复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i
在复平面上对应的点位于第四象限，
∴ ，解得 ．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
42．（2022·全国·高三专题练习）若复数（，，i为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数__________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】
先写，再利用列式化简，即得（可为任意实数）均满足题意，写出其中一个即可.
【详解】
，故.
由知，，化简得，
故只要，即（可为任意实数）均满足题意，可取.
故答案为：(答案不唯一).
43．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
【答案】3
【分析】
由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.
【详解】
∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案为：
【点睛】
本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.
44．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）是虚数单位，已知复数，则________．
【答案】
【分析】
根据给定条件结合的幂的运算求出复数z即可计算作答.
【详解】
依题意，，
所以.
故答案为：
45．（2021·全国·高三专题练习）i是虚数单位，________．
【答案】0
【分析】
先化简，再利用的周期性计算可得.
【详解】
原式＝.
故答案为：0.
【点睛】
具有周期性：
①；②；③；④.