初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形第四课时教学设计

第四课时  

＆.教学目标：

1、掌握直角三角形的边角关系，并能综合运用解决实际问题。

2、掌握铅垂线、水平线、仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等相关术语。

3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。

4、感知本节知识与现实生活的密切联系，体会数学来源于实际生活，又广泛应用于实际生活。

＆.教学重点、难点：

重点：解直角三角形及解直角三角形在实际中的应用。

难点：解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。

＆.教学过程：

一、情景导入

1、解直角三角形的理论依据是什么？

2、如图，一段路基的横断面是梯形，高为米，上底的宽是米，路基的坡面与地面的倾角分别是和．如何求路基下底的宽？（精确到米）

二、探究新知

§.坡度的概念，坡度与坡角的关系

知识点1：坡度：

如图，坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即．坡度通常写成的形式，如．

知识点2：坡角：

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有.

知识点3：坡角与坡度之间的关系：

（坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡）。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、如图，一段路基的横断面是梯形，高为米，上底的宽是米，路基的坡面与地面的倾角分别是和．求路基下底的宽。（精确到米）

解：作，垂足分别为、．由题意可知

（米），（米）

在中

∵

∴（米）．

在中，同理可得:

（米）．

∴（米）

答：路基下底的宽约为米．

§.例2、如图，一水坝横断面为等腰梯形，斜坡的坡度为，坡面的水平长度为，上底宽为，求坡角，坝高和坝底的长各是多少？

解析：利用坡角与坡度的关系即坡角的正切值等于坡度可求得的大小，再由坡度和斜坡的水平长度求坝高，求坝底则过作即可。

解：过作于

∵四边形是等腰梯形

∴，

∵，且是锐角

∴

∵，

∴，

答：坡角为，坝高为，坝底的长为.

归纳小结：这类问题的实质是梯形的计算，通常将其转化为直角三角形计算求解。

§.例3、如图，沿水库拦水大坝梯形的背水坡，将坝顶加宽，背水坡的坡度由原来的改为，已知坝高，坝长，求：

（1）加宽部分横断面的面积；

（2）完成这一工程需多少土石方？

解析：由图形可知，加宽部分的横断面是一个梯形，故作梯形的高构造直角三角形，利用坡度及锐角三角函数的定义进行求解。

解：（1）分别过、作于，于

则，

在中

∵，

∴

在中

∵，

∴

故

∴

（2）

答：加宽部分的横断面积为，完成这一项工程需要的土石方.

§.例4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水的整个坡面是长为米，宽为米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花。

（1）求整修后背水坡的面积；

（2）如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？

解：（1）作于

∵背水坡原来的坡度为

∴，则

设整修后的斜坡为，由整修后的坡度为，得：

∴，

故整修后背水坡的面积为

（2）有两种方案：

第一种是种草块，种花块，需要元；

第二种是种花块，种草块，需要元.

所以种植花草至少需要元.

§.例5、某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图所示，从山底到山顶的坡角是，斜坡长为米.根据地形，要求修好的公路路面的坡比（假定、两点处在同一垂直线上），为了减少工程量，若米，则直接开挖修建公路；若米，则就要重新设计，问：这条公路是否需要重新设计？

解析：是否需要重新设计，需比较与的关系，即求出.由题意可求出，进而求出，再由坡比可求得，故可求出.

解：在中，，

∴，

在中，

∴

∴

所以这条路需要重新设计。

四、课堂巩固

教材  练习

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、明确坡角、坡度、坡比的概念并能利用直角三角形的知识，解决坡度、坡角有关的实际问题。

2、掌握涉及梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形的问题来解决。

六、课外作业

1、教材  习题 

2、选用课时作业：