高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算获奖课件ppt
展开环节四 简单复合函数的导数
【引入新课】
问题:导数的四则运算法则是什么?
答案:
【探究新知】
问题1: 前面我们需要记住基本初等函数的导数计算公式及其运算法则,因为没有极限的理论,所以我们只能通过练习来把公式记住并熟练使用,我们也学会了很多函数的导数的计算,那么的导数又应该如何计算呢?函数可以用基本初等函数表示吗?
答案:设,则.
所以可以看成和经过“复合”得到的,
即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把与的关系记作,与的关系记作,那么这个“复合”过程可表示为.
定义:一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.
问题2: 如何求复合函数的导数?先研究的导数.
猜想:函数的导数一定与函数的导数有关.
以表示对的导数,表示对的导数,表示对的导数.
一方面,
另一方面,
追问: 观察,,,有什么发现?
结论:复合函数的求导法则:一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数与函数和的导数之间的关系为:
问题3: 现在可以用复合函数的求导法则求函数的导数了吗?
答案:函数可以看作函数和的复合函数,
.
追问:这里得到的可以作为结果吗?
答案:显然是不合适的,还需要将中间变量用函数换成来表示.
.
【知识应用】
例1 求下列函数的导数:
(1);(2).
解:(1)函数可以看作函数和的复合函数.
根据复合函数的求导法则,有.
(2)函数可以看作和的复合函数.
根据复合函数的求导法则,.
追问1:你能总结求复合函数的导数的一般步骤吗?
(1)观察函数结构,识别构成复合函数的基本初等函数;
(2)引入中间变量,运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算;(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量,得到关于自变量的导数.
追问2:求复合函数的导数时,要注意什么?
(1)计算过程要发挥中间变量的作用,确保准确识别函数结构,选对求导公式;
(2)最后结果写成关于的函数,不再出现中间变量.
例2某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm)与时间(单位:s)之间的关系为.求函数在s时的导数,并解释它的实际意义.
问题:如何求“函数在时的导数”?
答案:可以先求函数的导数,再将代入导数的解析式,求出导数值.
追问1:如何求函数的导数?
答案:需要用到复合函数的求导法则.
追问2:函数可以看作哪两个函数的复合函数?
答案:函数可以看作函数与的复合函数.根据复合函数的求导法则,有
当时,
它表示当s时,弹簧振子振动的瞬时速度为mm/s.
追问3: 函数还可以看作哪两个函数的复合函数?
答案:函数可以化为,也可以看作与的复合函数.有
当时,
它表示当s时,弹簧振子振动的瞬时速度为mm/s.
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