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沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用课后作业题
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这是一份沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用课后作业题，文件包含专题236解直角三角形的应用方向角问题重难点培优解析版docx、专题236解直角三角形的应用方向角问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题23.6解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•雨花区校级月考）如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（ ）
A．60-302 B．602-60 C．120-602 D．1202-120
【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，利用三角函数解答即可．
【解析】∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵AB∥x轴，
∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，
∵OB+OA+AB＝60km，
∵OB＝OA=22AB，
∴AB=602-60，
故选：B．
2．（2020•唐山二模）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为103海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．103海里/小时 B．15海里/小时
C．53里/小时 D．30海里/小时
【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．
【解析】∵∠CAB＝10°+20°＝30°，∠CBA＝80°﹣20°＝60°，
∴∠C＝90°，
∵AB＝103海里，
∴AC＝AB•cos30°＝15（海里），
∴救援船航行的速度为：15÷3060=30（海里/小时）．
故选：D．
3．（2021•槐荫区二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+1003）海里的港口B出发，沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．2：2 B．2：1 C．3：2 D．3：1
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
设AD＝x，
由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD＝x，
∴AC=CD2+AD2=2x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2-CD2=3x，
∵AB＝100+1003，
∴AD+BD＝x+3x＝100+1003，
∴（1+3）x＝100（1+3），
∴x＝100，
即AD＝100海里，
∴AC＝1002海里，BC＝200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为1002：200=2：2，
故选：A．
4．（2021•长清区一模）如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．403海里 B．（203+10）海里
C．40海里 D．（103+10）海里
【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解决问题．
【解析】过A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，
∴AD=12AB＝10（海里），BD=3AD=32AB＝103（海里），
∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝10（海里），
∴BC＝BD+CD＝（103+10）海里，
故选：D．
5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（ ）
A．atan55°米 B．acos55°米 C．atan35°米 D．atan55°米
【分析】连接AB，BC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°=ACAB，
∴AB=ACtan55°=atan55°，
故选：D．
6．（2020秋•郯城县期末）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（ ）
A．103海里 B．（102-10）海里
C．（103-10）海里 D．10海里
【分析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，解Rt△APC求得AC，那么AB＝AC﹣BC．
【解析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，
在Rt△APC中，
∵∠CAP＝30°，
∴AC=CPtan∠CAP=1033=103（海里），
∴AB＝AC﹣BC＝（103-10）海里．
故选：C．
7．（2020秋•宛城区期末）如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距303海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A．45海里/时 B．15海里/时
C．1523海里/时 D．53海里/时
【分析】由题意得∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝80海里，再由含30°角的直角三角形的性质得AB=12OA＝153（海里），OB=3AB＝45（海里），然后由路程除以时间求解即可．
【解析】连接AB，如图所示：
由题意得：∠ABO＝90°，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝303海里，
∴AB=12OA＝153（海里），OB=3AB＝45（海里），
∴这艘船航行的速度为45÷（11﹣8）＝15（海里/时），
故选：B．
8．（2021•九台区一模）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（ ）
A．100+1003•sinα米 B．100+1003•tanα米
C．100+1003sinα米 D．100+1003tanα米
【分析】直接利用直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出PC，BC的长，进而得出答案．
【解析】过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α，
则AC=12AP＝100m，PC＝PAcos30°＝1003米，
故tanα=BCPC=BC1003，
则BC＝1003•tanα米，
故AB＝AC+BC＝（100+1003•tanα）米．
故选：B．
9．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．200tan70°米
C．200sin 70°米 D．200sin70°米
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【解析】在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70°=200tan70°，
即河宽200tan70°米，
故选：B．
10．（2020秋•石家庄期中）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．∠ACB＝50°
D．sin∠BAC=12
【分析】根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．
【解析】如图所示：
由题意可知，∠BAD＝60°，∠CBP＝50°，
∴∠BCE＝∠CBP＝50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP＝60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB＝90°﹣∠BCE＝40°，
即公路AC和BC的夹角是40°，故C错误．
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴sin∠BAC=12，故D正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•龙华区期末）如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 54 小时．
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意得到∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，解直角三角形即可得到CD=12AC＝25（海里），于是得到结论．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD=12AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为2520=54（小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为54小时，
故答案为：54．
12．（2020秋•青山区期末）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （30+303） 海里．
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解析】过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，AD=12AC＝30，cos∠ACD=CDAC，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×32=303．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝303，
∴AB＝AD+BD＝30+303．
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+303）海里．
故答案为：（30+303）．
13．（2021•苏州模拟）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为 40+403 （结果保留根号）．
【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质求出AC、PC，根据正切的定义求出BC，结合图形计算，得到答案．
【解析】过点P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠APC＝45°，AP＝422海里，
∴AC＝PC=22AP=22×402=40（海里），
在Rt△BPC中，∠BPC＝60°，tan∠BPC=BCPC，
∴BC＝PC•tan∠BPC＝403，
∴AB＝AC+BC＝（40+403）海里，
∴航程AB的值为40+403，
故答案为：40+403．
14．（2012•安顺）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 200 m．
【分析】首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，再由三角形内角和定理得∠ACB＝30°，从而求出B、C两地的距离．
【解析】由已知得：
∠ABC＝90°+30°＝120°，
∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200．
故答案为：200．
15．（2020秋•李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 500 m．
【分析】先证∠ABC＝90°，再由勾股定理求解即可．
【解析】如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC=AB2+BC2=4002+3002=500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
16．（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 22km ．
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=12OA＝2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD＝2km，则AB=2AD＝22km．
【解析】如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，
∴AD=12OA＝2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝2km，
∴AB=2AD＝22km．
即该船航行的距离（即AB的长）为22km．
故答案为22km．
17．（2020秋•临沭县期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 （4+22） km．
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案．
【解析】由题意可得，∠CAB＝∠ACD＝45°
∴AD＝CD，
过点B作BE⊥AC，垂足为E，则△ABE是等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，
AE＝BE＝AB•sin45°＝22（km），
由题意可得∠BCA＝∠BCD＝22.5°，BD⊥CD，BE⊥AC，
∴BD＝BE＝AE＝22（km），
∴AD＝CD＝AB+BD＝（4+22）km，
故答案为：（4+22）．
18．（2021•海安市模拟）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 603 海里．
【分析】先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解析】在Rt△PAB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×3=603（海里），
故答案为：603．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•高新区模拟）一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点，依据直角三角形的性质求得PD的长，即可得出结论．
【解析】如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD=12PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
20．（2021•禹州市模拟）2020年11月10日，“雪龙2”起航!中国第37次南极考察队从上海出发，执行南极考察任务．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东58°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛248km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以25km/h的速度运动．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（结果精确到1km．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用正切的定义表示出BD、CD，列出方程，解方程即可．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，
由题意知，∠ABC＝28°+25°＝53°，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，BC＝248km，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝53°，
∴BD=ADtan∠ABD=ADtan53°≈34x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，
∴CD=ADtan∠ACD=ADtan30°=3x，
∵BD+CD＝BC，
∴34x+3x≈248，
解得：x≈100，
∴AD＝100（km），
∴AC＝2AD＝200（km），
∴200÷25＝8（h），
∴9+8＝17，
答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
21．（2020秋•鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM•tan∠CMD＝x•tan37°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝50+x•tan37°，
∴50+x•tan37°＝x，
∴x=501-tan37°≈501-0.75=200，
答：轮船M到海岸线l的距离约为200米；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F，
在Rt△DMF中，DF＝DM•tan∠FMD＝DM•tan22°
≈200×0.40＝80（米），
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈200+80＝280＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
22．（2019•恩施市一模）横卧于清波之上的黄石大桥与已经贯通的五峰山隧道将成为恩施城区跨越东西方向的最大直线通道，它把六角亭老城区与知名景点女儿城连为一体，缓解了恩施城区交通拥堵的现状．如图，某数学兴趣小组利用无人机在五峰山隧道正上空点P处测得黄石大桥西端点A的俯角为30°，东端点B（隧道西进口）的俯角为45°，隧道东出口C的俯角为22°，已知黄石大桥AB全长175米，隧道BC的长约多少米（计算结果精确到1米）？（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.4，3≈1.7）
【分析】可以作PD⊥AC于点D，根据题意得∠PAD＝30°，∠PBD＝45°，∠PCD＝22°，AB＝175，设PD＝BD＝x，则AD＝175+x，根据三角函数即可求得BC的长．
【解析】如图，作PD⊥AC于点D，
根据题意可知：
∠PAD＝30°，∠PBD＝45°，∠PCD＝22°，AB＝175，
设PD＝BD＝x，则AD＝175+x，
在Rt△APD中，tan30°=PDAD
即x175+x=33，
解得x=175(3+1)2．
在Rt△CPD中，tan22°=PDDC，
即xDC=0.40，
∴DC=175(3+1)2×10.4=875(3+1)4，
∴BC＝BD+DC=175(3+1)2+875(3+1)4=236.25+590.625＝826.875≈827（米）．
答：隧道BC的长约827米．
23．（2020秋•崇明区期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．
（1）B、P两处间的距离为 14 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是 等边 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 能 [填“能”或“不能”]到达Q处；
（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？
【分析】（1）先由题意得AB＝14（海里），∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，再由三角形内角和定理得∠APB＝30°＝∠PAB，则PB＝AB＝14（海里），然后证△BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论
（2）过点P作PH⊥AB于H，由（1）得∠PBH＝60°，再求出PH＝73，然后由73＞12即可得出结论．
【解析】（1）如图1所示：
由题意得：AB＝28×12=14（海里），∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，
∴PB＝AB＝14（海里），
∵BC∥PD，
∴∠BPD＝∠PBC＝30°，
∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，
∵PQ＝PB＝14，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，
∴A、B、Q三点共线，
∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，
故答案为：14，等边，能；
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：
由（1）得：∠PBH＝60°，
在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB=32×14＝73，
∵73＞12，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
24．（2021•乐东县模拟）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．
（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是 26.5° ；点B在小岛D什么方位？ 南偏西41° ；
（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】（1）过C作CE∥OA，由平行线的性质得∠ACE＝∠CAO＝26.5°，再由俯角和方位角的定义求解即可；
（2）设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解析】（1）过C作CE∥OA，如图所示：
则∠ACE＝∠CAO＝26.5°，
即在小岛C看点A俯角大小是26.5°，
由题意得：∠DOB＝90°，
∵∠DBO＝49°，
∴∠BDO＝90°﹣49°＝41°，
∴点B在小岛D南偏西41°方向上，
故答案为：26.5°，南偏西41°；
（2）设B处距离码头O有xkm，
由题意得：AB＝28×0.2＝5.6（km），
则OA＝AB+BO＝（5.6+x）km，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO=OCOA，
∴OC＝OA•tan∠CAO＝（5.6+x）•tan26.5°≈（5.6+x）×0.50＝（2.8+0.5x）km，
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO=DOBO，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
解得：x≈14.2（km）．
答：B处距离码头O约14.2km．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题23.6解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•雨花区校级月考）如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（ ）
A．60-302 B．602-60 C．120-602 D．1202-120
【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，利用三角函数解答即可．
【解析】∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵AB∥x轴，
∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，
∵OB+OA+AB＝60km，
∵OB＝OA=22AB，
∴AB=602-60，
故选：B．
2．（2020•唐山二模）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为103海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．103海里/小时 B．15海里/小时
C．53里/小时 D．30海里/小时
【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．
【解析】∵∠CAB＝10°+20°＝30°，∠CBA＝80°﹣20°＝60°，
∴∠C＝90°，
∵AB＝103海里，
∴AC＝AB•cos30°＝15（海里），
∴救援船航行的速度为：15÷3060=30（海里/小时）．
故选：D．
3．（2021•槐荫区二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+1003）海里的港口B出发，沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．2：2 B．2：1 C．3：2 D．3：1
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
设AD＝x，
由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD＝x，
∴AC=CD2+AD2=2x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2-CD2=3x，
∵AB＝100+1003，
∴AD+BD＝x+3x＝100+1003，
∴（1+3）x＝100（1+3），
∴x＝100，
即AD＝100海里，
∴AC＝1002海里，BC＝200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为1002：200=2：2，
故选：A．
4．（2021•长清区一模）如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．403海里 B．（203+10）海里
C．40海里 D．（103+10）海里
【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解决问题．
【解析】过A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，
∴AD=12AB＝10（海里），BD=3AD=32AB＝103（海里），
∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝10（海里），
∴BC＝BD+CD＝（103+10）海里，
故选：D．
5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（ ）
A．atan55°米 B．acos55°米 C．atan35°米 D．atan55°米
【分析】连接AB，BC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°=ACAB，
∴AB=ACtan55°=atan55°，
故选：D．
6．（2020秋•郯城县期末）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（ ）
A．103海里 B．（102-10）海里
C．（103-10）海里 D．10海里
【分析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，解Rt△APC求得AC，那么AB＝AC﹣BC．
【解析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，
在Rt△APC中，
∵∠CAP＝30°，
∴AC=CPtan∠CAP=1033=103（海里），
∴AB＝AC﹣BC＝（103-10）海里．
故选：C．
7．（2020秋•宛城区期末）如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距303海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A．45海里/时 B．15海里/时
C．1523海里/时 D．53海里/时
【分析】由题意得∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝80海里，再由含30°角的直角三角形的性质得AB=12OA＝153（海里），OB=3AB＝45（海里），然后由路程除以时间求解即可．
【解析】连接AB，如图所示：
由题意得：∠ABO＝90°，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝303海里，
∴AB=12OA＝153（海里），OB=3AB＝45（海里），
∴这艘船航行的速度为45÷（11﹣8）＝15（海里/时），
故选：B．
8．（2021•九台区一模）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（ ）
A．100+1003•sinα米 B．100+1003•tanα米
C．100+1003sinα米 D．100+1003tanα米
【分析】直接利用直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出PC，BC的长，进而得出答案．
【解析】过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α，
则AC=12AP＝100m，PC＝PAcos30°＝1003米，
故tanα=BCPC=BC1003，
则BC＝1003•tanα米，
故AB＝AC+BC＝（100+1003•tanα）米．
故选：B．
9．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．200tan70°米
C．200sin 70°米 D．200sin70°米
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【解析】在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70°=200tan70°，
即河宽200tan70°米，
故选：B．
10．（2020秋•石家庄期中）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．∠ACB＝50°
D．sin∠BAC=12
【分析】根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．
【解析】如图所示：
由题意可知，∠BAD＝60°，∠CBP＝50°，
∴∠BCE＝∠CBP＝50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP＝60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB＝90°﹣∠BCE＝40°，
即公路AC和BC的夹角是40°，故C错误．
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴sin∠BAC=12，故D正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•龙华区期末）如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 54 小时．
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意得到∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，解直角三角形即可得到CD=12AC＝25（海里），于是得到结论．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD=12AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为2520=54（小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为54小时，
故答案为：54．
12．（2020秋•青山区期末）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （30+303） 海里．
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解析】过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，AD=12AC＝30，cos∠ACD=CDAC，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×32=303．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝303，
∴AB＝AD+BD＝30+303．
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+303）海里．
故答案为：（30+303）．
13．（2021•苏州模拟）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为 40+403 （结果保留根号）．
【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质求出AC、PC，根据正切的定义求出BC，结合图形计算，得到答案．
【解析】过点P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠APC＝45°，AP＝422海里，
∴AC＝PC=22AP=22×402=40（海里），
在Rt△BPC中，∠BPC＝60°，tan∠BPC=BCPC，
∴BC＝PC•tan∠BPC＝403，
∴AB＝AC+BC＝（40+403）海里，
∴航程AB的值为40+403，
故答案为：40+403．
14．（2012•安顺）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 200 m．
【分析】首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，再由三角形内角和定理得∠ACB＝30°，从而求出B、C两地的距离．
【解析】由已知得：
∠ABC＝90°+30°＝120°，
∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200．
故答案为：200．
15．（2020秋•李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 500 m．
【分析】先证∠ABC＝90°，再由勾股定理求解即可．
【解析】如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC=AB2+BC2=4002+3002=500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
16．（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 22km ．
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=12OA＝2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD＝2km，则AB=2AD＝22km．
【解析】如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，
∴AD=12OA＝2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝2km，
∴AB=2AD＝22km．
即该船航行的距离（即AB的长）为22km．
故答案为22km．
17．（2020秋•临沭县期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 （4+22） km．
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案．
【解析】由题意可得，∠CAB＝∠ACD＝45°
∴AD＝CD，
过点B作BE⊥AC，垂足为E，则△ABE是等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，
AE＝BE＝AB•sin45°＝22（km），
由题意可得∠BCA＝∠BCD＝22.5°，BD⊥CD，BE⊥AC，
∴BD＝BE＝AE＝22（km），
∴AD＝CD＝AB+BD＝（4+22）km，
故答案为：（4+22）．
18．（2021•海安市模拟）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 603 海里．
【分析】先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解析】在Rt△PAB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×3=603（海里），
故答案为：603．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•高新区模拟）一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点，依据直角三角形的性质求得PD的长，即可得出结论．
【解析】如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD=12PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
20．（2021•禹州市模拟）2020年11月10日，“雪龙2”起航!中国第37次南极考察队从上海出发，执行南极考察任务．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东58°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛248km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以25km/h的速度运动．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（结果精确到1km．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用正切的定义表示出BD、CD，列出方程，解方程即可．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，
由题意知，∠ABC＝28°+25°＝53°，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，BC＝248km，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝53°，
∴BD=ADtan∠ABD=ADtan53°≈34x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，
∴CD=ADtan∠ACD=ADtan30°=3x，
∵BD+CD＝BC，
∴34x+3x≈248，
解得：x≈100，
∴AD＝100（km），
∴AC＝2AD＝200（km），
∴200÷25＝8（h），
∴9+8＝17，
答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
21．（2020秋•鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM•tan∠CMD＝x•tan37°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝50+x•tan37°，
∴50+x•tan37°＝x，
∴x=501-tan37°≈501-0.75=200，
答：轮船M到海岸线l的距离约为200米；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F，
在Rt△DMF中，DF＝DM•tan∠FMD＝DM•tan22°
≈200×0.40＝80（米），
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈200+80＝280＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
22．（2019•恩施市一模）横卧于清波之上的黄石大桥与已经贯通的五峰山隧道将成为恩施城区跨越东西方向的最大直线通道，它把六角亭老城区与知名景点女儿城连为一体，缓解了恩施城区交通拥堵的现状．如图，某数学兴趣小组利用无人机在五峰山隧道正上空点P处测得黄石大桥西端点A的俯角为30°，东端点B（隧道西进口）的俯角为45°，隧道东出口C的俯角为22°，已知黄石大桥AB全长175米，隧道BC的长约多少米（计算结果精确到1米）？（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.4，3≈1.7）
【分析】可以作PD⊥AC于点D，根据题意得∠PAD＝30°，∠PBD＝45°，∠PCD＝22°，AB＝175，设PD＝BD＝x，则AD＝175+x，根据三角函数即可求得BC的长．
【解析】如图，作PD⊥AC于点D，
根据题意可知：
∠PAD＝30°，∠PBD＝45°，∠PCD＝22°，AB＝175，
设PD＝BD＝x，则AD＝175+x，
在Rt△APD中，tan30°=PDAD
即x175+x=33，
解得x=175(3+1)2．
在Rt△CPD中，tan22°=PDDC，
即xDC=0.40，
∴DC=175(3+1)2×10.4=875(3+1)4，
∴BC＝BD+DC=175(3+1)2+875(3+1)4=236.25+590.625＝826.875≈827（米）．
答：隧道BC的长约827米．
23．（2020秋•崇明区期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．
（1）B、P两处间的距离为 14 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是 等边 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 能 [填“能”或“不能”]到达Q处；
（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？
【分析】（1）先由题意得AB＝14（海里），∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，再由三角形内角和定理得∠APB＝30°＝∠PAB，则PB＝AB＝14（海里），然后证△BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论
（2）过点P作PH⊥AB于H，由（1）得∠PBH＝60°，再求出PH＝73，然后由73＞12即可得出结论．
【解析】（1）如图1所示：
由题意得：AB＝28×12=14（海里），∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，
∴PB＝AB＝14（海里），
∵BC∥PD，
∴∠BPD＝∠PBC＝30°，
∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，
∵PQ＝PB＝14，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，
∴A、B、Q三点共线，
∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，
故答案为：14，等边，能；
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：
由（1）得：∠PBH＝60°，
在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB=32×14＝73，
∵73＞12，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
24．（2021•乐东县模拟）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．
（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是 26.5° ；点B在小岛D什么方位？ 南偏西41° ；
（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】（1）过C作CE∥OA，由平行线的性质得∠ACE＝∠CAO＝26.5°，再由俯角和方位角的定义求解即可；
（2）设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解析】（1）过C作CE∥OA，如图所示：
则∠ACE＝∠CAO＝26.5°，
即在小岛C看点A俯角大小是26.5°，
由题意得：∠DOB＝90°，
∵∠DBO＝49°，
∴∠BDO＝90°﹣49°＝41°，
∴点B在小岛D南偏西41°方向上，
故答案为：26.5°，南偏西41°；
（2）设B处距离码头O有xkm，
由题意得：AB＝28×0.2＝5.6（km），
则OA＝AB+BO＝（5.6+x）km，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO=OCOA，
∴OC＝OA•tan∠CAO＝（5.6+x）•tan26.5°≈（5.6+x）×0.50＝（2.8+0.5x）km，
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO=DOBO，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
解得：x≈14.2（km）．
答：B处距离码头O约14.2km．
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