高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案

匀变速直线运动的位移与时间的关系

【学习目标】

【学习重难点】

1．探究位移与时间，速度与位移的关系

2．提升运用数学知识——函数图像的能力

3．提升运用已知结论正确类比推理的能力

【学习过程】

一、知识纲要导引

二、基础导学

（一）匀变速直线运动的位移

（自学教材“匀变速直线运动的位移”部分）

1．匀速直线运动的位移：

（1）位移公式：x＝vt．

（2）v­t图像：

①如图所示，匀速直线运动的v­t图像是一条平行于时间轴的直线．

②图线与对应的时间轴所围成的矩形面积（图中阴影部分）在数值上等于物体在这段时间内的位移．

2．匀变速直线运动的位移

（1）v­t图像

初速度为v0，加速度为a的匀变速直线运动的v ­ t图像如图所示．

（2）匀变速直线运动的位移

v­t图像中着色部分的梯形面积表示匀变速直线运动物体的位移．

（3）位移与时间的关系式

x＝v0t＋at2

（4）公式的特殊形式：

当v0＝0时，x＝at2（由静止开始的匀加速直线运动）．

（二）速度与位移的关系

（自学教材的“速度与位移的关系”部分）

1．关系式的推导：

2．速度与位移的关系式

v2－v＝2ax

（1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动．

（2）各物理量的含义．

（3）特点：不涉及时间t．

三、思考判断

（1）匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x­t图像．（    ）

（2）位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．（    ）

（3）初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．（    ）

（4）匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．（    ）

（5）公式v2－v＝2ax适用于所有的直线运动．（    ）

（6）做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越大．（    ）

（7）确定公式v2－v＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．（    ）

答案：（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×（6）×（7）√

四、启迪思维，突破重点

主题一：匀变速直线运动位移公式的理解与应用

问题探究

探究点1：v­t图像中图线与坐标轴所围的矩形的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？

提示：据v­t图像的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与坐标轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与坐标轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体向负方向运动，位移是负值． 所以物体的位移等于上、下面积的差值．

知识链接1：

（1）公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程．

（2）位移与时间的平方不是正比关系，时间越长，位移不一定越大．

知识链接2：

用“面积法”求位移要注意：

（1）t轴以上的面积表示正方向的位移，以下表示负方向位移．

（2）总位移等于各部分位移的代数和．

（3）总路程等于t轴上、下面积绝对值的和．,

探究点2：两辆汽车，甲车正在向左匀减速行驶，乙车正在向右匀加速行驶．

它们都可以应用公式x＝v0t＋at2计算位移吗？

提示：都可以用公式x＝v0t＋at2计算位移．

探究总结

1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动（匀加速、匀减速直线运动均适用）

2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向． 通常有以下几种情况：

典例示范

例1：（多选）若一质点从t＝0时刻开始由原点出发沿直线运动，其速度－时间图像如图所示，则该质点（    ）

A．t＝1s时离原点最远

B．t＝2s时离原点最远

C．t＝3s时回到原点

D．t＝4s时回到原点

解析：做直线运动的速度－时间图线与时间轴所围成的图形的面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形的面积应最大．t＝1s，所围成的图形为△OAB，t＝2s时，为△OAC．很显然S△OAC>S△OAB，所以t＝2s时位移最大，离原点最远，当t＝3s时，所围图形为△OAC和△CDE，由于△CDE在t轴以下，位移为负，则S合应为S△OAC－S△CDE≠0，t＝4s时，S合＝S△OAC－S△CDF＝0，即位移为零，质点回到出发点，故选B、D项．

答案：BD

例2：汽车在高速公路上行驶的速度为108km/h，若驾驶员发现前方80m处发生了交通事故，马上紧急刹车，汽车以恒定的加速度经过4s才停下来，该汽车是否出现安全问题？

解题指导：初速度v0＝108km/h＝30m/s，汽车做匀减速直线运动，末速度为0，运动草图如图所示，4s的时间内，若位移小于80m，则不会出现安全问题．

解析：由加速度定义式可得，汽车刹车过程中的加速度为

a＝＝m/s2＝－7.5m/s2

汽车由刹车到停止所经过的位移为

x＝v0t＋at2＝m＝60 m

由于前方距离有80m，汽车经过60m就已停下来，所以不会出现安全问题．

答案：见解析

知识链接：如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在各个阶段的运动规律．

拓展：在[例2]中并没有考虑驾驶员的反应时间，但在现实生活中，反应时间是行车安全中不可忽略的一个因素．如果驾驶员看到交通事故时的反应时间是0.5s，该汽车行驶是否会出现安全问题？

解析：汽车做匀速直线运动的位移为x1＝vt＝30×0.5m＝15m

由加速度定义式可得，汽车刹车过程中的加速度为a＝＝m/s2＝－7.5m/s2

汽车由刹车到停止所经过的位移为x2＝v0t＋at2＝ m＝60m

汽车停下来的实际位移为x＝x1＋x2＝（15＋60）m＝75m

由于前方距离有80m，所以不会出现安全问题．

答案：见解析

方法技巧

应用公式x＝v0t＋at2解题步骤

（1）确定一个方向为正方向（一般以初速度的方向为正方向）．

（2）根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示．

（3）根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解．

（4）根据计算结果说明所求量的大小、方向．

训练1：如图为一质点做直线运动的v­t图像，下列说法正确的是（    ）

A．在18～22s时间内，质点的位移为24m

B．整个过程中，BC段的加速度最大

C．BC段表示质点通过的位移大小为34m

D．整个过程中，E点所表示的状态离出发点最远

解析：在18～22s时间内，质点的位移为0，故A项错误；由速度图线的斜率大小表示加速度的大小可知，CE段的加速度最大，故B项错误；BC段表示质点通过的位移大小为BC线与时间轴所围成的梯形的面积，等于34 m，故C项正确；整个过程中，D点所表示的状态离出发点最远，故D项错误．

答案：C

训练2：在校运动会400 m决赛中，一名运动员在到达终点前进入了冲刺阶段，最后赶超了前面一名运动员获得第一名．若运动员冲刺时的初速度为7m/s，并以0.5m/s2的加速度匀加速冲刺了6s．则：

（1）运动员加速冲刺的末速度为多少？

（2）运动员加速后，将保持这个速度到达终点．已知他开始加速时距终点56m，那么，这个冲刺加速过程将使他的成绩提高多少？

（3）在这个运动员开始加速时，另一个运动员在他前面5m处，并一直以7m/s的速度匀速前进．当这个运动员到达终点时，超过那名运动员多远？

解析：（1）根据速度—时间公式得运动员加速冲刺的末速度为v＝v0＋at＝7m/s＋0.5×6m/s＝10m/s．

（2）如果不加速，所用时间为,

运动草图如图所示

t1＝＝s＝8s，

加速过程的位移为x1＝v0t＋at2＝7×6 m＋×0.5×36m＝51m，

加速之后剩余路程所用的时间为

t2＝＝s＝0.5s．

所以成绩提高了Δt＝t1－t－t2＝8s－6s－0.5s＝1.5s．

（3）在t＋t2的时间内，另一名运动员前进的距离为x2＝v0（t＋t2）＝7×（6＋0.5）m＝45.5m，

则该运动员被超越的距离为

Δx＝56m－5m－45.5m＝5.5m．

答案：（1）10m/s（2）1.5s（3）5.5m

主题二：匀变速直线运动的速度与位移的关系

问题探究

探究点1：仔细观察下列图片，同学讨论以下两个问题．

在如图所示的一次交通事故中，交警需要测量什么长度？作用是什么？

提示：需要测量刹车距离，用来计算车速，看是否超速．不涉及时间的时候，用v2－v＝2ax较为简单．

知识链接：

解决STSE问题的方法

在解决生活和生产中的实际问题时，

（1）根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合分析，找出运动过程．

（2）明确每个运动过程的运动情况，分析出各阶段的物理量．

（3）选取合适的匀变速直线运动规律求解．,

探究点2：有什么方法可以直接算出刹车时的速度？

提示：可以根据匀变速直线运动速度与位移的关系v2－v＝2ax，末速度为零，测量的刹车距离，将已知数据代入关系式计算即可．

探究总结

1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．

2．公式的意义：公式2ax＝v2－v反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量．

3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．

（1）物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．

（2）x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反．

4．两种特殊形式：

（1）当v0＝0时，v2＝2ax． （初速度为零的匀加速直线运动）

（2）当v＝0时，－v＝2ax．（末速度为零的匀减速直线运动）

典例示范

例3：国家对某型号汽车运行的安全技术标准如下：

汽车载重标准为4.5t≤质量≤12t

空载检测的制动距离（车速20 km/h）≤3.8m

满载检测的制动距离（车速30km/h）≤8.0m

该型号的汽车空载和满载时的制动加速度应该满足什么要求？

解析：空载时，v0＝20km/h＝m/s，vt＝0，s≤3.8m

令x＝3.8m，又知减速时a1<0，则0－2＝2×a1×3.8

解得a1≈－4.1m/s2

由题意知，x≤3.8m，故加速度大小a≥4.1m/s2，

满载时，v′0＝30km/h＝m/s，v′t＝0，s′≤8.0m

同理可求得a′≥4.3m/s2．

即两种情况下，汽车的加速度分别应大于或等于4.1m/s2和4.3m/s2．

答案：空载时，a≥4.1m/s2；满载时，a≥4.3m/s2

[拓展]　若符合国家安全技术标准的汽车满载时以50km/h的速度行驶，制动距离为多少？该汽车刹车后3s的速度和位移分别是多少？刹车后6s的速度和位移呢？

解析：由v－v＝2ax得，

当v0＝50 km/h时，x＝ m≈22.4m．

汽车刹车后到停止所用的时间t刹＝＝s≈3.2s，故刹车3s末汽车的速度v3＝v0＋at≈1.0m/s．

刹车的位移

x3＝v0t＋at2＝m≈22.3m．

刹车后6s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为22.4m．

答案：22.4m；1.0m/s；22.4m

训练3：某航母跑道长200m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6m/s2，起飞需要的最低速度为50m/s．那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为（    ）

A．5m/s

B．10m/s

C．15m/s

D．20m/s

解析：对飞机的起飞过程，由运动学公式v2－v＝2ax，得v0＝10m/s，B正确．

答案：B,

知识链接：

（1）弹射系统的“最小初速度”，对应滑行过程的最大加速度．

（2）熟练应用匀变速直线运动的规律进行计算．

五、达标检测

1．如图所示，一辆正以8m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶18m时的速度为（    ）

A．8m/s

B．12m/s

C．10m/s

D．14m/s

解析：由v2－v＝2ax和v0＝8m/s、a＝1m/s2、x＝18m，得出：v＝10m/s，故C正确．

答案：C

2．质点沿直线运动，其位移—时间图像如图所示，关于质点的运动，下列说法中正确的是（    ）

A．2s末质点的位移为零，前2s内位移为“－”，后2s内位移为“＋”，所以2s末质点改变了运动方向

B．2s末质点的位移为零，该时刻质点的速度为零

C．质点做匀速直线运动，速度大小为0.1m/s，方向与规定的正方向相反

D．质点在4s时间内的位移大小为0.4m，位移的方向与规定的正方向相同

解析：由所给图像可知：质点从距原点负方向0.2m处沿规定的正方向做匀速直线运动，经4s运动到正方向0.2m处，在x ­ t图像中，“＋”号表示质点在坐标原点正方向一侧，“－”号表示质点位于原点的另一侧，与质点实际运动方向无关．位移由“－”变为“＋”并不表示质点运动方向改变．由图像的斜率可得质点运动速度大小为0.1m/s，综上所述，选项A、B、C错误，D正确．

答案：D

3．（多选）如图为AK47突击步枪，该枪枪管长度约为400mm，子弹在枪口的速度约为700m/s，若将子弹在枪管中的运动看做匀加速直线运动，下列说法正确的是（    ）

A．子弹在枪管中的加速度约为6.125×105m/s2

B．子弹在枪管中的加速度约为6.125×104m/s2

C．子弹在枪管中的运动时间约为1.14×10－3s

D．子弹在枪管中的运动时间约为0.114s

解析：子弹在枪管中做初速度为零的匀加速直线运动，由v2＝2ax得a＝＝6.125×105m/s2，故A正确、B错误．由v＝at得t＝＝1.14×10－3s，故C正确、D错误．

答案：AC

4．质点A、B均做匀变速直线运动，它们的运动规律分别是xA＝2t－5t2和xB＝5t－3t2（位移xA和xB的单位是m，时间t的单位是s），由这两个关系可知（    ）

A．质点A的加速度aA＝－5m/s2

B．质点B的初速度vB0＝－5m/s

C．质点A的加速度aA＝－10m/s2

D．质点B的初速度vB0＝3m/s

解析：根据位移随时间变化的函数关系式x＝v0t＋at2可知vAO＝2m/s，aA＝－10m/s2，vB0＝5m/s，aB＝－6m/s2，正确选项为C．

答案：C

5．[2019·邯郸高一检测]跳远运动员的助跑阶段可以看成先匀加速后匀速．某运动员先以4.5m/s2的加速度跑了2s，接着匀速跑了1s，然后起跳．求：

（1）运动员将要起跳时的速度多大？

（2）运动员助跑的距离是多少？

解析：（1）根据速度—时间关系v＝v0＋at，可得运动员加速运动的末速度为

v＝at＝9m/s，即运动员起跳时的速度为9m/s．

（2）根据位移—时间关系x＝v0t＋at2，代入数据解得运动员加速运动的距离为x1＝9m，

运动员匀速跑的距离为x2＝vt＝9m，

所以运动员助跑的距离为

x＝x1＋x2＝18m．

答案：（1）9m/s（2）18m