2021学年1.5 全称量词与存在量词优质学案

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

【学习目标】

【自主学习】

一 .全称量词与全称量词命题

1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示．

2.全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．

3.全称量词命题的表述形式：全称量词命题

“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.

思考1：全称量词命题中是否一定含有全称量词？

二.存在量词与存在量词命题

1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“______”表示．

2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________.

3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.

思考2：短语“至多有一个”是存在量词吗?

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　)

(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　)

(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　)

(4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　)

(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(  　)

【经典例题】

题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析

点拨：全称量词命题与存在量词命题的判断

例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(3)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．

【跟踪训练】1  将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.

题型二   全称量词命题和存在量词命题的真假判断

点拨：1．全称量词命题真假的判断

对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”：

(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；

(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)

2．存在量词命题真假的判断

对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”：

(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)

(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．

例2 判断下列全称量词命题的真假．

(1)任意实数的平方均为正数．

(2)函数y＝kx＋b为一次函数．

(3)同弧所对的圆周角相等．

(4)∀x∈R，x2＋3≥3.

【跟踪训练】2 判断下列存在量词命题的真假．

(1)有的集合中不含有任何元素．

(2)存在对角线不互相垂直的菱形．

(3)有些整数只有两个正因数．

题型三   由含量词的命题求参数

点拨：解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题.

例3 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

例3-变式 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，即已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

【跟踪训练】3  是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

【当堂达标】

1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3          B.对有些x∈R,使得x2>3

C.任选一个x∈R,使得x2>3        D.至少有一个x∈R,使得x2>3

2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(　　)

A.有些实数没有倒数                         B.矩形都有外接圆

C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行     D.∃x∈R，x2+x≤2

3.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　)

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2>0

C．任意无理数的平方必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

4.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

5.将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”；

(2）“任意一个不大于0的数的立方不大于0”.

6.若存在一个实数x，使不等式m－x2＋2x－5>0成立，求实数m的取值范围．

【课堂小结】

一．易错提醒

1.注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化.

2.注意省略量词的命题的真假判断.

3.对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理.

二．判断全称、存在量词命题真假的方法:

1.若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.

2.若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.

【参考答案】

【自主学习】

全称量词 ∀  全称量词   ∀x∈M，p(x)

存在量词 ∃ 存在量词命题  ∃x0∈M，p(x0)

思考1：全称量词命题不一定含有全称量词，比如全称量词命题“正方形是特殊的菱形”，中没有全称量词。

思考2：不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.

【小试牛刀】

(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

【经典例题】

例1 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

(2)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

(3)含有量词“存在”，是存在量词命题．

【跟踪训练】1 解析： (1)∀x∈R，x2≥0.

(2)∃x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<0)．

例2 解：(1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．

(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．

(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．

(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．

【跟踪训练】2 (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．

(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．

(3)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．

例3 解：∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．

又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.

∴1－m≥0. 解得m≤1.

∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．

例3-变式 解：∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．

又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，

∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.

∴4－m≥0，即m≤4.

∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．

【跟踪训练】3 解：不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.

【当堂达标】

1.C　

2.ACD 解析：选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.

3.A 解析：只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．

4. 0 解析： ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．

5.（1）∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
（2）∀x≤0，x3≤0
6. 解：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.

令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.

又t＝(x－1)2＋4，

∴tmin＝4，

∴m>4.

所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．