【备战2023高考】数学总复习——第03讲《抛物线》讲义（全国通用）

第03讲   抛物线

本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，

选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.

考点一 抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 

考点二 抛物线的标准方程和几何性质

焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2.　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　

[常用结论]

与抛物线焦点弦有关的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.

(2)|AF|＝，|BF|＝.

(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.

(4)＋＝.

(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．

高频考点一  抛物线的定义及其应用

【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．1

C.  D．2

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

[答案]　(1)B　(2)4

[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

又点P到焦点F的距离为2，

∴由定义知点P到准线的距离为2.

∴xP＋1＝2，∴xP＝1.

代入抛物线方程得|yP|＝2，

∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.

 【方法技巧】

[解题技法]

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

【跟踪训练】

1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．

解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

答案：(2,2)

2．(2022·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.

解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.

答案：

高频考点二  抛物线的标准方程与几何性质

【例2】(1)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．8

(2)(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝x

[解析]　(1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴由已知得椭圆＋＝1的一个焦点为，∴3p－p＝，又p>0，∴p＝8.

(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.

[答案]　(1)D　(2)B

 【方法技巧】

1．求抛物线标准方程的方法

(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．

(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．

【变式训练】

1．(2020·福建厦门一模)若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝(　　)

A．2  B．4

C．±2  D．±4

解析：选C　∵x2＝ay＝2··y，p＝＝1，∴a＝±2，故选C.

2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

答案：x2＝4y

解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.

 高频考点三   直线与抛物线的位置关系

【例3】 (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|.

[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.

由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－.

从而－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

(2)由＝3可得y1＝－3y2.

由可得y2－2y＋2t＝0.

所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.

 【方法技巧】

[解题技法]

1．直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．

(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．

2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

【变式训练】

1．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则∴y－y＝4(x1－x2)，

∴k＝＝.

设AB中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，

则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．

∵M′(x0，y0)为AB中点，

∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，

∴y1＋y2＝2，∴k＝2.

答案：2

2．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，

故直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝x.

设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.

将y＝x＋m代入y＝，

得x2－2x－2m＝0.

由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x1,2＝1±.

从而|AB|＝|x1－x2|＝2.

由题设知|AB|＝2|MN|，

即＝，

解得m＝.

所以直线AB的方程为y＝x＋.