人教版 (2019)必修 第一册4 力的合成和分解导学案及答案

第4课  力的合成和分解

知识点01  共点力

作用在同一物体上，且作用线交于同一点。

知识点02  合力和分力

1、定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力.

2、关系：合力与分力是等效替代关系.

知识点03  力的合成和分解

1.力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程.

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向.如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力.

②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量.如图乙，F1、F2为分力，F为合力.

2.共点力合成的方法

(1)作图法.

(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力.

3.合力范围的确定

(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.

①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小.

②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大.

③当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.

(2)三个共点力的合力范围

①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.

②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力).

【即学即练1】如图甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)(　　)

A.53°  B.127°  C.143°  D.106°

答案　D

解析　弓弦拉力的合成如图所示，

由于F1＝F2，

由几何知识得2F1cos ＝F，

有cos ＝＝0.6，所以＝53°

即α＝106°，故D正确.

4.力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则.

5.力的分解方法：

(1)按力产生的效果分解；(2)正交分解.

如图，将结点O受力进行分解.

【即学即练2】(多选)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起.当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　　)

A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N

C.若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大

D.若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小

答案　BD

解析　设两臂受到的压力大小均为F1，汽车对千斤顶的压力为F，两臂间夹角为θ，则有F＝2F1cos ，由此可知，当F＝1.0×105 N，θ＝120°时，F1＝1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律知，B正确；若继续摇动把手，F不变，θ减小，则F1将减小，C错误，D正确.

知识点04  矢量和标量

1、矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等.

2、标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等.

3、矢量是既有大小又有方向的物理量，但既有大小又有方向的物理量并不一定是矢量。如电流，有大小又有方向，但其运算法则满足算术法则，是标量。

考法01  力的合成

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力的大小范围

(1)两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

【典例1】有三个力，分别为12 N、6 N、7 N，则关于这三个力的合力，下列说法正确的是(　　)

A.合力的最小值为1 N

B.合力的最小值为零

C.合力不可能为20 N

D.合力可能为30 N

答案　B

考法02  力的分解

1.力的效果分解法

(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向.

(2)再根据两个分力方向画出平行四边形.

(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向.

2.力的正交分解法

(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系.

(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解.

x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小F＝

若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.

【典例2】(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可.一游僧见之曰：无烦也，我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)

A.若F一定，θ大时FN大

B.若F一定，θ小时FN大

C.若θ一定，F大时FN大

D.若θ一定，F小时FN大

答案　BC

解析　根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示

则＝sin

故FN＝，

所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误.

题组A  基础过关练

1．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)

解析：选B　减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，可以将F沿水平方向和竖直方向分解，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误。

2.一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)

A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定

B.三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向

C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D.由题给条件无法求合力大小

答案　B

解析　先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.

3.刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景.劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开.设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为(　　)

A.F  B.F  C.F  D.F

答案　B

解析　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 ＝＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误.

4.(多选)研究两共点力的合成实验中，得出合力F随夹角θ变化的规律如图所示，则(　　)

A.两个分力分别为8 N、10 N

B.两个分力分别为6 N、8 N

C.2 N≤F≤18 N

D.2 N≤F≤14 N

答案　BD

解析　当两个分力方向垂直时，两个力合力为＝10 N，当两个力方向相反时，合力最小，为两个力大小之差，即F1－F2＝2 N，解得这两个分力分别为8 N、6 N，选项B正确，A错误；当两个力方向相同时，合力最大，为两个力大小之和，则有2 N≤F≤14 N，选项D正确，C错误.

5.重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则(　　)

A.当θ＝60°时，运动员单手对地面的正压力大小为

B.当θ＝120°时，运动员单手对地面的正压力大小为G

C.当θ不同时，运动员受到的合力不同

D.当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等

答案　A

解析　对运动员受力分析如图，

运动员单手对地面的正压力大小与θ无关

F1＝F2＝

而手臂受力与夹角θ有关，所以选项A正确，B错误；不管角度如何，运动员受到的合力为零，选项C错误；不管角度如何，运动员与地面之间的相互作用力总是等大，选项D错误.

6.(1)合力与它的分力的作用对象为同一个物体。(√)

(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)

(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)

(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(5)两个力的合力一定比其分力大。(×)

(6)互成角度(非0°或180°)的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)

(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)

7. 三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是(　　)

A.F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3

B.F至少比F1、F2、F3中的某一个大

C.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

D.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

答案　C

8、将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是(　　)

解析：选C　A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B图均画得正确。C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力，故C图画错。D中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D图画得正确。

题组B  能力提升练

1.某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是(　　)

A.甲图中物体所受的合外力大小等于4 N

B.乙图中物体所受的合外力大小等于2 N

C.丙图中物体所受的合外力大小等于0

D.丁图中物体所受的合外力大小等于0

答案　D

2．[多选]已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A.F　　　　　　　　　　 B.F

C.F   D.F

解析：选AC　如图所示，

因F2＝F＞Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，即F1的大小分别为Fcos 30°－ΔF和Fcos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。

3.用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图4所示.两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)

A.F1＝mg，F2＝mg   B.F1＝mg，F2＝mg

C.F1＝mg，F2＝mg   D.F1＝mg，F2＝mg

答案　D

解析　分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝F1′＝mgcos 30°＝mg，对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝F2′＝mgsin 30°＝mg，选项D正确，A、B、C错误.

4.2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通.为保持以往船行习惯，在航道外建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示.下列说法正确的是(　　)

A.增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力

B.为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度

C.索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下

D.为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布

答案　C

解析　增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误.

5.如图所示，F1、F2为有一定夹角的两个力，L为过O点的一条直线，当L取什么方向时，F1、F2在L上的分力之和最大(　　)

A．F1、F2合力的方向

B．F1、F2中较大力的方向

C．F1、F2中较小力的方向

D．任意方向均可

解析：选A　F1和F2在L上的分力之和等价于F1、F2的合力在L上的分力，而F1和F2的合力要在L上的分力最大，就应该取这个合力本身的方向，所以A正确。

6. 如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)

A．kL　　　　　　　　 B．2kL

C.kL   D.kL

解析：选D　设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sin θ＝＝，cos θ＝＝。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcos θ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·＝kL，D正确。

7．[多选]如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则(　　)

A．FA＝10 N

B．FA＝10 N

C．FB＝10 N

D．FB＝10 N

解析：选AD　O点为两段绳的连接点，属于“死结”，AO绳的拉力FA与BO绳的拉力FB大小不相等。结点O处电灯的重力产生了两个效果，一是沿OA向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形如图所示。

由几何关系得F1＝＝10 N，F2＝＝10 N，故FA＝F1＝10 N，FB＝F2＝10 N，故A、D正确。

题组C  培优拔尖练

1.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于(　　)

A.45°  B.55°  C.60°  D.70°

答案　B

解析　取O点为研究对象，在三力的作用下O点处于平衡状态，对其受力分析如图所示，FT1＝FT2，两力的合力与F等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故选B.

2.建筑装修中，工人用质量为m的磨石对倾角为θ的斜壁进行打磨(如图所示)，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小是(　　)

A.(F－mg)cos θ

B.(F－mg)sin θ

C.μ(F－mg)cos θ

D.μ(F－mg)tan θ

答案　A

解析　磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力作用而处于平衡状态，由图可知，F一定大于重力mg；先将重力及向上的推力合成后，将二者的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁方向分解，则在沿斜壁方向上有Ff＝(F－mg)cos θ，在垂直斜壁方向上有FN＝(F－mg)sin θ，则Ff＝μ(F－mg)sin θ，故A正确.

3.如图，斜面倾角为30°，一质量m＝1 kg的物块在与斜面成30°角的拉力F作用下恰好不上滑.已知物块与斜面间动摩擦因数μ＝，求F的大小.(g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

答案　5 N

解析　对物块受力分析如图，沿斜面方向和垂直斜面方向建立平面直角坐标系，正交分解拉力F、重力mg，如图所示

x轴：Fcos 30°－mgsin 30°－Ff＝0

y轴：Fsin 30°＋FN－mgcos 30°＝0

又Ff＝μFN

代入数值，解得F＝5 N.

4.如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为(　　)

A.   B.

C.Gcos θ   D.Gsin θ

答案　A

解析　对吊灯，由平衡条件可知：3FTcos θ＝G，解得FT＝，故选A.