第06讲 指对幂函数-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第06讲 指对幂函数

【知识点总结】

一、指数的运算性质

当a>0，b>0时，有

(1)aman=am+n(m,nR)；  (2)( m,nR)

(3)(am)n=amn(m,nR)；  (4)(ab)m=ambm(mR)；

(5)(pQ)   (6)(m,nN+)

二、指数函数

(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；

(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.

三、对数概念

，叫做以为底的对数.

注：①，负数和零没有对数；

②；

③.

四、对数的运算性质

特殊地

五、对数函数

（1）一般地，形如的函数叫对数函数.

（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.

六、幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.

七、幂函数的图像

幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.

当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.

八、幂函数的性质

当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则（    ）

A． B． C． D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（    ）．

A．log32 B． C．log23 D．

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且），其中a，b均为实数.

（1）若函数的图象经过点，，求函数的解析式；

（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.

例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值

（1）；

（2）；.

（3）；．

（4）.

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（2）解关于的不等式.

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，

（1）当时，求的值域；

（2）若对，成立，求实数的取值范围；

（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当时，，函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：对任意，都有；

（3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（     ）

A．－ B．－

C．－ D．－6ab

3．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．15

4．（2022·全国·高三专题练习）若是指数函数，则有（    ）

A．或 B．

C． D．且

5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则（ ）

A． B． C． D．3

6．（2022·浙江·高三专题练习）函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （    ）

A． B． C． D．9

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有（    ）

A．0对 B．1对

C．2对 D．3对

8．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）若满足不等式，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算，若函数，则的值域是（    ）

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（  ）

A． B． C． D．

13．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（    ）

A． B．， C．，， D．，0，

14．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且函数.若实数满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．（2022·全国·高三专题练习）函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（    ）

A．或2 B．2 C． D．

16．（2022·全国·高三专题练习）设2a＝5b＝m，且，则m等于（    ）

A． B． C． D．

17．（2022·上海·高三专题练习）若，则x，y，z之间满足（    ）

A． B．

C． D．

18．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的值可能为（    ）

A． B． C．7 D．10

19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．9

21．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则等于

A．3 B． C． D．

22．（2022·全国·高三专题练习）若函数对恒有意义，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

23．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

25．（2022·全国·高三专题练习）下列各函数中，值域为的是（　　）

A． B．

C． D．

26．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

27．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则不等式的解集为（   ）

A．(0，2] B．

C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)

28．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，1）

C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）

29．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ）

A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6

30．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．、或

31．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）

A． B． C．2 D．

32．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

33．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

34．（2021·全国·高一专题练习）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（）

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

35．（2021·全国·）图中曲线分别表示的图像，，的关系是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

36．（2022·全国·高三专题练习）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．2

37．（2022·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．函数的值域是

C．若，则

D．函数的图像必过定点

38．（2022·全国·高三专题练习（理））对函数判断正确的是（    ）

A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域

39．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

40．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为__.

41．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为__________．

42．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________.

43．（2022·上海·高三专题练习）存在实数使不等式 在 成立，则的范围为__________．

44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．

45．（2022·全国·高三专题练习）已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）

①；② ；③；④；⑤．

46．（2022·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.

47．（2022·全国·高三专题练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___．

48．（2022·全国·高三专题练习（文））若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

49．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域和值域都是，则_____．

50．（2022·全国·高三专题练习（理））不等式的解集是_______．

51．（2022·全国·高三专题练习（文））已知用表示_____

52．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象恒过定点,在幂函数的图象上，则        ．

53．（2022·上海·高三专题练习）不等式的解集是________.

54．（2022·浙江·高三专题练习）若函数在上为减函数.则实数的取值范围是________．

55．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝log2（x2+2x﹣3）的单调增区间是_____．

56．（2022·全国·高三专题练习（理））函数，，则函数的最大值与最小值的和为__________.

57．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为__________．