【期末满分冲刺】2022-2023学年沪教版数学七年级上学期-期末历年解答压轴题39道（上海精编）

期末历年解答压轴题39道

一、解答题

1．（2018·上海民办兰生复旦中学七年级期末）因式分解：

2．（2019·上海奉贤·七年级期末）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，

（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．

（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．

（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．

3．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　．

（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　．

4．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．

例：若，，试比较，的大小．

解：设，那么

看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！

问题：若，，试比较，的大小．

5．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．

如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．

（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）

（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）

（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．

6．（2019·上海松江·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：

（1） =            ；

=             ．

在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．

已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：

（2）           ；（直接写出答案）

（3）           ；（直接写出答案）

（4）           ；（写出解题过程）

7．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）（1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个大正方形．请问：这两个图形的什么量不变？

（2）把所得的大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式表示为（m-n）2或m2-2mn+n2    ．

（3）由前面的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，当    时，面积最大．

（4）若矩形的周长为24cm，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？

8．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．

当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．

当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．

在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．

9．（2019·上海市华东模范中学七年级期中）在长方形ABCD中，AB=a，BC=2a，点P在边BA上，点Q在边CD上，且BP=m，CQ=n，其中，m＜a，n＜a，m≠n，在长方形ABCD中，分别以BP、CQ为边作正方形BPP1P2，正方形CQQ1Q2（点P2、Q2在边BC上）．

（1）画出图形．

（2）当m＜n时，求三角形PQ1C的面积．

10．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）现用a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆放2n个正方形.

(1)如图①，当m=2时，a=      ，如图②，当n=3时，a=      ；

(2) m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由;

(3)现有56根火柴棒，现用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法，并通过计算验证你的结论.

11．（2019·上海市毓秀学校七年级期中）用双十字相乘法分解因式

例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14．

∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33，

∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)．

双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．

分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=                                 

12．（2019·上海市洋泾··菊园实验学校七年级阶段练习）阅读理解

（1）已知下列结果，填空：

......

（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）

13．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图,正方形ABCD与正方形BEFG,点E在边AB上,点G在边BC上.已知AB=a,BE=b (b<a) .

(1)用a、b的代数式表示右图中阴影部分面积之和S

(2)当a=5cm，b=2cm时，求S的值

14．（2019·上海市震旦外国语中学七年级阶段练习）阅读下面内容，并完成题目

通过计算容易得到下列算式: ，，，...

（1）填写计算结果_ __, _ __, _ __，

（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如: 就是再连着写25得到225，就是再连着写25得到625，就是再连着写25得到1225，...

如果记-一个个位数字是5的多位数为,试用所学知识计算并归纳解释上述规律

15．（2019·上海杨浦·七年级期中）现有若干根长度相同的火柴棒，用a根火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，用b根火柴棒，按如图②摆放时可摆成2n个正方形．(m、n是正整数)

（1）如图①，当m=4时，a=______；如图②，当b=52时，n=______；

（2）当若干根长度相同的火柴棒，既可以摆成图①的形状，也可以摆成图②的形状时，m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由；

（3）现有61根火柴棒，用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法．

16．（2019·上海市闵行区七宝第二中学七年级期中）阅读理解题

阅读材料：

    两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．

    比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

    再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

    又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以

    该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

    设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．

    两数相乘可得：

.

（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）

问题：

    两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．

    如、、等．

（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；

（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．

设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）

（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________

17．（2018·上海浦东新·七年级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：

（1）写出图中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；

（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？

18．（2019·上海·南洋中学七年级阶段练习）下列各图形中的“  ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：

（1）观察图形，填写下表：

（2）当 n=_____时，“ ”的个数是“  ”的个数的 2 倍

19．（2019·上海浦东新·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．

（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．

①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；

②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；

（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为　   　．

20．（2019·上海市进才实验中学七年级阶段练习）阅读理解：

把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？

设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．

（1）把分式表示成部分分式，即=，则m=      ，n=      ；

（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．

21．（2020·上海嘉定·七年级期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知，，，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起，于是问题可转化为：“已知，，，求的值”，这样解答就方便了

（1）通过阅读，试求的值；

（2）利用上述解题思路，请你解决以下问题：已知，求的值

22．（2018·上海松江·七年级期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．

（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；

（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．

23．（2019·上海交大附中九年级）为的各位数字之和，例．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值；

（3）当时，求的最小值．

24．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：

25．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）对于正数x，规定：．

例如：，，．

（1）填空：________；_______；_________；

（2）猜想：_________，并证明你的结论；

（3）求值：．

26．（2019·上海市控江初级中学七年级阶段练习）计算：（a、b、c两两不相等）

27．（2019·上海市延安初级中学七年级期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在线段延长线上的点处，点落在点处．

（1）在图中画出旋转后得到的三角形；

（2）若旋转角的度数是，那么              ．

（3）连接，

①若，，，则             ．

②若，，则            ．（用含的代数式表示）

28．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图的顺序进行(其中阴影部分表示纸条的反面):

如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长厘米，分别回答下列问题:

（1）如图①、图②，如果长方形纸条的宽为厘米，并且开始折叠时厘米，那么在图②中，____厘米．

（2）如图②，如果长方形纸条的宽为厘米，现在不但要折成图②的形状，还希望纸条两端超出点的部分和相等，使图②． 是轴对称图形，______厘米．

（3）如图④，如果长方形纸条的宽为厘米，希望纸条两端超出点的部分和相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离(结果用表示) ．

29．（2020·上海市延安初级中学七年级期末）在中，点在边上，联结.

如图，将沿着翻折，点的对应点是点，若平分，则的值等于      ；

若.将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点的对应点分别是点，则的面积等于        .

30．（2018·上海·复旦二附中七年级期末）已知：AB、CD  是圆O  的两条直径，且∠AOD =α（0° < α < 90°），点P是扇形AOD内任意一点．点P将AB、CD所在直线依次轮流作为对称轴翻折，将点P关于AB对称的点记为点P1 ，点P1关CD 对称的点记为点P2，点 P2 关于AB 对称的点记为点P3，…．

（1）根据所给图中点P 的位置，分别画出点 P 1、P 1；（不写作图步骤，但要保留作图痕迹）

（2）分别联结OP、OP1、OP2，那么线段OP、OP1、OP2 之间的数量关系是：OP         OP1     OP2（填空，不要求写出过程）；

（3）由（1）、（2）可知，点 P 绕点O旋转可以到达点P2的位置，如果 α=60°，OP= a，求线段 OP顺时针旋转到OP2 过程中扫过的面积；

（4）在 α 取某些特定值的时候，如果按照这样的方式翻折，总能得到一点Pn与点P 重合， 求当n =12，点 P12 与点P 第一次重合时 α 的值．（直接写出结果，不要求写出过程）

31．（2019·上海市田林第三中学七年级阶段练习）正方形ABCD中，△ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到△ABM，点M、B、C在一条直线上，且△AEM与△AEF恰好关于AE所在直线成轴对称。已知EF=7，正方形边长为8。

（1）写出图中形状、大小都相等的三角形

（2）求△EFC的面积。

32．（2019·上海·领科教育国际高中七年级阶段练习）如图，已知一个正方形ABCD,点P是边BC上一点.将绕点A逆时针方向旋转90°得到（点B,P的对应点分别是）

（1）画出旋转后所得到的；

（2）联结，设，，试用表示的面积；

（3）若的面积为18，的面积为5，试求PC的长.

33．（2019·上海浦东新·七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角形的直角顶点0按图1方式叠放在一起(其中∠C＝30°，∠CDO＝60°；∠OAB＝∠OBA＝45°).△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：(请直接写出答案)

(1)当0＜t＜9时(如图2)，∠BOC与∠AOD有何数量关系

(2)当t为何值时，边OA∥CD？

34．（2020·上海宝山·七年级期末）已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．

（1）当，时，求线段FD的长度；

（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；

（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．

35．（2018·上海奉贤·七年级期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，，

（1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.

（2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.

（3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角

36．（2018·上海松江·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=a，BC=b（a＞2b），点P在边CD上，且PC=BC，长方形ABCD绕点P顺时针旋转90°后得到长方形A'B'C'D'（点B'、C'落在边AB上），请用a、b的代数式分别表示下列图形的面积．

（1）三角形PCC'的面积S1；

（2）四边形AA'CC'的面积S，并化简．

37．（2020·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．

（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．

（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?

（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．

38．（2019·江苏·滨海县大套中学七年级阶段练习）阅读材料：

求l+2+22+23+24+…+22019的值．

解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①

则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②

②-①，得2S﹣S=22020-l

即S=22020-l

∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l

仿照此法计算：

(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.

(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)

39．（2018·江苏鼓楼·七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.

（分数运算）

怎样理解？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.

（尝试推广）

（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；

②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.

（2）①观察下图，填空：____________；

②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.