初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形课后复习题

解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•深圳模拟）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（　　）千米．

A．4 B．4 C．2 D．6

选：D．

2．（2021•香坊区模拟）如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（　　）

A．16海里 B．18海里 C．8海里 D．8海里

选：D．

3．（2021•皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（　　）

A．10km B．10km C．10km D．km

【解】根据题意可知：

∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，

∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，

∴AC＝AB×cos30°＝2010（km）．

∴A，C两景点相距10km．

故选：B．

4．（2020秋•松江区期末）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）

A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米

【解】如图，

∵BC⊥AE，

∴∠AEB＝90°，

∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，

∴BE＝5米，AE＝5千米，

∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），

∴AC（千米），

故选：C．

5．（2021•九台区一模）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（　　）

A．100+100•sinα米 B．100+100•tanα米 

C．100米 D．100米

选：B．

6．（2021•淮南模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（　　）

A．40海里 B．40tan37°海里 

C．40cos37°海里 D．40sin37°海里

选：D．

7．（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　）

A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里

【解】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，

∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），

即海监船C与货轮A的距离是5海里，

故选：B．

8．（2020秋•石家庄期中）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）

A．B地在C地的北偏西40°方向上 

B．A地在B地的南偏西30°方向上 

C．∠ACB＝50° 

D．sin∠BAC

选：D．

9．（2020•吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（　　）

A．（1515）海里、15海里 

B．（1515）海里、5海里 

C．（1515）海里、15海里 

D．（1515）海里、15海里

【解】过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，

∴AS＝DS，

∴∠CDS＝∠CAS＝30°，

∵∠ABS＝15°，

∴∠DSB＝15°，

∴SD＝BD，

设CS＝x，

在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，

∴ACx，AS＝DS＝BD＝2x，

∵AB＝30海里，

∴xx+2x＝30，

解得：x，

∴AS＝（1515）（海里）；

∴BS15（海里），

∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（1515）海里、15海里，

故选：D．

10．（2020•唐山二模）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）

A．海里/小时 B．15海里/小时 

C．里/小时 D．30海里/小时

选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　25　海里（结果保留根号）．

答案为：25．

12．（2020•邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是　18　海里（结果保留根号）．

答案为：18．

13．（2021•任城区一模）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为　38　海里（精确到1海里，参考数据1.414，1.732）．

答案为：38．

14．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【解】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，

由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，

∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，

∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴AC＝BC＝12nmile，

在Rt△ACE中，sin∠ACE，

∴AE＝AC•sin∠ACE＝610.4（nmile），

故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，

故答案为10.4．

15．（2021•兴城市一模）如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶　15（1）　海里．

答案为：15（1）．

16．（2021•苏州模拟）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为　40+40　（结果保留根号）．

答案为：40+40．

17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　2km　．

答案为2km．

18．（2020秋•临沭县期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为　（4+2）　km．

答案为：（4+2）．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2018•泸州模拟）如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B处西北方向的C 岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：1.4，1.7）

【解】如图，过C作CH⊥AB于H，

由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，

∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，

∴∠ABC＝60°，

设BH＝x，则CH＝AHx，BC＝2x，

∵AB＝60，

∴x+x＝60，

解得x＝30（1），

∴AH＝30（3），

∴Rt△ACH中，ACAH30（3）＝30（3），

Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（1），

∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3）÷20≈2.7小时，

不明船只到达C岛的时间为60（1）÷15≈2.8小时，

∴巡逻艇先到达C岛．

20．（2020秋•上虞区期末）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．

求：（1）景点A，B间的距离；

（2）小敏健步走的总路程．

【解】（1）延长AB，过点C作CH⊥AB延长线于点H，如图所示：

由题意知：∠CAH＝90°﹣60°＝30°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，

∵，

∴，

∵∠CBH＝∠HCB＝45°，

∴CH＝BH＝4，

在Rt△CAH中，CH＝4，∠CAH＝30°，

∵，

∴，

∴，

即景点A，B间的距离为；

（2）在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，

∴AC＝2CH＝2×4＝8，

∴BC+AB+AC＝444+8＝444，

即小敏健步走的总路程为（444）km．

21．（2021•成都模拟）如图，一艘轮船以每小时40海里的速度在海面上航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的东北方向，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的北偏东75°方向上，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）

【解】过点A作AD⊥BC于点D．

由题意，AB40＝20（海里）

∵∠PAC＝∠B+∠C，

∴∠C＝∠PAC﹣∠B＝75°﹣45°＝30°，

在Rt△ABD中，sinB，

∴AD＝AB•sinB＝2010（海里），

在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，

∴AC＝2AD＝20（海里），

答：此时轮船与灯塔C的距离为20海里．

22．（2018秋•成都期中）如图，在点B正北方150cm的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以5cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为170cm．

（1）求出点A到线段BC的最小距离；

（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．

【解】（1）作AH⊥BC于H．

在Rt△ABH中，∵AB＝150cm，∠B＝45°，

∴AH＝AB•sin45°＝150cm，

答：点A到线段BC的最小距离为150cm．

（2）∵AH＝150cm＜170cm，

∴点A处能接收到信号．

当AP＝170cm时，PH80cm，

当AP′＝170cm时，HP′＝80cm，

∴PP′＝160cm，

∴可接收信号的时间32s．

答：可接收信号的时间32s．

23．（2020•青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．

（参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）

【解】如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，

得矩形CDEF，

∴CF＝DE，

根据题意可知：

AE＝5海里，∠BAE＝22°，

∴BE＝AE•tan22°≈52（海里），

∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里），

∴CF＝4（海里），

在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，

∴AC44.3（海里）．

答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．

24．（2020秋•崇明区期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．

（1）B、P两处间的距离为　14　海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是　等边　三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它　能　[填“能”或“不能”]到达Q处；

（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？

【解】（1）如图1所示：

由题意得：AB＝2814（海里），∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，

∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，

∴PB＝AB＝14（海里），

∵BC∥PD，

∴∠BPD＝∠PBC＝30°，

∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，

∵PQ＝PB＝14，

∴△BPQ是等边三角形，

∴∠PBQ＝60°，

∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，

∴A、B、Q三点共线，

∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，

故答案为：14，等边，能；

（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：

由（1）得：∠PBH＝60°，

在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB14＝7，

∵712，

∴海监船继续向正东方向航行是安全的．