第01讲 集合-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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第01讲 集合
【知识点总结】
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．
（2）相等关系．
对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．
（3）真子集关系．
对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．
表
交集


A
B

并集


A
B

补集



A
I

1．交集
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
2．并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
3．补集
已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．
四、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，， ，，．
（2）并集的运算性质．
，， ，，．
（3）补集的运算性质．
，， ，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
2．由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3．．
【典型例题】
例1．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，集合，
或，
结合集合的交集的概念及运算，可得.
故选：B.
例2．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题可得，因为，
所以.
故选：C.
例3．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．－1 B．－1或0 C．±1 D．0或±1
【答案】A
【详解】
依题意，．
由，可知：，又，则.
故选：A．
例4．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
故选：D.
例5．（百校联盟2022届高三上学期12月联考数学（理科）试题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由，即，，
所以，由解得，所以，所以.
故选：A
例6．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得，
A项中，，不符合；
B项中，，符合；
C项中，，不符合；
D项中，，不符合.
故选：B.
例7．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集，，，则Venn图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题知，，故Venn图中阴影部分所表示的集合.
故选：C.
例8．（2021·全国·高一课时练习）若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【答案】
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·北京育才学校高三阶段练习）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题知，再根据集合并集运算求解即可.
【详解】
解：因为，
所以
故选：C
2．（2021·广东·华南师大附中模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据集合的交集运算可得选项.
【详解】
解：因为集合，所以，
故选：B.
3．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解方程化简集合A，再利用集合间的关系即可判断各个选项.
【详解】
因为集合，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于CD，，故C错误，D正确．
故选：D
4．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据集合中元素的特征求得集合，再求并集及补集.
【详解】
由题得：
，
，，
因此，所以，
故选：D.
5．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由交集与补集的定义求解即可
【详解】
由题可知，集合B中的元素表示直线上除点外的点，
因此中的元素表示直线以外的点及点，
所以，
故选：C.
6．（2021·江苏·高三阶段练习）集合，}，则（ ）
A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]
【答案】C
【分析】
解一元二次不等式化简集合A，求函数定义域化简集合B，再利用交集的定义直接计算作答.
【详解】
解不等式得：，则有，
函数有意义得：，解得，则有，
所以.
故选：C
7．（2021·全国·高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
因为或，
，
因此，.
故选：B.
8．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简集合A,B，根据交集、补集运算即可求解.
【详解】
因为集合，或，
所以，
则，
故选：D
9．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
【答案】C
【分析】
根据对数函数定义域和分式不等式得，再解绝对值不等式得，最后根据集合运算求解即可.
【详解】
解：集合，
，
所以.
故选：C．
10．（2021·福建·厦门一中高三阶段练习）设，已知两个非空集合，满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用Venn图，结合集合的交并补运算求解.
【详解】
如图所示P，Q，

满足＝R，
即PQ
故选：B
11．（2021·四川南充·一模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分析可知，即可得解.
【详解】
因为，，则，因此，.
故选：B.
12．（2021·北京·北大附中高三阶段练习）已知集合，．若，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据集合的包含关系即可求出答案.
【详解】
∵，，∴当时，a＞2.
故选：D.
13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知集合，，则，的关系可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据集合中的元素判断．
【详解】
集合中只有一个元素，是一对有序数对（或理解为点的坐标），属于点集，而集合是实数集，两者交集为空集，
故选：C．
14．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））设集合，若，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简得，由再结合集合的互异性即可求解.
【详解】
，又，，则实数a的取值集合为，时不满足集合的互异性.
故选：C
15．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】
因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D

二、多选题
16．（2021·重庆·模拟预测）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】
由题意得，，
所以，
故AB正确，CD错误，
故选：AB.
17．（2021·全国·高三专题练习）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】BD
【分析】
先通过一元二次不等式的计算可得，，再根据集合的运算逐项计算即可得解.
【详解】
由题知，，
或，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
或，故D正确.
故选：BD．
18．（2021·江苏省天一中学高三阶段练习）已知集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A．(0，0)∈B B．AB={0，1} C．B=[0，+∞) D．BA
【答案】CD
【分析】
求出函数y=x和函数y=的值域分别得集合A和集合B，再逐一验证各选项判断作答.
【详解】
依题意，，，
对于A，，而，A不正确；
对于B，，B不正确；
对于C，因，则C正确；
对于D，因，即BA，D正确.
故选：CD
19．（2021·重庆市第七中学校高三阶段练习）已知集合，集合，集合，则（ ）
A． B．
C．Ü D．Ü
【答案】BCD
【分析】
先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】
由，得，所以，
由，得且，得或，所以或，
由，得，所以，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，因为或，所以，所以Ü，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为或，所以Ü，所以D正确，
故选：BCD
20．（2021·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（　　）
A．0 B． C． D．2
【答案】ABC
【分析】
根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.
【详解】
由题意，，因为，所以，
若，则，满足题意；
若，则，因为，所以或，则或.
综上：或或.
故选：ABC.
21．（2021·江苏省南菁高级中学高三阶段练习）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由题可知，利用包含关系即可判断.
【详解】
∵
∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正确.
故选：BD.
22．（2021·广东·高三阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
23．（2022·全国·高三专题练习）给出下列关系，其中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误
【详解】
显然不是集合的元素，所以A不正确；
，所以B正确；
，满足元素与集合的关系，所以C正确；
，满足集合与集合的包含关系，所以D正确；
故选：BCD．
24．（2021·重庆市开州中学高三阶段练习）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
根据集合相等的概念对选项逐个分析判断即可．
【详解】
对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，
，
显然，故C错误；
对于D，因为
故，故D正确.
故选：BD．
25．（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.
【详解】
因为，解不等式得，又因为.
对于A，由题意得，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选:BC


三、填空题
26．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）设集合A={a|a2– a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有_________个．
【答案】3
【分析】
求得集合元素的个数，由此求得的真子集的个数.
【详解】
，
由于，所以，
集合有个元素，其真子集的个数为个.
故答案为：
27．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知集合，则集合的非空真子集个数为______．
【答案】
【分析】
解不等式，确定集合中的元素个数，利用子集个数公式可得结果.
【详解】
，
故集合的非空真子集个数为.
故答案为：.
28．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
解不等式求出集合，，由可得，再结合包含关系即可求解.
【详解】
因为，
，
由可得，所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
29．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________.
【答案】0
【分析】
根据集合元素的互异性和确定性，以及集合相等的概念，即可求出结果.
【详解】
由题意可知，∴，
又
∴，∴.
故答案为：.
30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________；
【答案】2
【分析】
结合已知条件，分别讨论和时，集合和集合是否满足即可求解.
【详解】
由，结合已知条件由下列两种情况：
①若，则，
此时，，满足；
②若，则，
(i)当时，，，不满足；
(ii)当时，，，不满足，
综上所述，.
故答案为：2.
31．（2020·上海市松江二中高三阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
根据子集定义即可求解.
【详解】
∵集合，，且
∴
故答案为：.
32．（2022·上海·高三专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.
【答案】
【分析】
先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．
【详解】
∵集合，
∴集合，
∵，，
∴，或，或三种情况，
当时，可得；
当时，∵，∴，∴；
当，，∴；
∴实数m的取值构成的集合为，
故答案为：
33．（2021·上海闵行·一模）已知集合，若，则___________.
【答案】{3,4,5}.
【分析】
根据求出m，进而求出A,B，最后求出并集.
【详解】
因为，所以，即，则，于是.
故答案为：.
34．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.
【答案】
【分析】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，作出图形，设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值即可.
【详解】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：

设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.
故答案为：.
35．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知集合，，则_______
【答案】
【分析】
求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，，则，
因此，.
故答案为：.
36．（2020·江苏南通·模拟预测）已知集合，，则集合的子集的个数为________．
【答案】
【分析】
先化简集合，再求出交集，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
因此其子集个数为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查集合子集的个数，考查交集的概念，以及指数不等式的解法，属于基础题型.