【培优分级练】人教版数学九年级上册 第二次月考卷（含解析）

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第二次月考卷课后培优练一元二次方程、二次函数、旋转、圆（以圆为主）（时间120分钟，满分120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每小题3分，共30分）1．以下标志是中心对称图形的是（     ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ）A．m≤2 B．m≥2 C．m<-2 D．m<2【答案】A【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：m≤2．故选：A．3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（     ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．故选：A．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（   ）A． B．π+2 C．2π+2 D．4π+1【答案】A【详解】解：连接OD、AD，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是Rt△BAC，∵BC=4，AB=AC∴，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，，∵OD=OB，∠B=45°，∴∠B=∠BDO=45°，∴∠DOA=∠BOD=90°，∴阴影部分的面积．故选：A．5．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示：输水管的半径为，水面宽为，水的最大深度为，，，，，∴水的最大深度为：．故选：C．6．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（　 　）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90° C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°【答案】C【详解】∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴∠A+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝2∠ADC，∴2∠ADC+∠A＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴2∠ADC+∠B＝90°．故选：C．7．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．故选：A．8．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（　 　）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【详解】连接AE，设AB交EF于点D∵∠B＝40°，∠C＝60°∴∠BAC＝80°，∵EF为⊙O直径，∴∠EAF＝90°，∵点F是BC弧的中点，∴弧BF = 弧CF，∠BAF＝∠CAF＝40°， 是的外角 故选：A．9．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，则下列结论中，正确的个数是（     ）①；②；③；④当时，；⑤对于任意的实数m，均有；⑥若，则关于x的方程一定有4个实数根．A．②③⑤ B．②③⑤⑥ C．①④⑥ D．②③⑥【答案】B【详解】解：∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，∴a＜0，c＜0，a，b异号，∴b＞0．∴abc＞0，∴①错误，③正确；∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，∴抛物线的对称轴直线为：，又，∴，∴，∴，故②正确；∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，∴当时，抛物线有最大值，∵，∴当时，且，当时，，∴当时，，故④错误；∵当时，抛物线有最大值，∴对于任意的实数m，均有，即，故⑤说法正确；∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，∴函数的图象应为故当时，直线与该图象始终有4个交点，即关于x的方程一定有4个实数根，故⑥正确，综上可得正确的说法有：②③⑤⑥，故选：B10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4∴AC＝BC＝∵F是BC的中点∴CF＝∴AF＝∵CD是直径∴∠CED＝∠CEB ＝90°∴△CEB是直角三角形∵F是BC的中点∴∵AE≥AF-EF=故选D．二、填空题（每小题3分，共30分）11．某件商品连续两次降价后，零售价由原来的元降为元，设此商品平均每次降价的百分率为，则恨据题意列出的方程是__________________．【答案】【详解】解：根据题意得．故答案为：．12．二次函数在时随增大而减小，则的取值范围是____________．【答案】【详解】解：，二次函数开口向上，二次函数的对称轴是直线，当时随的增大而减小，当时，随的增大而减小，．故答案为：．13．将直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△，则图中阴影部分的面积是______________．【答案】【详解】解：如图所示，设AB与交于D点，根据旋转性质得∠=15°，而∠CAB=45°，∴∠=∠CAB-∠=30°，又∵=AC=1cm，∠=∠C=90°，∴AD=2，由勾股定理得，，即，∴=，∴阴影部分的面积=（）．故答案为：．14．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠AOB＝120°，则AB＝_____．【答案】6【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，∴ PA ＝PB ，CA ＝CE ，DB ＝DE ，∵△PCD的周长为12，∴ PC + CE + PD + DE ＝PC + CA + PD + DB ＝PA + PB ＝12 ，∴ PA ＝PB ＝6 ，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝6，故答案为：6．15．实心球是一项以力量为基础，以动作速度为核心的投掷项目．如图，某次比赛中运动员站在O处将实心球从B处抛出，它的运动路线可以看作是抛物线的一部分．若实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，则该运动员投掷实心球的水平距离OA为______米．【答案】10【详解】解：∵实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，∴的项点坐标是（4，3），∴，解得：，∴抛物线关系式为将（4，3）代入得：解得：，所以抛物线的解析式为．令y=0，可得，解得（舍去）．∴OA的长是10米.故答案为：10．16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是_____________．【答案】8【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接D与AB相交于点M，则CM＝M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴D为直径，即CM+DM=D＝AB，∵AB=8，∴CM+DM的最小值是8．故答案为：8．17．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_____，弓形ACB的面积为_____．【答案】          π-2【详解】解：在优弧上取点D，连接AD、BD、OA、OB，∵四边形ADBC为圆内接四边形，∴∠D=180°-∠ACB=45°，由圆周角定理得，∠AOB=2∠D=90°，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴AB=OA=2，弓形ACB的面积==π-2，故答案为：2，π-2．18．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．【答案】8【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=24cm，∴BD=AB=12（cm），∵OB=OC=13cm，在Rt△OBD中，（cm），∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），即水的最大深度为8cm，故答案为：8．19．已知m是方程式的根，则式子的值为________．【答案】2020【详解】∵m是方程式的根，∴，∴，．，将代入，得：，再将代入，得：．故答案为：2020．20．如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为__________．【答案】-1【详解】解：连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，∴A＝AB，∴A＝AD，∵F为D的中点，∴AF⊥D，∴∠AFD＝90°，∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，∵DG＝AD＝1，CD＝2，∴，∴．故答案为：-1．三、解答题（每小题10分，共60分）21．华贸商城销售某品牌电饭锅，每台进价为320元，标价为400元．(1)中秋节期间商城举行促销活动，经过两次降价后，每台售价为324元，若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；(2)经市场调研发现：当每台售价为380元时，平均每天能售出6台，当每台售价每降5元时，平均每天就能多售出3台，若商城要想使该冰箱的销售利润平均每天达到720元，则每台冰箱的售价应为多少元？【答案】(1)每次降价的百分率是10%．(2)每台冰箱的售价应为360元或350元．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，依题意得，解得，（不合题意，舍去），答：每次降价的百分率是10%．（2）设应降价a个5元，依题意得(380﹣5a﹣320)(6+3a)＝720，解得，，所以380﹣5a=360或350，因此每台冰箱的售价应为360元或350元．22．如图，△ABC是直角三角形，，，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到的位置，且使经过点A．(1)求的度数，并判断的形状；(2)求线段AC与线段AB的数量关系．【答案】(1)60°，等边三角形；(2)【详解】（1）解：∵，，∴∠BAC=60°，由旋转可知，CA=，，，∵经过点A，∴是等边三角形，∴．（2）解：由（1）得，，，∵，，∴，∴，即，∴．23．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．【答案】(1)；(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)【详解】（1）解：函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）解：∵、，∴点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）解：设点、点，①当是平行四边形的一条边时，当点在的下方时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，，解得：，，即点的坐标为、点的坐标为，故当点在点上方时，，同理可得点的坐标为、点的坐标为，②当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；综上，、的坐标分别为或，或或．24．如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为E，且．(1)求证：．(2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由．(3)若，求的半径．【答案】(1)，证明见解析；(2)四边形是正方形，理由见解析；(3)【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即，∴；（2）解：四边形是正方形.理由如下：∵，，，∴，∴四边形是矩形．如图，连接OA，OD．∵，，∴CF=DF，AG=BG．∵CD=AB，∴AG=DF．∵，，OA=OD，∴OG=OF，∴四边形是正方形；（3）解：∵CE=1，DE=3，∴CD=4，∴CF=DF=2，∴EF=CF-CE=2-1=1．∵四边形是正方形，∴OF=EF=1．在Rt中，，∴⊙O的半径为．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AE＝2【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°，∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：∵∠DCO＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°，又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A＝90°，又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，∴OC＝＝＝4，∴OA＝OC＝4，又DE＝DC＝3，∴OE＝OD﹣DE＝2，在Rt△AEO中，由勾股定理得：，∴AE＝2．26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．(1)求证：DG是⊙O的切线；(2)求证：DE＝CD；(3)若，BC＝8，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5【详解】(1)证明：如图1，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴，∴，∴OD⊥BC，∵，∴，∵是⊙O的半径，∴DG是⊙O的切线．(2)证明：如图2，连接BD， ∵点E是△ABC的内心，∴，∵，∴，∴．(3)解：如图3，连接OB、，连接交于 由（2）可知，由题意知，，在中，由勾股定理得，设半径为，则，，在中，由勾股定理得即，解得，∴⊙O的半径为5．