【备战2023高考】数学总复习——第03讲《等比数列及前n项和》讲义（全国通用）

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本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)，即G2＝ab.
考点二 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
考点三 等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点四 常用结论
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
高频考点一 等比数列基本量的运算
【例1】(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A.16 B.8
C.4 D.2
【方法技巧】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【变式训练】
1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.

高频考点二 等比数列的判定与证明
【例3】Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

【方法技巧】
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【变式训练】
(2021·石家庄质量评估)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n).
(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列；
(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项.
高频考点三 等比数列的性质及应用
【例4】 (2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A.25 B.20
C.15 D.10
【方法技巧】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2022·西安调研)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4＋2a7＝eq \f(5,2)，则S5＝( )
A.32 B.31
C.30 D.29
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝________.