最新人教版数学九年级上册全册教案

这是一份最新人教版数学九年级上册全册教案，共122页。

第一章 反比例函数
探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）
目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；
2、理解反比例函数的概念和意义；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、旧知回顾：
1、函数的概念：
一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。
2、一次函数的概念：
一般地，如果（、是常数，）那么叫做的一次函数。如：，…
当时，有（为常数，）则叫做的正比例函数。如：，，…
二、新知探究：
类似地，有反比例函数：
1、概念：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。
2、强调：
①自变量在分母中，指数为1，且；
②也可以写成的形式，此时自变量的指数；
③自变量的取值为的一切实数；
④由于，，因此函数值也不等于0。
例题讲评：
1、下列函数中，均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的值。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
分析：
⑴是反比例函数，；
⑵不是反比例函数；
⑶是正比例函数；
⑷，即，是反比例函数，。
2、若函数是反比例函数，求出的值并写出解析式。
分析：
由题有：且，解得
∴解析式为，即
3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
分析：
设反比例函数的解析式为（），则
∴
∴此反比例函数的解析式为。
三、练习：
为何值时，是反比例函数？
四、小结：
1、牢记反比例函数的概念；
2、能正确区别正、反比例函数。
五、作业：
1、课堂：
⑴已知函数是反比例函数，求的值；
⑵如果函数是反比例函数，那么正比例函数的图象经过第几象限？
2、课外：《基础训练》.

第二课时
探究内容：1.1 建立反比例函数模型（2）
目标设计：1、巩固反比例函数的概念，能正确区别正、反比例函数；
2、能根据实际正确写出反比例函数解析式，初步尝试画反比例函数的图象；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、根据实际问题写反比例函数的解析式；
2、正、反比例函数的综合练习。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、一次函数的一般形式：
，（，为常数，）
当时， （）为正比例函数。
2、反比例函数的一般形式：
，（为常数，，）
二、新知探究：
例题讲解：
1、已知函数为正比例函数，且其图象经过第一、三象限，函数为反比例函数，请求出符合条件的所有值。
分析：
由题意，有：
由①得，
当在时，方程②为
解得，（均不合题意，舍去）
当时，方程②为
解得，（不合题意，舍去）
∴符合题意的值为3。
2、已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，；当时，，求出与的函数关系。
分析：
∵与成正比例 ∴设
又∵与成反比例 ∴设
又∵ ∴
∴由题意，有
解得
∴与的函数关系式为。
3、某地上一年每度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间。经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，且当时，。
⑴求与之间的函数关系式；
⑵若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上一年增加20％（收益＝用电量×（实际电价－成本价））？
分析：
⑴ 题意可设（），则 ，
解得
∴与的函数解析式为，
即
⑵由题意，有：（1+y）（x－0.3）＝（0.8－0.3）×1×（1＋20％）
即，亦即
∴，
∵
∴
即电价应调至每度0.6元。
三、练习：
1、若函数是反比例函数，那么正比例函数经过第几象限？
2、在某一电路中，电压伏，则电流强度I（安）与电阻R（欧）的函数关系式是（ ）。
3、已知反比例函数，请写出五个符合该函数解析式的点的坐标，并尝试画出该函数的图象。
分析：
（1，－6），（2，－3），（3，－2），（6，―1），（―1，6），（―2，3），（―3，2）
x
x
y
O
图象如下：






四、小结：
牢记反比例函数解析式，灵活解答。
五、作业：
1、课堂：
⑴已知，与成正比例，与成反比例，且当和时，的值分别是－4，3，试求与的函数关系式；
⑵《教材全解》P13名题品味尝试5。
2、课外：《基础训练》。
第三课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（1）
目标设计：1、了解反比例函数的图象为双曲线，掌握其图象的画法；
2、初步依据图象探究的符合与函数值的大小关系；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、函数图象的画法；
2、、与值符号的关系等。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
反比例函数的概念及自变量取值范围：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成，（为常数，，）的形式，那么称是的反比例函数，其中是一切非零实数。
二、新知探究：
尝试：画反比例函数的图象。
步骤：
1、列表：
x
－5
－4
－2
－1




1
2
4
5

－0.4
－0.5
－1
－2
－4
－6
6
4
2
1
0.5
0.4
x
y
O
2、描点：








3、连线：在两象限内分别用圆滑曲线顺次连结。
讲授：反比例函数图象的画法：（描点法）
1、列表：
自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对（或以上）互为相反数的点，并计算出相应值，填表；
2、描点：先描出一侧，另一侧可依中心对称点性质去找。
3、连线：用光滑曲线连结各点并延伸。
强调：
1、反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。
2、由于反比例函数的值不为0，所以它的图象与轴和轴均无交点，即双曲线的俩个分支无限地接近坐标轴，但永远达不到坐标轴，
动手尝试：
画出反比例函数与的图象，并观察它们的图象有什么相同点和不同点。
分析：
列表：
x
6
－5
－4
3
2
1
1
2
3
4
5
6

－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1

1
1.2
1.5
2
3
6
6
3
2
1.5
1.2
1
描点，连线：

x
y
O




相同点：图象分别都是有两支双曲线组成的，它们都不与坐标轴相交；两个函数图象自身都是轴对称图形，都有两条对称轴；两个函数图象自身都是关于原点对称的中心对称图形。
不同点：函数的图象位于一、三象限，且在每个象限内，值随的增大而减小；函数的图象位于二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大。
由上，有：图象位置与函数的增减性与有关。
反比例函数（）的图象与性质如下表：
k的符号
x
y
O
图象
性质
k＞0
x
y
O

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；
2、当k＞0时，函数图象的两个分
支在一、三象限，在每个象限内，
y随x的增大而减小。
k＜0

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；
2、当k＜0时，函数图象的两个分
支在二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大。
三、小结：
1、掌握反比例函数图象的画法；
2、牢记反比例函数的性质。
四、作业：
1、课堂：《基础训练》
2、课外：同上，其他试题。
第四课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（2）
目标设计：1、巩固反比例函数图象的画法及的符号与函数图象的关系；
2、能熟练依据反比例函数的图象或点的坐标求解析式；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、反比例函数的性质；
2、依据性质判断函数图象所在象限等。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、反比例函数的性质：
2、一次函数的性质：
3、反比例函数与一次函数之间的异同：（图象、的符号与函数值的关系）
二、新知探究：
例题：
已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）。
⑴求出这个反比例函数的解析式；
⑵经过点A的正比例函数的图象与此反比例函数还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由。
分析：
⑴设此反比例函数的解析式为（），则
∴
∴此反比例函数的解析式为。
⑵∵A点也在正比例函数的图象上
∴ 则
∴此正比例函数的解析式为
∴此正比例函数的图象经过二、四象限。
又由⑴可知，反比例函数的图象在二、四象限内，设另一交点为，则与A（-2，3）是关于原点对称两点，而点A（-2，3）在第二象限内，所以点必在第四象限内，其坐标为（2，-3）。
2、已知反比例函数，分别依据下列条件确定的取值范围：
⑴函数图象位于第一、三象限；
⑵在每一象限内，随的增大而增大。
分析：
⑴∵函数图象位于第一、三象限
∴，即
⑵依题意，有，∴
3、已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，求的值并写出解析式。
分析：
依题意，有
即
∴
∴此反比例函数的解析式为，即。
x
y
O
N
P
M
探究：反比例函数中的比例系数的几何意义。
如图，过双曲线上任一点作轴、轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积
∵（）
∴
∴
x
y
O
A
即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为。
三、练习：
1、一个反比例函数在第三象限的图象如图所示，若A是
图象上任意一点，AM⊥轴与M，O是原点，如果，求
这个反比例函数的解析式。
2、已知正比例函数与反比例函数的图象都经
过A（M，1）点，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。（2005·常德市）
四、小结：
在牢记图象的基础上灵活练习。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P3 4；
2、课外：同上。
第五课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（3）
目标设计：1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标；
2、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：根据已知条件求函数解析式。
探究准备：作图工具、小黑板等。
探究过程：
一、复习导入：
1、一次函数 （）与轴、轴交点：
轴：（） 轴：（）
反比例函数与轴、轴无交点。
2、当时，一次函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小。
当时，类似。
二、新知探究：
题例：
1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围。
分析：
x
y
O
N(－1，－4)
M(2，m)
⑴∵点N（-1，-4）在反比例函数的图象上
∴ 即
∴反比例函数的解析式为。
又∵点M（2，M）也在双曲线上
∴
∴点M的坐标为（2，2）。
又∵点M（2，2），点N（-1，-4）均在的图象上
∴ 解得
∴一次函数的解析式为。
⑵由图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。
解析如下：
∵
∴ 即 ①
分两种情况讨论：
①当时，①式可化为 即
∴或 即 或
∴
②当时，①式可化为 即
∴或 即 或
∴
综上，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。
y
x
A
B
O
D
C
2、如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作轴的垂线，垂足为B，过点C作轴的垂线，垂足为D，记的面积为，的面积为，则与的大小关系怎样？
分析：
方法一：设，则
同理，设，则
∴
方法二：由函数可得
∵，
∴
三、练习：
如果反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点坐标为（2，3），求反比例函数和一次函数的解析式。
四、小结：
1、求反比例函数的解析式只需一个点的坐标即可，而求一次函数解析式需知道两个点的坐标；
2、求函数解析式的方法一般是用待定系数法；
3、比较函数值的增减情况一般是依据自变量而定。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P4 4；
2、课外：《基础训练》P4 2。
第六课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（4）
目标设计：通过典型题例的分析讲解，引导学生掌握反比例函数图象的画法，巩固反比例函数的概念和性质。
重点难点：1、熟练掌握反比例函数图象的画法；
2、能依据反比例函数的概念和性质求其解析式。
探究准备：作图工具、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、反比例函数的概念、性质及其图象画法；
2、一次函数的解析式、性质及图象画法。
二、新知探究：
1、画出函数的图象。
分析：
方法：描点法
过程：
1、列表：
x
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
y




－1
1




2、描点、连线：
x
y
O
（x＞0）
（x＜0）








强调：描点时不能把横纵坐标颠倒，单位长度应取合理、正确，便于描点。
2、如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，与轴交于点C，AB垂直于轴，垂足为B，且。
⑴求M的值；
x
y
O
A
B
C
⑵求△ABC的面积。
分析：
⑴ 设点
∵A点在的图象上，
∴
又∵
∴
⑵ 由⑴知，。
∴取立直线与双曲线的解析式，有
解得 或
∵，（需求第一象限内的交点坐标）
∴A点坐标为
又∵直线与轴的交点为―2
∴
∴
三、练习：
《基础训练》P4 5
四、小结：
1、过双曲线上任意一点作轴或轴的垂线，与坐标原点所构成的三角形的面积为；
2、双曲线与直线若有交点，说明联立其解析所组成的方程。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P5 10，11；
2、课外：同上6、7、8。
第七课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（5）
目标设计：通过典型题例的分析讲解，引导学生牢记反比例函数图象与性质，掌握解题方法。
重点难点：解题方法的分析引导。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、若、在反比例函数的图象上，则与的关系怎样？
2、已知与成反比例，且时，，那么当时，为多少？
3、已知函数的图象过点，试求函数的图象与坐标轴围成是三角形的面积。
分析：
∵点在函数的图象上
∴
∴一次函数的解析式为：，此时，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：
二、新知探究：
1、一次函数与双曲线在同一直角坐标系中无交点，试判断的取值范围。
分析：
由题意，有
∴ 即 亦即
又∵直线与双曲线无交点
∴此时方程无解
∴ 即
2、已知如图，C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交轴、轴于A、B两点，设，，连结OC、OD，求证：
分析：
过点C作CG⊥轴于G，则在Rt△COG中，，
x
y
O
A
B
C（x1，y1）
D
G
∵C点在双曲线上
∴ 即
∴
∴在Rt△COG中，，即
∴
3、如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设点A的坐标为，那么宽为，长为的矩形面积和周长分别为多少？
分析：
x
y
O
A（x1，y1）
B
由题意，得
∴ 或
∴由图象可知，A点坐标为
∴

4、如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于轴于D，若。
⑴求A、B、D的坐标；
⑵求一次函数与反比例函数的解析式。
x
y
O
A
B
C
D
分析：
⑴∵
∴A（-1，0），B（0，1），D（1，0）
⑵∵点A、B在一次函数的图象上
∴ 解得
∴一次函数的解析式为
又∵C点在在一次函数的图象上，CD⊥轴，且OD＝1
∴CD＝1＋1＝2，即C点坐标为（1，2）
又∵C点也在反比例函数的图象上
∴
∴反比例函数的解析式为。
三、练习：
D
x
y
O
A
B
C
如图，一次函数图象分别与轴、轴
相交于A、B两点，与反比例函数交于C、D两
点。如果点A（2，0），点C、D分别在第一、三
象限内，且，试求两函数的
解析式。
四、小结：
灵活运用已知条件和图象找准坐标点，然后求解析式。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P6 5；
2、课外：同上。
第八课时
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（6）
目标设计：通过稍有难度的典型题例的分析讲解，引导学生灵活运用本节知识及已学的相关知识解决问题，注重学生自主探究知识能力的培养。
重点难点：1、运用综合知识解题；
2、自主探究知识能力的培养。
探究准备：作图工具、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
正比例函数与反比例函数在解析式、图象、自变量取值范围、图象位置、性质上的区别。
二、新知探究：
题例：
1、如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点，且。
⑴该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如果能确定，请写出它们的解析式；如果不能确定，请说明理由。
⑵如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交点D点，过D作DE⊥轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
x
y
O
A
B
C
D
E
⑶请判定△AOD为何特殊△，并证明你的结论。
分析：
⑴能。
设，则
∴
∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为。
⑵能。
∵点D也在双曲线上，且DE⊥轴。
∴ 而
∴
⑶△AOD为钝角等腰三角形。由题意，有
解得 或
∴，
∴在Rt△AOB与Rt△DOE中，
又由图象可知∠AOD＞90°
∴△AOD是钝角等腰三角形。
2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴、轴交于C、D，已知，,点B的坐标为。
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求△AOB的面积。
分析：
⑴过A作AE⊥轴于E
∵，，则可设，
∴在Rt△AOE中，
∴， 即， ∴
又∵A点在反比例函数的图象上
∴即 ∴反比例函数的解析式为
又∵在双曲线上
∴ ∴
∴把，代入中，有
解得
∴一次函数的解析式为
⑵ ∵一次函数与轴交于D
∴ ∴
x
y
O
A
B
D
三、练习：
如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。
⑴求A、B两点坐标；
⑵求△AOB的面积。
四、小结：
1、直角坐标系中图形的面积一般以坐标轴为底边分成△来求；
2、点不在第一象限内，线段长度应加绝对值符号。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P11 1，2；
2、课外：同上。

第九课时
探究内容：1.3实际生活中的反比例函数（1）
目标设计：1、能够依据实际问题建立通过反比例函数模型；
2、能够依据实际问题确定自变量的取值范围；
3、体会数学与生活的联系，培养自主探究知识的能力与习惯。
重点难点：1、依据实际问题建立反比例函数模型；
2、在实际问题中确定自变量的取值范围。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
反比例函数（是常数，）的图象与性质：
①时……
②时……
二、新知探究：
实际生活中的反比例函数：
问题1：使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？
∵（为常数，）
∴
压强大到一定程度时，气球便会爆炸。
问题2：小明的妈妈做布鞋，钠鞋底时为什么要用大头针而不用小铁棍？
∵
∴
即当F一定时，S越小，P越大。
题例：
某单位为响应政府发出的“全民健康”的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD。该健身房的四面墙中有两面沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为20元／平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元／平方米。设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB长为米，修建健身房的总投入为元。
A
C
B
D
20m
11m
⑴求与的函数关系式；
⑵为了合理利用大厅，要求自变量必须满足条件，当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁总长度为多少米？
分析：
⑴∵矩形ABCD的面积为60平方米，米
∴另一面旧墙米
∴旧墙壁总长为米，等于新墙壁总长。
∴修建健身房的费用即
⑵由题意，有
解得，
经检验，，都是方程的根，但
∴
即利用旧墙壁的总长为（米）
三、练习：
某件商品的成本价为15元，据市场调查知，每天的销售量（件）与销售价格（元）有下列关系：
销售价格x
20
25
30
50
销售量y
15
12
10
6
仔细观察，你能发现什么规律？你能写出与的关系式吗？它们之间是什么函数关系？画出它的图象。
四、小结：
根据实际问题，找准函数关系，再确自变量范围。
五、作业：
1、课堂：
某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为80元，在销售中发现，该衬衣的月销售量（件）是销售价（元）的反比例函数，且当售价定为100元／件时，每月可销出30件。
⑴求与之间的函数关系式；
⑵若商场计划月赚利润2000元，则其单价应定为多少元？
2、课外：《基础训练》P10 1，2。


第十课时
探究内容：1.3实际生活中的反比例函数（2）
目标设计：1、分析实例，了解反比例函数在实际生活中的应用；
2、能够运用所学知识分析解决生活实例。
重点难点：培养学生分析问题、解决问题的能力。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数，也不是反比例函数。
1、小红1分钟可以制作2朵花，分钟可以制作朵花；
2、体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm3;
3、用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为cm，面积为cm2；
4、小李接到对长为100m的管道进行检修的任务，设每天能完成10m，天后剩下的未检修的管道长为m。
二、新知探究：
题例：
1、请你编写一道反比例函数在实际生活中的应用题，并运用反比例函数的性质进行解答。
分析：
强调须用“反比例函数的性质进行解答”。如：
小明家离学校S千米，上学时，小明每小时走V1千米，他弟弟每小时走V2千米。
⑴小明和弟弟上学所用的时间t（小时）与他们各自的速度V（千米／时）是反比例函数吗？如果是，请写出他们各自的解析式；如果不是，请说明理由；
⑵如果，那么他们俩谁花的时间少？试说明理由。
解：⑴均是反比例函数，解析式分别为

6
8
O
y
x
⑵如果，那么小明花的时间少。因为在反比例函数中，，且，所以随的增大而减小。
2、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例。观测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克。请根据题中提供的信息，解答下列问题：
⑴药物燃烧时，关于的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ，药物燃烧后，关于的函数关系式为 ，此时自变量的取值范围是 。
⑵研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克
时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过
分钟后，学生才能回到教室；
⑶研究表明，当空气中的每立方米含药量不低于3毫克
且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，
那么此次消毒是否有效？为什么？
分析：
⑴由图中（8，6）既在正比例函数图象上，也在反比例函数图象上，很容易求出它们的解析式；，；，；
⑵将代入反比例函数解析式中求出至少需要的时间；（时，即（分钟））；
O
x
y
P（4,32）
4
32
⑶将分别代入两函数解析式中，求出相应的两个值，再求其差并与10比较，若达到或超过10，则本次消毒有效；否则无效。（把代入中，得；把代入中，得。∵16－4＝12＞10，∴本次消毒有效）
三、练习：
你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中，就渗透
着数学知识。一定体积的面团做成拉面，面条的总长度
是面条粗细（横截面积）的反比例函数，
其图象如图：
⑴写出与的函数关系式；
⑵当面条粗时，求面条的总长度是多少？
四、小结：
1、读懂题意，看清图象；
2、特别注意自变量的取值范围。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P11 3；
2、课外：继续完成《基础训练》。

第十一课时
探讨内容：第1章 反比例函数（复习课）
目标设计：巩固本章知识点，牢记反比例函数的图象与性质，并能利用性质解决实际问题。
重点难点：1、理解反比例函数的图象与性质；
2、利用反比例函数的性质解决实际问题。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、基本知识：
1、反比例函数的定义：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成（是常数，）的形式，那么称是的反比例函数。
⑴反比例函数解析式的几种表示法：
① ② ③
⑵自变量的取值范围：的一切实数。
2、反比例函数的图象和性质：
⑴图象：是双曲线，分两支是断开的，关于原点成中心对称，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永不与坐标轴相交。
⑵性质：
在反比例函数（）中
①当时，函数图象分两支在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；
②当时，（与上类似）
⑶由反比例函数图象上任一点向两坐标轴作垂线，所以矩形面积等于。
3、反比例函数在生活中的应用：
读懂题意，特别注意自变量的取值范围。
二、典型题例：
1、已知，若是的反比例函数，求的值。
分析：由题意，得
解得
∴
即当时，是反比例函数。
2、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为。
⑴分别求出这两个函数解析式；
⑵求出B点坐标。
x
y
O
A
B
分析：
⑴∵点A在俩函数图象上
∴，
∴，
∴正比例函数的解析式是，
∴反比例函数的解析式是。
⑵方法1： 方法2：
由题意，有 ∵反比例函数的图象关于原点成中心对称
解得或 ∴B点和A点关于原点中心对称
∴A，B ∴B
3、在反比例函数的图象上有一点，它的横坐标与纵坐标是方程的两根。
⑴求的值； ⑵求点到原点的距离。
分析：
⑴∵在函数的图象上 ⑵由题意，有
∴即 ，
又∵、是方程的两根 ∴
∴ ∴
∴
即点到原点的距离为。
三、小结：
牢记反比例函数的图象与性质，注意区别一次函数与反比例函数、读懂题意，仔细作答。
四、作业：
1、课堂：
⑴点是双曲线上一点，且、是一元二次方程的两根，求双曲线的解析式。
⑵已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，求一次函数和反比例函数的解析式。
2、课外：
完成《基础训练》。

第十二课时

探讨内容：第1章 单元测试卷评析
目标设计：通过评析单元自测卷，引导学生查漏补缺，分析问题，解决问题，优化学习方法，巩固本章知识。
重点难点：引导学生分析错误产生的原因，找准补救措施。
探讨准备：投影片等。
探究过程：
一、试卷分析：
二、讲评试卷：
1、若反比例函数的图象在第四象限，则有（ ）
A、、 B、 C、 D、
分析：
∵双曲线在第四象限
∴ 即
2、已知，点在反比例函数的图象上，则直线不经过第几象限？
分析：
∵点在双曲线上 ∴
又∵ ∴ ∴直线不经过第三象限。
3、已知反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象平移后经过反比例函数图象上的点，求平移后的一次函数图象与轴的交点坐标。
分析：
∵反比例函数的图象经过点
∴即 ∴反比例函数的解析式为。
又∵在双曲线上
∴ 即B点的坐标为
方法一：
设平移后的一次函数解析式为，且过点
∴即
∴平移后的一次函数解析式为
∴函数与轴的交点坐标为
方法二：
∵一次函数与轴的交点为，而B
∴此函数向右平移了两个单位
又∵一次函数与轴交点为
∴平移后的一次函数图象与轴的交点坐标为
4、已知反比例函数与一次函数的图象都经过点，且在时，这两个函数值相等，求出这两个函数的解析式。
分析：
∵反比例函数的图象过点
∴即 ∴反比例函数的解析式为
又∵点也在一次函数的图象上
∴ ①
又∵在时，两函数值相等
∴ ②
∴①②联立方程组为
解得
∴一次函数的解析式为
5、已知与成反比例，当时，。
⑴求与的函数关系式；⑵求当时，函数的值；⑶求时的值。
分析：
⑴设此函数的解析式为，依题意，有即
∴与的函数关系式为
⑵当时，有
⑶当时，有即
三、小结：
1、根据反比例函数的图象，牢记其性质；
2、仔细审题，弄清反比例函数与一次函数、平面几何之间的关系。
四、作业：
1、课堂：测试卷第26题。
2、课外：错题订正在课外作业本上。

一元二次方程
第一课时
探究内容：1.1 建立一元二次方程模型
目标设计：1、通过实例引导学生建立一元二次方程模型；
2、掌握一元二次方程的一般形式，能够区分一元二次方程与一元一次方程、
分式方程；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、一元二次方程的一般形式以及与其它方程的区别；
2、一元二次方程建模。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、课前谈话：
2、解方程：

二、新知探究：
自读课本P2～P3，可以讨论。提示：
1、已知匀加速运动求路程的公式：
t → 时间 v0 → 初速度 a → 加速度
2、问题二的等量关系为：
小明骑车行驶的路程＝小亮骑车行驶的路程 即：

由以上两问题可得如下两方程：
① ②
分析：
以上两方程分别只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2，因此可得如下结论：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程。它的一般形式是：
（a、b、c是已知数，a≠0）
a → 二次项系数 b → 一次项系数 c → 常数项
注意：一元二次方程有以下几种情况：
① → 常数项为0
② → 一次项为0
③ → 需要移项
④ 只有二次项
三、练习：
1、把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项。
① ②
③ （P为常数） ④
2、若是关于的一元二次方程，
则 －1 。
3、P4 练习题
四、小结：
1、一元二次方程的概念以及其一般形式：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程。它的一般形式是：（a、b、c是已知数，a≠0）。
2、一元二次方程常见的几种情况：
3、一元二次方程建模：
五、作业：
1、课堂：
P4习题1.1A组2、3；
2、课外：
B组.

第二课时
探究内容：1.2.1 因式分解法，直接开平方法（1）
目标设计：1、初步掌握运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程；
2、引导学生从具体实例中总结以上两种解法的一般步骤；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、两种解法的引导及其步骤；
2、正确运用两种解法解一元二次方程。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、农田里的一条灌溉渠，它的横截面是面积为0.78m2的等腰梯形，它的上底比渠深多1.2m，下底比渠深多0.2m，求渠深的一元二次方程为？
分析：
设渠深为xm，则上底为m，下底为m，于是有

即
2、什么样的等式是一元二次方程？它的一般形式怎样？试举例一个一元二次方程，并说出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
二、新知探究：
思考：如何解方程
分析：
原方程可变形为
将此方程左边分解因式
即
则 或
解以上两个一元一次方程，得 ，
说明：此方程为上一节中的问题一的方程。在此实际问题中，不符合题意，应当舍去；符合题意，即人行道的宽度为2.5m。
结论：像以上这种利用因式分解解一元二次方程的方法就是因式分解法。

思考：方程还有其他的解法吗？
解法二：方程移项变为：
方程两边同时开平方，得
解得 ，
讲授：这种在方程两边直接开平方解一元二次方程的方法叫作直接开平方法。

例题精讲：
例1：解方程：
解法一：因式分解法： 解法二：直接开平方法：

∴
∴ 或 即 ，
解得 ，

例2：解方程：
解法一：因式分解法： 解法二：直接开平方法：


∴ 或 ∴
解得 ，
即 ，
说明：在解方程时，只要写出一种解法即可。
三、小结：
1、两种解一元二次方程的方法：
利用因式分解解一元二次方程的方法就是因式分解法。
在方程两边直接开平方解一元二次方程的方法叫作直接开平方法。
2、两种解法的步骤：
因式分解法：
①将方程化为一般形式；
②将方程一边因式分解，化成几个一次代数式相乘的形式；
③将一次代数式写成一次方程，并解方程；
④写出原二次方程的所有解。
直接开平方法：（学生自由归纳）
四、作业：
1、课堂：
P19习题1.2A组1；
2、课外：
P8练习题.

第三课时
探究内容：1.2.1 因式分解法，直接开平方法（2）
目标设计：1、熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程的方法；
2、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：利用因式分解法解一元二次方程的步骤。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
用两种方法解下列方程：

二、新知探究：
思考：如何解1.1节问题二中的方程：
分析：
把方程左边因式分解，得
由此得出 或
解得 ，
联系题意，表明小明与小亮第一次相遇；表明经过200S小明与小亮再次相遇。
例题分析：
指名学生先做，后强调：不能在方程两边同时除以x，因为此方程中有一个根为0，除以0无意义，且会使原方程丢根。
例3：解下列方程：
（1） （2）
解 （1）把方程左边因式分解，得 （2）

由此得 或
解得 ，
讲授：此方程不能用直接开平方法解。
例4：解下列方程：
（1） （2）
解 （1）原方程可以写成 （2）

把方程左边因式分解，得

由此得 或
解得 ，
三、小结：
因式分解法的步骤：
1、通过移项使方程右边为0；
2、把方程左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，并求解；
3、写出原方程的根。
四、作业：
1、课堂：
P18习题1.2A组2；
2、课外：
①P10练习题1、2.
②晚自习练习题：
㈠ 直接开平方法解下列方程：

㈡ 因式分解法解下列方程：


㈢ 因式分解法解下列关于的一元二次方程：

㈣当取何值时，代数式与的值相等？
㈤已知，求的值。
㈥已知是关于的一元二次方程的根，求的值？

第四课时
探究内容：1.2.2 配方法（1）
目标设计：1、初步掌握利用配方法解一元二次方程的方法；
2、掌握配方方法，能熟练地把一个二次多项式配成完全平方式；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：把一个二次多项式配成完全平方式。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、用两种方法解方程：
2、完全平方公式：
二、新知探究：
1、学生完成P10“做一做”；
2、自读课本P10～P11，理解：什么是配方及配方法？
归纳：
①配方：在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。
②配方法：利用配方解一元二次方程的方法。

例题分析：
例5：把下列二次多项式配方：
（1） （2）
解 （1） （2）
＝ ＝
＝　　 ＝
例6：解下列方程：
（1） （2）
解（1）把原方程的左边配方，得 （2）把原方程的左边配方，得

即 即
把方程左边分解因式，得 ∴

由此得出 或 ∴ ，
解得 ，
强调：原方程配方后，要根据新方程的特点，选用合适的方法求解。
三、练习：
P12练习题1、2
四、小结：
配方，目的就是配成完全平方式。
五、作业：
1、课堂：
P19习题1.2A组3（1）（2），B组1（4）（5）；
2、课外：
《课程基础训练》.

第五课时
探究内容：1.2.2 配方法（2）
目标设计：1、掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方方法；
2、能总结出一元二次方程的一般算法，并能按算法对一元二次方程分析求解；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、掌握配方法，能根据算法对一元二次方程分析求解；
2、二次项系数不为1的一元二次方程的配方方法。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？（配方）
2、解方程：
二、新知探究：
例题分析：
例7：解方程：
解：把原方程的左边配方，得

即
也就是
把方程左边分解因式，得

由此得出或
解得 ，
思考：1、以上方程配方后是利用什么方法解的？还可以怎样求解？
2、如何解下述方程：
观察：此方程与以前所讲的方程有何不同？〈二次项系数不为1 〉
分析：（例8）
原方程两边同时除以2，得

〈 以下步骤由学生完成〉
例9：解方程：

解：原方程两边同除以3，得

把方程的左边配方，得

即
亦即
把方程的左边分解因式，得

由此得或
解得 ，
三、小结：
解一元二次方程的一般算法如下：（见教材P15）
四、作业：
1、课堂：
P19习题1.2A组3（3）（4），B组1（1）（3）；
2、课外：
⑴P15练习题.
⑵练习题：
①用配方法证明：的值恒小于0。
②当为何值时，有最小值，并求出这个最小值。
③若二次三项式是一个完全平方式，则 ±8 。

第六课时

探究内容：1.2.3 公式法
目标设计：1、引导学生推导一元二次方程的求根公式，能根据求根公式解一元二次方程；
2、通过一元二次方程根的判别式的讨论，能判断二次方程根的情况；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、求根公式的推导过程；
2、二次方程的根的判断。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、用自己的话说说如何解一元二次方程？
2、解方程：

二、新知探究： 　
解一元二次方程：

由于a≠0，因此可以在方程两边同除以a，得

把方程的左边配方，得

即
当≥0时，方程可以写成

把方程左边分解因式，得

∴ 或
解得 ，
于是我们得到了一元二次方程当≥0时求解x的公式：（≥0） → 二次方程的求根公式
公式法：运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种方法叫公式法。

例题精讲：
例10：解下列方程：
（1） （2） （3）
解 （1）a＝1，b＝－1，c＝－2

因此
从而 ，
（2）a＝4，b＝12，c＝5

因此
从而 ，
（3）移项，得
a＝1，b＝－2，c＝－1

因此
从而 ，

例题11：解方程：（提示学生利用公式法解）
归纳：从上例看到，当＝0时，一元二次方程有两个相等的实数解（或说有两个相等的实数根）。
思考：1、用因式分解法解例11中的方程；
2、当＜0时，一元二次方程有实数解吗？
分析：
1、解：原方程可写成：


因此
从而
2、当＜0时，方程可以写成
＜0有矛盾。（一个数的平方小于0，不成立）
因此，当＜0时，二次方程无实数根。
三、小结：
1、求根公式的推导过程：
2、利用求根公式解二次方程：
3、利用根的判别式判断二次方程的根的情况。
四、作业：
1、课堂：
P19习题1.2A组4，B组3；
2、课外：
同上，A组5、6；B组1、2、4.

第七课时
探究内容：一元二次方程根与系数的关系（补充内容）
目标设计：1、引导学生推导一元二次方程中两根之和与系数的关系、两根之积与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和；
2、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、根与系数关系的应用；
2、根据一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、尝试质疑：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
⑴ ⑵ ⑶
方程



















二、新知探究： 　
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ，用求根公式求出它的两个根x1、x2，
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式知：
，
能得出以下结果：
； 。
推导：=+
=
=
=×
=
=
=
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在的关系为：
，
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

则以、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

例1：已知方程的一个根为2，求它的另一个根及的值。
解：设方程的另一个根是，那么 （为什么？）
还有没有别的做法？
∴
又∵ （为什么？）
∴

例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程的两个根的
⑴平方和；⑵倒数和.
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=
⑴∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22
∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =
⑵
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是，.
解：所求的方程是
(为什么？)
即 x2+ x- ＝0 或 6x2+ x- ＝0
例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根
解这个方程，得x1= ， x2=
因此，这两个数是 ，
三、小结：
1、一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ，用求根公式求出它的两个根x1、x2，均能得到以下两个结论：，；
2、如果一个一元二次方程的两根为、，那么这个一元二次方程为。
四、作业：
1、课堂：
⑴下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①y2-3y+1=0 ②3x2-2x=2 ③2x2+3x=0
④3x2+5x-2=0 ⑤2y2-5=6y ⑥4p(p-1)-3=0
⑵已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
⑶设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
①（x1+1）（x2+1） ②
⑷求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7.
2、课外：
⑴已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
⑵如果方程2x2＋kx-5＝0 的实数根互为相反数，那么k= 。
⑶已知是方程的实数根，求的值。

第八课时
探讨内容：1.2 解一元二次方程的算法（复习课）
目标设计：1、巩固用因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；
2、能熟练运用判断一元二次方程根的情况；
3、通过典型题例的分析讲解，引导学生掌握解题方法。
重点难点：1、运用配方法、公式法解一元二次方程；
2、解题方法与思路的引导。
探讨准备：投影片等。
课时安排：二课时。
探讨过程：
一、基本知识：
1、解一元二次方程的基本思路怎样？
2、怎样给一元二次方程配方？
3、怎样判断一元二次方程的解的情况？
二、题例分析：
1、用因式分解法解方程：
分析： 移项，得
把方程左边分解因式，得
因此 或
从而 ，
2、用直接开平方法解方程：
分析： 原方程可化为：
∴ 即
∴ ，
3、用配方法解方程：
分析：移项，得
把二次项系数化为1，得
配方，得
即
（以下可用两种方法解）
4、用公式法解方程：
分析：移项，得
a＝2，b＝7，c＝－4
＞0
因此，原方程的解为两个不相等的实数根。
∴
∴ ，
5、解方程：
分析：
（1）当x≥0时，原方程可化为
∴
∴ ，（不符合题意，舍去）
（2）当x＜0时，原方程可化为
∴
∴ ，（不符合题意，舍去）
综上，原方程的解为，
注意：要根据题目的要求选用合适的方法解方程。

作业：
1、课堂：
抄题；
2、课外：
①
②完成《课程基础训练》.

第九课时

（接上节）：
6、若关于x的一元二次方程有一个根为0，求k的值。
分析：依题意，有 解得
注意：在此题中，二次项系数不能为0；有一个根为0，可代入得含k的二次方程，联立方程组解得即可。
7、若，求的值。
分析：本题采用换元法，令，则
化成一般形式，得
把方程左边分解因式，得
∴ ，
即或（无意义，舍去）
8、已知△ABC的三边为a、b、c，且满足，试判断△ABC的形状。
分析：由，得



∴ 或
由 解得，（舍去）
由，即为，得此三角形为Rt△
综上，△ABC为等腰直角三角形。
9、当≥0时，用配方法解方程：。
分析：，
即
∵ ≥0
∴
即
∴ ，
10、在方程中有两个根，有一个根为0，另一个根为负数，则m、n必须满足什么条件？
分析：依题意，把代入原方程，得
∴ 原方程可化为
∴ ，即 或
∴ ，
又∵ ，＜0
∴ ＜0，即 ＞0
11、试说明关于x的方程一定有实数根。
分析：依题意： ，，
∴ ≥0
∴ 原方程一定有实数根。

12、证明：无论m取任何实数，方程都是一元二次方程。
分析：∵ ＞0
∴ 无论m取何实数，原方程都是关于x的一元二次方程。
三、小结：
全面考虑，仔细作答。
四、作业：
1、课堂：抄题；
2、课外：完成《课程基础训练》.

第十课时
探讨内容：1.2 解一元二次方程的算法（综合练习）
目标设计：1、熟练掌握一元二次方程的解法；
2、能根据二次方程的特点选用合适的方法解方程；
3、培养学生独立解决问题的能力。
重点难点：1、根据方程的特点选用合适的方法；
2、能正确运用配方法、公式法解方程。
探讨准备：投影片，练习题等。
探讨过程：
一、练习题：
1、解方程：
⑴ ⑵
⑵ ⑷
⑸ ⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑽
⑾ ⑿
2、已知△ABC的∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、，且关于的方程： 有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明你的理由。
3、当取何值时，方程是关于的一元二次方程；当为何值时，方程是关于的一元一次方程，并分别求其根。
4、已知关于的方程
⑴求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
⑵若等腰△边长，另两边长、恰好是此方程的两根，求△ABC的周长。
二、小结：
仔细作题，全面思考，认真检查。
三、作业：
课堂：以上第4题。

第十一课时
探究内容：1.3 一元二次方程的应用（1）
目标设计：1、能应用一元二次方程解决简单的文字叙述的问题；
2、能利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、怎样思考解一元二次方程？
2、根的判别式判断二次方程的解的几种情况：
①＞0 → 有两个不相等的实数根
② → 有两个相等的实数根
③＜0 → 无实数根
3、解方程：（须先判断根的情况）
① ②
（完整讲解一个，另一个由学生完成）
二、新知探究：
例题分析：
例1：当x取什么值时，一元二次多项式与一元一次多项式的值相等？
解析：

，，

∴
∴当x取或时，一元二次多项式与一元一次多项式的值相等。
例2：当y取什么值时，一元二次多项式的值等于40？
解析：依题意，有
即
，，

∴
∴当y或y时，一元二次多项式的值等于40。
例3：当t取什么值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？
解析：依题意，原方程可写成
， ，

令
即
解得 ，
∴当或时，原方程有两个相等的实数根。
三、练习：
P22 练习题1，2
四、小结：
用根的判别式判断一元二次方程的根：
1、只有在一元二次方程中才存在；
2、判别式是指△=，而不是；
3、在用判别式之前，应先把方程化成一般形式。
五、作业：
1、课堂：
P27习题1.3A组1，2；
2、课外：
同上，A组3，4；B组1.

第十二课时
探究内容：1.3 一元二次方程的应用（2）
目标设计：1、能根据实际问题进行细致分析，列出题中的等量关系，并据此列出一元二次方程；
2、继续巩固二次方程的解法，并能根据实际问题对根的合理性进行判断；
3、初步了解有关实际问题的解决步骤，注重学生自主探究知识能力的培养。
重点难点：1、能根据实际问题找出等量关系；
2、能根据实际问题对解的合理性进行判断。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、旧知导入：
1、菱形的面积有几种算法？分别怎样？
A
B
C
D
2、如图，在菱形ABCD中，已知S菱形=24cm2 ，AC=6cm，求菱形的边长AB。



二、新知探究：
例题分析：
例4：一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图所示，菱形水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的。
⑴求菱形的两条对角线的长度；
⑵求组成菱形的每一根铁条的长度。
分析：本题的等量关系是：
菱形的面积=两对角线乘积的一半，而对角线长可分别用代数式表示。要求边长可依据勾股定理完成。
解：⑴设菱形竖直方向的对角线长为 ，则水平方向的对角线长，依题意，得

化简，得
， ，
＞0
∴
∴，﹙不合题意，舍去﹚
∴
⑵由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因此其边长为：

答：⑴菱形的两条对角线的长度分别是60cm，80cm；
⑵组成菱形的每一根铁条的长度（即边长）为50cm。
例5：如图，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364。求截去的小正方形的边长。
分析：本题的等量关系是：长方形的底面积364=长×宽
解：设截去的小正方形的边长为，则无盖长方体盒子的底面边长分别为，，依题意有：
，
即 （解答过程由学生完成）
解得 ，
如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，超过了矩形铁皮的长40cm，因此不合题意，应当舍去。
答：截去的小正方形的边长为7cm。
三、小结：
1、仔细分析题意，找出等量关系，列出方程；
2、用自己熟练的方法解方程；
3、验根，注意取舍，再作答。
四、作业：
1、课堂：
P27习题1.3 A组3，4；
2、课外：
P25练习题1，2.

第十三课时
探究内容：1.3 一元二次方程的应用（3）
目标设计：1、能对数学问题进行分析、判断，寻找正确的解决方法；
2、通过自主探究、合作交流，经历和体验数学发现的过程。
重点难点：通过自主探究、合作交流，能对实际问题进行正确分析、判断，探寻正确的解决方法。
探究准备：计算器、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
20米
32米
在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作耕地，要使耕地面积为540平方米，道路的宽应为多少米？






二、新知探究：
探究：小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围城一个矩形猪圈，图见书P25，现已备足可以砌10m长的材料。讨论：不同的砌法，猪圈的面积发生什么样的变化？
分析：（分析、填表及讨论的问题见书P25～26）
讨论方程有没有实数解，从而说出猪圈面积不可能大于12.5m2的理由。
理由：在中，
＜0
∴ 该方程在实数范围内无解，即面积不能大于12.5m2。
三、练习：
小明打算用总长为22cm的铁丝折出一个面积为32cm2的矩形，请你帮他分析一下能否做到？
分析：（先学生讨论、分析，后引导）
假设能折出面积为32cm2的矩形，不妨设该矩形的一边长为，则邻边长为，于是得方程

若该方程有解，就能折出矩形，否则不能。
解：设矩形的一边长为x，则它的邻边长为，依题意，有

即
∵ 方程中＜0
∴ 该方程无解，即不能折出面积为32cm2的矩形。
四、小结：
一般来说，解决经营问题中“能或不能”、 “有或没有”的题型时，先假设其“能”或“有”，然后再推导是否有矛盾。
五、作业：
1、课堂：
①在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，那么金色纸边的宽应当是多少？
②某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
2、课外：
P27练习题1，2.

第十四课时
探究内容：1.3 一元二次方程的应用（4）
目标设计：1、通过题例分析，学生应掌握关于平均增长率方面实际问题的解决方法；
2、能够读懂题意，找出题中的等量关系，列出一元二次方程，并对根的合理性进行正确判断；
3、培养学生自主探究知识的精神和独立解决问题的能力。
重点难点：理解题意。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
两类实际问题的题例：
1、面积问题： 依面积公式
2、经营问题： 依题意
二、新知探究：
题例分析：
1、某城市现有人口100万，2年后为102.4万，求该城市的人口的平均年增长率。（P27习题1.3A组4）
分析：理解“2年后”、“年增长率”
设年平均增长率为x，依题意有
今年+
增长的人数
明年+
增长的人数
后年







即
亦即
解得，（不合题意，舍去）
即此城市人口的平均年增长率为1.19％。
2、小明的父亲在2002年1月9日把1000元人民币按照整存整取的方式存入银行，存期一年，到期后自动转存。2004年1月9日取出，连本带息（指税后利息）共1031.93元，利息税为利息的20％，求这种储蓄的年利率（精确到0.01％）。（同上，B组2）
分析：理解“整存整取”、“ 连本带息”、“ 税后利息”等。
1000 ＋ 税后利息 ＋ 第二年税后利息 ＝ 1031.93
本金
04年的本息和
03年的本金




设这种储蓄的年利率为x，依题意，有

即
解得，（不合题意，舍去）
即这种储蓄的年利率为1.98％。
三、小结：
1、此类问题的应用题一般是经过两年、两月或是2倍等，其方程一般是
原数（1＋x）2＝现数
2、要认真审题，仔细分析题意。
四、作业：
1、课堂：
①党的十六大提出了全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001～2020）年要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都相同，那么该增长率是多少？（％号前精确到0.01）
②P30复习题一B组3.
2、课外：
《课程基础训练》.

第十五课时
探究内容：1.3 一元二次方程的应用（5）
目标设计：1、继续学习运用一元二次方程模型解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；
2、引导学生进一步体会用方程的思想方法解应用问题的优越性；
3、继续培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：理解题意。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
二、新知探究：
例1：在某次会议上，参加会议的人员每两人握一次手，共握手45次，问有多少人参加会议？
分析：若设有x人参加会议，则这x人分别与另外的（x－1）人握一次手，因为每两个人之间只握一次手，所以x人共握手的次数为，于是有
即
解得，（舍去）
即此次会议共有10人参加。
例2：教材P27练习题2：（题略）
分析：⑴依题意，有
整理，得
解得
即销售价格P定为170元／每件时，可以使总利润达到22400元。
⑵依题意，有
整理，得
∵ ＜0
∴ 原方程无解.
即不能使总利润达到22500元。
三、小结:
四、作业:
1、课堂:P28习题1.3 B组3；
2、课外：《课程基础训练》.

第十六课时

复习内容：第1章 一元二次方程（复习）⑴
目标设计：1、巩固一元二次方程及其解的概念，掌握用因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法解简单的一元二次方程；
2、掌握建立一元二次方程模型解决简单的实际问题，并会据实际意义验根；
3、掌握一些典型题例的解题方法。
重点难点：1、识记知识点，掌握基本方法；
2、会建立二次方程模型，会验根。
复习准备：投影片等。
复习过程：
一、基本知识：
1、一元二次方程的概念：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多相式，那么这样的方程叫作一元二次方程。它的一般形式是（a，b，c是已知数，a≠0）
2、解一元二次方程的算法：
⑴因式分解法：
⑵直接开平法：
⑶配方法：
把形如（a≠0）的一元二次方程通过配方的手段变形为（n≥0）的形式，然后使用直接开平法来解一元二次方程，这种解法叫作配方法。
⑷公式法：
一元二次方程（a≠0）的求根公式是：
（b2-4ac≥0）
步骤：a、把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
b、求出b2-4ac的值；
c、若b2-4ac≥0，求出x1 ，x2 ；若b2-4ac＜0，则方程无解。
3、一元二次方程根与系数的关系：
方程（a≠0），当b2-4ac≥0时，有：，.
4、列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。
二、题型举例：
1、解方程：


解：令，则，原方程可化为：

∴
解得，
①当时，，即
解得，
②当时，，即
解得，
综上，原方程的解为，，，.
2、某电视机厂1996年生产一种彩色电视机，每台成本要3000元，由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至1998年这种彩色电视机的成本仅要1920元，问平均每年降低成本百分之几？
分析：设平均每年降低成本为x，依题意，有

解得＞1（舍去），
即平均每年降低成本为20%。
三、小结：
牢记知识点，细心解答。
四、作业：
1、课堂：P29复习题一A组1（5）（6），5；
2、课外：同上，B组4，C组.

第十七课时
复习内容：第1章 一元二次方程（复习）（2）
目标设计：通过本课时教学，引导学生掌握典型题例的解题方法，巩固一元二次方程的解法，能较迅速地对实际问题进行分析解答。
重点难点：解题方法与思路的引导。
复习准备：投影片等。
复习过程：
一、复习：
解方程：
①
②
（配方法） （公式法）
二、题例：
1、已知是方程的根，试化简。
分析：依题意，把代入方程，得

∴
∴
2、当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程？
分析：要使此方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次项必须是2次，且二次项系数不为0，即
且≠0
解得
即当时，原方程是关于x的一元二次方程。
3、已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值。
分析：依题意，关于x的方程有两个相等的实数根
∴
即
　∴
当时，≠0，符合题意
∴的值是1.
4、教材P30复习题一 B组4；（题略）
分析：
⑴设每人收费标准定为x元，则参加的人数为人，每人所获利润为元，依题意，有
=64000
即
解得
大于3200，小于4600，符合题意。
⑵设利润为y元，则
≤64000
因此该旅行社得到的利润不能大于64000元。
三、小结：
1、根据方程特点，选择合适的方法解方程；
2、关于实际问题的应用题，应仔细分析题意，找准等量关系，列出方程，并不忘检验根的合理性。
四、作业：
1、课堂：P30复习题一 B组1，2；
2、课外：同上A组3、4、6，B组4.

第十八课时

探讨内容：第1章 单元测试卷评析
目标设计：通过讲评测试卷，引导学生分析错误产生的原因，纠正错误，巩固知识点，熟练掌握典型题例的解题方法。
重点难点：分析错误产生的原因，即思维误区，纠正错误。
探讨准备：测试卷等。
探讨过程：
一、试卷分析：
二、试卷讲评：
1、若关于x的方程只有一个实数根，则方程的这个实数根应该是多少？
分析：因为此方程只有一个实数根，所以此方程必为一次方程，即有二次项系数，二次项为0。
由题意得，有
解得
∴原方程可化为
解得
2、关于x的方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数，则？
分析：依题意，设两根为、，则
即
∴
∵当时，原方程可化为无解
∴应舍去
∴
3、若分式的值为0，则？
分析：依题意，有
解得，
∵≠0即当时=0
　　　∴舍去
∴
4、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商 品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%， 商店计划要赚400元，需卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？
分析：依题意，有

即
解得，
∵当时，%＞20%
∴应舍去
∴时，（件）
因此该商店需要卖出100件商品才能赚400元，每件商品应售25元。
5、关于x的方程
（1）若方程只有一个实数根，求a值及方程的根；
（2）若方程有两个实数根，求a的最大整数值，并求此时方程的根。
分析：
（2）
依题意，有

∴≤3且，
∴ a的最大整数值为2
由上，原方程可化为
解得，
6、设关于x的方程的一个根是关于x的方程的一个根的相反数，求m.
分析：依题意，设的一个根为A，则方程的一个根为－A，于是有：

⑵－⑴，得
三、小结：
1、仔细分析题意，认真作答；
2、与实际问题有关时应不忘验根；
3、要注意区分“方程有一个实数根”和“有两个实数根”。
四、作业： 1、课堂：测试卷25，26；2、课外：测试卷：1～24均需要写出解答过程.

相 似
第一课时
探讨内容：3.1 相似的图形
目标设计：1、通过观察书上放大和缩小的照片，使学生了解图形相似的概念；
2、能够画出与三角形、四边形相似的图形；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、相似的概念；
2、画相似形。
探讨准备：作图工具、实物投影仪等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、什么是全等形？全等的几个图形有什么特点？
2、画两个全等的三角形，你打算怎样画？
二、新知探究：
观察P61图3－1、3－2、3－3
结论：把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似的。
说一说：
①P62图3－4中的图形是相似图形吗？
（不是相似图形，因为它们之间不是通过放大或缩小得到的，即它们的形状不同）
②《课程基础训练》P303；哪些图形分别与图形⑴、⑵或⑶分别相似？
（a、c与①，d与②，g与③）
思考：P62“动脑筋”
分析：由于相似的图形是把原来的图形放大（或缩小）得到的，因此可以把图中的矩形的长和宽都放大或缩小一定的倍数，画出的矩形与原矩形就是相似形。
2.5cm
5cm
1cm
2cm
图a
图b







三、小结：
1、相似形：（全等形是相似形的特例）
2、画相似形：（不是边长的加减）
四、作业：
1、课堂：P63习题3.1A组；
2、课外：同上，B组.
第二课时
探讨内容：3.2.1 线段的比，成比例线段
目标设计：1、引导学生了解线段的比和成比例线段的概念；
2、能通过计算，判断四条线段是否成比例；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、了解概念；
2、能判断一些线段是否成比例。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
如何判断两个图形是否是相似形？
二、新知探究：
动手操作：
在P64图3-7⑴中任取两个点P、Q，在⑵中找出对应的两个点P′，Q′，量出线段PQ，P′Q′的长度，计算它们长度的比例。
结论：一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段PQ，P′Q′的长度分别为m，n，那么把长度的比叫作这两条线段P′Q′与P、Q的比。
后项
前项
记作：或P′Q′：P、Q＝n：m

如果的比值为K，那么也可以写成或P′Q′＝
尝试：在P64图3－7⑴⑵中找一些对应线段，量出长度，求出比。
结论：一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段。即：
如果，那么A′B′、AB、C′D′、CD为成比例线段。
三、小结：
1、在求线段的比时需先将两条线段的长度单位统一；
2、若四条线段a、b、c、d成比例，记作或a：b＝c：d，不能写成，即四条线段成比例时，要将这四条线段按顺序列出。
四、作业：
1、课堂：《课程基础训练》P31 4、5；
2、课外：P65练习题.

第三课时
探究内容：3.2.2 比例的基本性质，黄金分割.
目标设计：1、引导学生了解比例的基本性质，并会进行变形；
2、了解黄金分割，并能把一条线段黄金分割；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、掌握比例的基本性质，并会进行变形；
2、黄金分割线段。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、什么是线段的比？
2、什么是成比例线段？
二、新知探究：
如果四条线段a、b、c、d是成比例线段，那么有。
由此得到：
比例的基本性质：如果有，那么ad＝bc。
例题分析：
P67“例”：题略：
分析：
∵ ∴成立（两个数相等，它们的倒数也相等）
又∵
∴ 即
又∵ ∴
∴ 即
自主探究：P68“探究”：
问题：
1、黄金分割、黄金分割点、黄金分割比？
2、了解黄金分割的相关知识。
3、如何把一条线段黄金分割？
A
B
C
D
P
E
分析：3、黄金分割线段：
已知线段AB，求作一点C，使线段AB被点C黄金分割。
作法：
①以点B为顶点，作∠ABP＝90°；
②在射线BP上截取；
③连结AD，在DA上截取DE＝DB；
④在AB上截取AC＝AE，则点C为所求作的黄金分割点。
分析：1、由上图：C点为黄金分割点，则有 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比。
黄金分割的应用：
①“黄金三角形”：顶角为36°的等腰三角形，作底角B的平分线BD，则D就是AC边上的黄金分割点；
②“黄金矩形”：矩形的宽与长的比等于黄金数；
③举例日常生活当中的其它应用：常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形。
三、练习：
P69练习题1，2.
四、小结：
1、比例的基本性质及其等式的变形；
2、黄金分割的有关概念；
3、能把一条线段黄金分割。
五、作业：
1、课堂：P70习题3.2A组1、2；
2、课外：同上A组3；B组.

第三课时
探究内容：3.3 相似三角形的性质与判定（1）
目标设计：
1、了解相似三角形的定义；会正确运用相似符号表示两个相似三角形；并能正确找出相似三角形的对应角和对应边；
2、经历三角形相似的判定定理1的得出过程，并能利用判定定理1判定两个三角形相似；
3、进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辨证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心。
重点难点：
1、重点：相似三角形的定义及判定定理1的应用；
2、难点：找出相似三角形的对应边、对应角以及判定定理1的应用。
课前准备：多媒体课件辅助教学。
过程设计：
一、旧知回顾：
1、什么是相似图形？把一个图形放大或缩小所得的图形与原图形是相似图形。
2、相似形与全等形有什么区别和联系？

全等形
相似形
形状
相同
相同
大小
相等
不一定相等
联系：都是形状相同的两个或几个图形，全等形是相似形的特殊情况。
区别：全等形要求大小相等，而相似形的大小不一定相等。
二、新知探究：
三个角对应相等，且三条边对应相等的两个三角形叫作全等三角形。

全等三角形
相似三角形
对应角
相等
相等
对应边
相等
成比例
符号与读法
≌ 全等于
∽ 相似于
三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形。

50°
45°
85°
50°
45°
85°
2
3
2.5
4
5
6
A
B
C
D
E
F
观察：△ABC与△DEF有什么关系？为什么？






相似三角形的对应边的比值叫作相似比。

分析：∵ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F

∴ △ABC∽△DEF
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！

比较，识记：
相似三角形的定义：三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形。
20
30
22
33
48
x
A
B
C
E
D
相似三角形的性质：相似三角形的三个角对应相等，且三条边对应成比例。

新知尝试：
1、如图，△ABC∽△ADE，试确定x的值。

解: ∵ △ABC∽△ADE
∴
（相似三角形的对应边成比例）
即
∴
2、如果△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC与的相似比是( )
A、 B、 C、 D、
强调：相似比是有顺序的。

75°
65°
2.4
A
B
C
1.6
探究：从上面知道，如果两个三角形相似，那么它们的三条边对应成比例。反之：两个三角形的三条边对应成比例，这两个三角形相似吗？
动画演示，得结论：判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似。

例题分析：
例1：已知△A′B′C′∽△ABC，A′B′=3cm，AB=2.4cm，BC=1.6cm，∠B=65°，∠C=75°，求B′C′的长，以及∠B′和∠A′的度数。
3
B′
C′
A′

解： ∵ △A′B′C′∽△ABC
∴ 即
∴
∴ ∠B′＝∠B=65°，
∠C′＝∠C=75°
（相似三角形的对应角相等）
∴ ∠A＝180°―65°－75°＝40°
A
B
C
D
E

例2：如图，已知AD=3㎝，CD=1㎝，AE=2㎝，BE=4㎝，ED=2.5㎝，
BC=5㎝，∠A=50°，∠AED=70°，求∠C和∠B的度数。
解 在△ADE中，AD＞DE＞AE；
在△ABC中，AB＞BC＞AC.
∴
∴
∴ △ADE ∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似）
∴ ∠C＝∠AED＝70°，∠B＝∠ADE＝180°－50°－70°＝60°
三、课堂小结：
1、相似三角形的定义：
三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的三个角对应相等，且三条边对应成比例。
3、相似三角形的判定定理1：
三边对应成比例的两个三角形相似。
四、作业：
1、课堂作业：P73 1、2；
2、思考题：
▲
A
A′
D
C
B
2
B′
E
图1是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕点C转动，B端翘起。要使石头滚动，B端须向上翘起10cm，杠杆达到A′B′的位置（如图2）。图2是受力分析图，此时，我们不难发现△ACD∽△BCE，若AC与BC之比是5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆A端下压多少厘米？
▲
A
C
B
1








探究内容：3.3 相似三角形的性质与判定（2）
目标设计：1、引导学生探究推理，得出相似三角形的判定定理2，并学会运用该定理判定两个三角形相似；
2、理解相似三角形的面积比等于相似比的平方；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：判定定理2的理解与应用。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、相似三角形的性质定理：
对应角相等，对应边成比例
2、判定定理1：
三边对应成比例的两个三角形相似。
二、新知探究：
探究：如果两个三角形有两个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？
结论：
判定定理2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即，两角对应相等的两个三角形相似。

例题分析：
例3：已知：△ABC与△DEF中，∠A＝48°，∠B＝82°，∠D＝48°，∠F＝50°，求证：△ABC∽△DEF。
分析：
在△ABC中，
∠C＝180°－∠A－∠B＝180°―48°―82°＝50°
∴∠F＝∠C＝50°
又∵∠A＝∠D＝48°
∴△ABC∽△DEF（两角对应相等的两个三角形相似）
例4：（略，见书P75）
A
B
C
D
A＇
B＇
C＇
D＇
例5：如图，△与△ABC，相似比为k，分别作BC、上的高AD、。求证：。





分析：
证明：∵ △A′B′C′∽△ABC（已知）
∴ ∠B′＝∠B
又∵ ∠A′D′B′＝∠ADB＝90°
∴ △A′D′B′∽△ADB（两个角对应相等的两个三角形相似）
∴ （相似三角形的对应边成比例）
结论：相似三角形对应边上高线之比等于相似比。
讨论：若△A′B′C′∽△ABC，相似比为K，那么为什么？
分析：由上例可知：相似三角形中对应边上高的比等于相似比，所以：

结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、小结：
本课知识点：
⑴判定定理2；
⑵相似三角形面积比等于相似比的平方；
⑶判定定理1、2的综合应用；
⑷相似三角形的性质：
相似三角形对应边上高线之比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。
四、作业：
1、课堂练习：
P76练习题1、3、4；
2、课堂作业：
P79习题3.3 A组1、3.
3、课外作业：
P76练习题2；P79习题3.3 A组2，B组1.


探究内容：3.3 相似三角形的性质与判定（3）
目标设计：1、引导学生探究得出相似三角形的判定定理3，并能灵活运用该定理判定两个三角形相似；
2、能够运用所学相似三角形的性质定理与判定定理灵活解题；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、判定定理3的灵活运用；
2、性质定理与判定定理的综合运用。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、相似三角形的性质定理：
⑴相似三角形的对应角相等；
⑵相似三角形的对应边成比例；
⑶相似三角形的对应高的比等于相似比；
⑷相似三角形周长之比等于相似比；
⑸相似三角形面积之比等于相似比的平方。
2、相似三角形的判定定理：
⑴三边对应成比例的两个三角形相似；
⑵两角对应相等的两个三角形相似。
二、新知探究：
判定定理3：
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
例题分析：
例6：已知在△ABC与△DEF中，∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm。
求证：△DEF∽△ABC.
分析：
证明：∵ ，
∴
又∵ ∠F＝∠C，且∠F是边DF与EF的夹角，∠C是边AC与BC的夹角
∴ △DEF∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
观察与思考：
A
B
C
D
4.2
E
2.1
F
3
1.5
如图P78图3－20，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E＝40°，AB＝4.2cm，AC＝3cm，DE＝2.1cm，DF＝1.5cm，△ABC与△DEF有两边对应成比例吗？有一个角相等吗？这两个三角形相似吗？你能得出什么结论？




分析：
依上，有∠B＝∠E＝40°；
但△ABC与△DEF不相似。
结论：有两边对应成比例，且有其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似。
例7：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝ 90°，且.求证：△A′B′C′∽△ABC.
A
B
C
A＇
B＇
C＇







分析：两种作法：
方法一：利用相似三角形的判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似。
利用勾股定理求出斜边长及比。
方法二：利用相似三角形的判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三、练习：
P79练习题1，2.
四、小结：
1、相似三角形的性质定理：4条
2、相似三角形的判定定理：3条
特别地：△相似的判定定理：共4条
3、两个三角形不相似的结论：
五、作业：
1、课堂：P80习题3.3 A组10、11；
2、课外：同上A组7、8、9.


探讨内容：3.3 相似三角形的性质与判定（4）
目标设计：1、综合运用相似三角形的性质定理与判断定理进行推理与判断、证明；
2、培养学生自主探究知识的能力与逻辑推理能力。
重点难点：推理与证明的层次、思路的引导。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、相似三角形的性质定理：
⑴相似三角形的对应角相等；
⑵相似三角形的对应边成比例；
⑶相似三角形对应边上的高线之比等于相似比；
⑷相似三角形对应边上的中线之比等于相似比；
⑸相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比；
⑹相似三角形的周长之比等于相似比；
⑺相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
2、相似三角形的判定定理：
⑴定义：三角相等，三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
⑵判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似；
⑶判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似；
⑷判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
⑸直角△相似的判定定理：两直角边对应成比例的两△相似。
B
A
C
P
二、题例分析：
1、已知：△ABC中，P是AC边上一点，连结BP，
①当∠ABP满足什么条件时，△APB∽△ABC；
②当AB：AP满足什么条件时，△APB∽△ABC。
分析：
⑴若△APB∽△ABC，已有公共角∠A，还需一个角相等，
即∠ABP＝∠C（∠ABP≠∠ABC）
⑵反推：△APB∽△ABC，则有

∴且∠A＝∠A，或且∠APB＝∠ABC
而∠A是共角，∠APB是否与∠ABC相等未知。
故只有AB:AP＝AC:AB时，才有△APB∽△ABC。
2、P80习题3.3 A组10：
B
A
C
D
E
如图，在锐角三角形ABC中，AD，BE分别是边BC、AC上的高，求证：AD:BE＝AC:BC.
分析：
方法一：证明：∵
∴
∴
方法二：证明：∵ AD、BE分别为高
∴ ∠ADC＝∠BEC＝90°
又 ∵ ∠C＝∠C
∴ △ADC∽△BEC
（两角对应相等的两个三角形相似）
∴ （相似三角形的对应边成比例）
3、P82习题3.3 B组4：
B
A
C
D
E
F
G
H
P
1
2
如图，一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC是上的高，BC＝30cm，AD＝20cm，从这张硬纸片上剪下一个正方形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，求此正方形的边长。
分析：∵ 四边形EFGH为正方形
∴ HG∥EF，即HG∥BC
∴ ∠1＝∠B，∠2＝∠C
∴ △AHG∽△ABC
又∵ AD是边BC的高
∴ AP⊥HG
即 AP为△AHG的高
∴
设正方形边长为，即HG＝，则PD＝HG＝
∴
解得 ，即
∴ 正方形边长为.
三、小结：
1、求两三角形相似，可直接由条件入手；
2、证边成比例，由结论反推，一般是由三角形相似而来；
3、牢记结论。
四、练习与作业：
1、课堂：
P81习题3.3 A组12，B组3；
2、课外：
同上，A组4、5、6；B组2、6.


探究内容：3.4 相似多边形（1）
目标设计：1、引导学生理解多边形相似及相似比的概念；
2、运用相似多边形的性质进行推理与证明；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：相似多边形的概念与性质，以及运用其性质进行推理与证明。
探讨准备：作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
相似形的概念：把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形是相似的。
二、新知探究：
讲授：两个三角形相似，其性质有：
①对应角相等；
②对应边成比例，等于相似比。
探究：如果两个矩形相似，是否也有对应角相等，对应边成比例呢？
结论：
⑴相似多边形的概念：
对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。
相似多边形的对应边的比叫作相似比。
⑵性质：
①相似多边形的对应角相等；
②相似多边形的对应边成比例，等于相似比。
探究：多边形相似的判定方法：
A
B
C
D
E
F
G
H
⑴如图，有两个菱形，量一量∠DAB，∠ABC，∠HEF 的度数，由此判断这两个菱形是否相似。





结论：可以利用相似多边形的定义判断菱形相似。
⑵如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，分别在线段OA，OB，OC，OD上取一点A′，B′，C′，D′，使得，连接，，，，所得的四边形是菱形吗？它与菱形ABCD相似吗？
分析：
A
C
B
D
1
A＇
C＇
B＇
D＇
O
2
3
4
5
6
7
8
∵ AC⊥BD，且在Rt△AOB和Rt△A′OB′中，
∴ Rt△A′OB′∽Rt△AOB（两直角边对应成比例的两个Rt△相似）
∴ （相似△对应边的比等于相似比）
∠1＝∠2，∠3＝∠4
同理 ∠5＝∠6，∠7＝∠8

∴ A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′A′
即四边形A′B′C′D′是菱形
∴ ∠1＋∠5＝∠2＋∠6，∠3＋∠7＝∠4＋∠8
即 ∠D′A′B′＝∠DAB，∠A′B′C′＝∠ABC
同理∠B′C′D′＝∠BCD，∠C′D′A′＝∠CDA
∴ 菱形A′B′C′D′∽菱形ABCD(相似多边形定义)

三、练习：
P84练习题1，2，3.

四、小结：
1、相似多边形的定义、相似比.
2、相似多边形的性质：①②
3、相似多边形的判定：用定义判定

五、作业：
1、课堂：
P86习题3.4 A组1，2；
2、课外：
P86同上，A组3；B组1.


探究内容：3.4 相似多边形（2）
目标设计：1、引导学生掌握相似多边形相似的性质，即周长与面积和相似比之间的关系；
2、会根据平面图计算实际周长与面积；
3、培养学生小组合作学习的协作精神，并能从小组合作学习中获得好的学习方法。
重点难点：根据相似多边形的性质会计算实际周长与面积。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
相似多边形的定义、性质、判定方法等。
二、新知探究：
目的：探究相似多边形的周长的比与相似比、面积的比与相似比分别有何关系？
分析：
如图，设四边形∽
令
则有，，
A1＇
A2＇
A3＇
A4＇
A2
A1
A3
A4
，
∴
即
∴四边形的周长与四边形的周长的比等于相似比。
连结，，则原四边形的面积被分成了两个三角形的面积之和，且有△∽△，△∽△
∴，
即，
∴
即
∴四边形的面积与四边形的面积的比等于相似比。
由上，有结论：
①相似多边形的周长的比等于相似比；
②相似多边形的面积的比等于相似比的平方。
尝试：P85“做一做”
分析：
⑴量出东西门距离为5.3cm，则设实距为。
有 ∴
⑵量出南北向长度为6.3cm，设实距为。
有 ∴
⑶由⑴、⑵，则平面图的
周长＝
面积＝
⑷由上，则 方法1：（采用相似比）
设实际周长为，有 ∴
设实际面积为，有 ∴
方法2：（先算出实际长、宽，再算周长与面积）
周长：
面积：
三、练习：
P86练习题1，2.
四、小结：
1、相似多边形的性质：①②③④
2、利用相似求图距与实际。（注意单位）
五、作业：
1、课堂：P87习题3.4 A组4；
2、课外：同上，B组2，3.


探究内容：3.5 图形的放大与缩小，位似变换（1）
目标设计：1、引导学生了解位似变换的概念与性质；
2、会利用位似变换将一个图形放大或缩小；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、掌握位似变换的概念或性质；
2、能区别图形的位似变换与中心对称；能利用位似把图形放大或缩小。
探讨准备：作图工具，幻灯片，学生分组等。
探讨过程：
一、复习导入：
相似图形的定义、性质。
二、新知探究：
观察与操作：P88“观察”
思考：P88“动脑筋”：
1、说说图3－44中右图的小狗是如何从左边的小狗画出来的？
2、如何画出右边小狗头顶上的点A′？尾巴尖上的点B′？对于左边小狗上每一点，如何画出右边小狗上的对应点？
由上，有结论：
定义：
取一定点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数K（K＞0），点O对应到它自身，这种变换叫作位似变换，点O叫作位似中心，常数K叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
性质：
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（与中心对称图形的性质作比较）
* 中心对称图形是将一点绕对称中心旋转180°，而位似图形是延长后找对应点，当位似图形分别在位似中心两边时，成中心对称。
三、小结：
1、识记并理解定义、性质：
2、能和旋转、平移、轴反射、中心对称进行区别：
四、作业：
1、课堂：P89练习题1，2；
2、课外：《课程基础训练》.


探究内容：3.5 图形的放大与缩小，位似变换（2）
目标设计：1、理解并掌握利用位似比将图形放大与缩小的方法；
2、比较位似变换与中心对称、平移、旋转及轴反射的区别；
3、培养学生的平面想象能力及逻辑推理能力。
重点难点：1、位似比与图形放大和与缩小的关系；
2、能证明图形经位似变换、平移、旋转、轴反射、中心对称后与原图相似。
探讨准备：作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
位似变换的性质：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
二、新知探究：
讲授：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，新图形与原图形是相似形，相似比等于位似比。 ①当位似比k＞1时，被放大为原图的k倍；
②当位似比k＝1时，与原图全等；
③当位似比0＜k＜1时，被缩小为原图的k倍。
例题分析：把下图中五角星放大成原图形的2倍。
分析：选取五角星的特征点：五个角尖A1，A2，A3，A4，A5，以五角星的的中心O为位似中心，分别作射线OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，在这些射线上分别取一点A1′，A2′，A3′，A4′，A5′，使得
连结，，，，，
则得到的五角星是原五角星的2倍。
在上图中证明：
证明：在△和△中，
且有公共角∠＝∠为夹角
∴△∽△
∴
观察并讨论：P90－91：
结论：一个图形经过位似变换和平移、旋转、最后得到的图形与原图形是相似的图形。
三、练习：P91练习题1，2.
四、小结：
1、位似中心应依据图形特点确定，可以在图形之内，也可以在图形之外；
2、位似比：新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似比k＞1、k＝1，0＜k＜1时……
3、位似变换后的两图形相似，相似比等于位似比。
五、作业：
1、课堂：P91练习题2；习题3.5 A组2；
2、课外：同上，练习题1；A组1，B组。



探讨内容：第3章 图形的相似（复习课）
目标设计：1、巩固本章中所学基本概念，能灵活地运用知识解决问题；
2、通过典型题例的练习与讲评，引导学生掌握解题方法，将知识灵活运用于实际；
3、培养学生耐心细致的学习习惯。
重点难点：1、牢记知识点；；
2、在解题过程中灵活运用知识点。
探讨准备：作图工具，投影片等。
探讨过程：
一、基本知识：（见P92“小结与复习”）
补充：
1、由比例的基本性质还可以得到：
① ② ③ ④
2、相似△的其他性质定理：
①相似△对应边上的高的比等于相似比；
②相似△对应边上中线的比等于相似比；
③相似△对应角的角平分线的比等于相似比；
④相似△周长的比等于相似比。
3、Rt△相似的判定定理：
①两直角边对应成比例的两个Rt△相似
②定义判定：
4、相似多边形的性质：
相似多边形的周长的比等于相似比。
5、相似多边形的判定：
①矩形：对应边成比例的两矩形为相似矩形；
②菱形：有一对角对应相等的两菱形为相似菱形；
③正方形；所有的正边形都相似（，且为z）。
6、位似变换的性质：
①两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
②位似的两个图形相似，相似比等于位似比；
③一个图形经过位似变换、平移、旋转、轴反射后，所得到的图形与原图形相似。
二、典型题例：
1、如图，在针孔成像问题中，像的长是物长的几倍？
分析：由图及针孔成像原理知：△∽△
∴
B
A
C
F
2、如图，F是△ABC中AB边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）。
A、若∠AFC＝∠ACB，则△ACF∽△ABC
B、若AC2＝AF·AB，则△ACF∽△ABC
C、若∠ACF＝∠B，则△ACF∽△ABC
D、若AC:CF＝AB:BC，则△ACF∽△ABC
分析：
D错，∵ AC:CF＝AB:BC不是夹公共角∠A的两边，
∴ 不能判定两△相似。
3、已知如图，BC∥DE∥FG，且S1＝S2＝S3，则FG:DE:BC＝？
B
A
C
F
D
E
G
S1
S2
S3
分析：
∵ BC∥DE∥FG
∴ △AFG∽△ADE∽△ABC
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
作业：
1、课堂：P95复习题三 A组4，7；
2、课外： A组3，5，6.


（接上）：典型题例：
B
A
C
F
D
E
G
S1
S2
S3
4、如图，D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，则图中三部分图形的S1:S2:S3＝？
分析:
∵ DF∥EG∥BC
∴ △ADF∽△AEG∽△ABC
∴ 由△ADF∽△AEG可得 ①
由△ADF∽△ABC可得 ②
又∵ D、E为AB三等分点
∴ ①式为即
②式为即
∴ S1:S2:S3＝S1:3S1:5S1＝1:3:5
5、如图，市场上供应的长方形纸张都有以下特征：每次对折后所得的长方形均和原长方形相似，则纸张的长与宽的比为？
分析 ：
由题有矩形ABCD∽矩形ABFE
B
A
C
F
D
E
∴ 即
∴
∴ 原长方形长与宽的比为
6、已知：如图，在□ABCD中，AE:EB＝1:2
⑴求AE:DC的值；
⑵△AEF与△CDF相似吗？若相似，请说明理由，并求相似比。
⑶如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF.
分析：
⑴由题有AE:EB＝1:2
∴ EB＝2AE
而在□ABCD中，AB＝AE＋EB＝3AE＝DC
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
∴ AE:DC＝AE:3AE＝1:3
⑵△AEF∽△CDF
∵ 四边形ABCD是□
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4
∴ △AEF∽△CDF（两角对应相等的两个△相似）
由（1）知，AB＝DC＝3AE
∴ 即相似比为1:3
⑶∵ S△AEF＝6cm2 而
∴ S△CDF＝9S△AEF＝9·6＝54cm2
A
B
C
D
E
F
P
G
1
2
3
4
7、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°AD⊥BC于D，P为AD的中点，BP延长线交AC于E，EF⊥BC于F，求证：EF2＝AE·EC
证明：
延长FE，交BA的延长线于G。
∵ AD⊥BC，GF⊥BC
∴ AD∥GF
∴ △ABP∽△GBE，△PBD∽△EBF
∴ ， 即
又∵ P为AD中点
∴ AP＝PD
∴ GE＝EF
又∵ ∠1＝∠2＝90°，∠3＝∠4
∴ △AEG∽△FEC（两角对应相等，两△相似）
∴ 即，亦即EF2＝AE·EC
8、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？
分析：
设经秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2，BP＝8-2，BQ＝4
A
B
C
P
Q
分两种情况讨论:
①若△BPQ∽△BAC，则 即
∴
②若△BQP∽△BAC，则 即
∴
即经过0.8秒和2秒时，△PBQ与△ABC相似。

作业:
1、课堂:以上第7题；
2、课外：P95习题组A组8，9；B组1，4.


（接上）：典型题例：
A
B
C
D
E
9、如图，在△ABC中，，，，线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行。记秒时，该直线在△ABC内的部分的长度为，试写出关于的函数关系式，并在直角坐标系中画出这一函数的图象。
分析：
该直线要保持与BC平行，则BD≠CE.
解：∵ DE∥BC，，，则
∴△ADE∽△ABC
∴ 即
∴，
此函数图像如下：


O
8
3.5
x
y
○
，（0≤x＜3.5）






10、把下图中的五边形ABCDE先放大成原图的1.5倍，再缩小成原图的0.6倍。
分析：
⑴放大1.5倍，即满足
顺次连接、、、、，五边形为所求。
⑵缩小成0.6倍，即满足
顺次连接、、、、，则五边形为所求。
如图：
A
B
C
D
E
A′
B′
D′
C′
E′
A〞
B〞
C〞
D〞
E〞
O










11、如图，有一块三角形土地，它的底边，高，某单位要沿着地边BC建一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，若大楼的长与宽的比为5:4，求该矩形的面积。
分析：
A
B
C
D
E
F
H
G
P
1
2
∵四边形DEFG为矩形
∴DG∥EF，即DG∥BC
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
∴△ADG∽△ABC
∴ 即
设矩形的宽为，则长为.
∴
∴
即矩形的宽为，则长为
∴
三、小结：
1、牢记知识点，多做练习；
2、将相似多边形与相似△，相似△与全等△进行类比记忆，在解题中进行区分。
四、作业：
1、课堂：P96复习题三B组3；
2、课外：同上，B组2，5；C组。


探讨内容：第3章 单元测试卷评析
目标设计：通过试卷评析，引导学生弄清理解错误的原因，纠正错误，巩固本章知识点。
重点难点：解题思路的分析引导，纠错。
探讨准备：作图工具，测试卷等。
探讨过程：
一、试卷分析：
二、评讲试卷：
1、图纸上的零件长为，比例尺是，则这个零件实际长为？
分析：
，依比例尺有： ∴
A
B
C
D
E
F
P
1
2
3
4
2、一条河的两岸有有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽。
分析：
如右图，这一岸D、E处各有一棵树，DE间有3棵树，则DE＝20米；对岸B、C处各有一根电线杆，则BC＝50米。
过点A作AF⊥DE于F，则AF＝25米；
延长AF交BC于P，则AP⊥BC，PF为河宽。
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴△ADE∽△ABC
∴ 即
∴
即河宽37.5米.
A
B
C
D
E
F
G
H
P
3、某出版社编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图所示），以给人一种和谐的感觉，这样的两个相似矩形应如何画出来？
分析：作对角线AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EF∥BC，作GH∥CD，则矩形AEPG和矩形CFPH相似。
∵AE∥CF，AG∥CH
∴∽，∽
∴，
∴
又∵矩形AEPG和矩形CFPH的每个角都是直角
∴矩形AEPG∽矩形CFPH
4、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上（P不是BD中点），EF和GH把原平行四边形分成四个互不重叠的小平行四边形。
⑴图中哪些个平行四边形的面积相等？为什么？
⑵图中哪些个平行四边形相似？为什么？
分析：
⑴
∵，，
∴
A
B
C
D
E
F
G
H
P
即
⑵□BHPE∽□DGPF
∵AD∥BC
∴△BHP∽△DGP
∴
同理△EBP∽△FDP
∴
∴
又∵EF∥BC，GH∥AB
∴□BHPE与□DGPF的角分别对应相等
∴□BHPE∽□DGPF
三、学生纠错：
四、小结：
1、牢记知识点，仔细作答；
2、思路要开阔，层次要清晰，字迹要工整，卷面要清洁。
五、作业：
1、课堂：测试卷：20，25.
2、课外：测试卷：16，17，19，24。



探究内容：4.1 正弦与余弦（1）
目标设计：1、通过实例引导学生理解正弦的定义；
2、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：理解正弦的定义。
A
B
C
a
b
c
探讨准备：作图工具，投影片等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、如图，已知在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且，，求b。
（复习：勾股定理：在直角三角形中，
两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方）
2、一个△ABC的三边长分别为，，，试判断该三角形的形状。
（复习：勾股定理的逆定理（判定定理）：如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。）
二、新知探究：
思考与探究：
A
B
C
65°
65°
东
北
题：如图，一艘轮船从西向东航行到8处时，灯塔A在船的正北方向，轮船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向。试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？



分析：
由题意，△ABC是Rt△，∠B＝90°，∠A＝65°，∠A的对边BC＝2000m。问题是求斜边AC的长度。
探究：
在Rt△中，65°角的对边与斜边的比值有何规律？下面分3步讨论：
1、假设∠A＝60°依勾股定理可得，。
则
请同学们动手画一个比较标准的Rt△，使∠A＝60°，∠B＝90°。量出AC与BC的长，看
结论：60°角的对边与斜边的比值是一个常数值，都约等于0.87。
2、当∠A＝65°时，请大家再画一个Rt△，使∠B＝90°，∠A＝65°。然后量出BC与AC的长，计算BC：AC的值。
（则有）
3、证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则BC:AC＝B′C′:A′C′
分析：
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
∴
∴
即在所有的Rt△中，相等的锐角的对边与斜边的比值K都相等。
综上可得：
A
B
C
3
5
定义：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦（sine），记作，即
讲授：在有一个锐角等于的所有Rt△中，角的对边与斜边的比值都为一个常数。即为常数。
例题评析：
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5.
⑴求∠A的正弦；
⑵求∠B的正弦。
分析：
⑴∠A的对边BC＝3，斜边AB＝5，则
⑵∠B的对边是AC，由勾股定理，得
∴
∴
三、练习：
P102练习题1，2.
四、小结：
1、正弦的定义、记法、读法；
2、理解：在有一个锐角等于的所有Rt△中，角的对边与斜边的比值为一个常数，即为常数。
五、作业：
1、课堂：《课程基础训练》P502，3；
2、课外：同上，P501，2，3，4.


探究内容：4.1 正弦和余弦（2）
目标设计：1、理解余弦的定义、记法、读法，能将正弦与余弦相互转化；
2、识记特殊角30°，45°，60°的正弦、余弦值；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、余弦定义的理解，正、余弦的相互转化；
2、特殊角的正、余弦值。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、Rt△中求边长的方法：
A
B
C
6
5
①利用勾股定理 ②利用正弦
2、正弦的定义、读法、记法：
即
3、P106习题4.1 A组1：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，
求sinA，sinB的值。
二、新知探究：
例题评析：
例2：分别求和的值。
分析：
求正弦值是只在Rt△中，因此需画图，依图求解。
B
A
C
30°
60°
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠B＝60°。
∵∠A＝30°，∠C＝90°
∴（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∴
又∵∠B＝60°，∠B的对边是AC，
由勾股定理得
∴
∴
A
B
C
例3：求的值。
分析：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则∠B＝45°，AC＝BC。
由勾股定理得
∴
∴
思考与探究：
B
A
C
α
D
E
F
α
题：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，那么AC:AB＝DF:DE？





分析：
∵△ABC∽△DEF
∴
∴
讲授：由上，说明在有一个锐角等于的所有Rt△中，角的邻边与斜边的比值等于一个常数。
结论：
定义：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫作角的余弦（cosine），记作，即
由上，∵
∴
即有：
①
②
例4：求的值。
分析：


（识记）
三、练习：
P104练习题1，2。
四、小结：
1、牢记余弦定义、读法、记法；
2、能区别正、余弦，并能将其相互转化；
3、牢记特殊角的正弦、余弦值。
五、作业：
1、课堂：
P106习题4.1 A组3，4；
2、课外：
P104练习题3；习题4.1 A组2，5。
3、补充练习：
已知：关于的方程的两个不相等的实数根恰好是一个直角三角形两锐角的余弦，求的值。
分析：设直角三角形两锐角分别是、，由题意，必须满足下列各式：
二次方程根的判别式： ①
根与系数的关系式： ②
③
∵ 、是直角三角形两锐角
∴
∴ ，代入②、③，得
④
⑤
由④得 ⑥
把⑤代入⑥，整理得
解得 ，
将代入①，得，舍去；
将代入①，得
但是，而
∴ 也不合题意，舍去
综上，符合题意的的值不存在。

探究内容：4.1 正弦和余弦（3）
目标设计：1、引导学生掌握利用计算器求锐角的正、余弦值及求锐角的方法；
2、能运用锐角的正、余弦值解决简单的实际问题；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、掌握利用计算器求锐角的正、余弦值及求锐角的方法；
2、能利用锐角正、余弦值解决简单问题。
探究准备：作图工具、计算器等。
探究过程：
一、复习导入：
1、正、余弦：

2、特殊角的正余弦值：
α
30°
45°
60°
sin



cos




二、新知探究：
思考：如何求出sin50°的值？
1、量：费时，效率低，精确度不高
2、利用计算器：
任务：分小组阅读计算器说明书，掌握求50°角的正、余弦值的方法，并完成P105“操作”题。
讲授：如何求，的值？
分析：
∵
∴
∴

（结果保留四位小数，即精确到0.0001）
尝试练习：P105“操作”1，2。
讲授：
如何求中锐角的度数。
分析：
∵
∴
尝试练习：P106“操作”3：
已知正弦值或余弦值，求相应的锐角（精确到1）
⑴
⑵
⑶
⑷
三、练习：P106练习题1，2。
四、小结：
牢记自己计算器求正、余弦的方法及求锐角度数的方法。
五、作业：
1、课堂：P107习题4.1 A组6，7；
2、课外：同上，B组1，2，3，4，5.

探究内容：4.1 正弦与余弦（4）
目标设计：在牢记特殊角（30°，45°，60°）正、余弦值及掌握利用计算器求锐角正、余弦值的基础上，会利用正、余弦知识解决简单的实际问题。
重点难点：掌握利用正、余弦知识解决实际问题的方法。
探究准备：作图工具、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：

同角的正、余弦关系：
二、新知探究：
题例：如图，青岛海关辑私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置0点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里每小时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调查好航向，以26海里每小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
⑴需要几小时才能追上？（点B为追上的位置）
A
B
O
北
东
⑵确定巡逻艇追赶的方向，精确到1〞。
分析：
⑴设需t小时才能追上。则
∴在Rt△AOB中，

∴
不合题意，舍去，即需1小时才能追上。
⑵在Rt△AOB中
∵
∴
即巡逻艇的追赶方向为北偏东

A
B
C
F
三、练习：
如图，在△ABC中，AB＝AC，它的一个外角为80°，
底角平分线长为，求腰上的高。
四、小结：
构建Rt△，利用正、余弦相关知识解决问题。
五、作业：
1、课堂：P107习题4.1 A组8，9；
2、课外：同上B组6，7，8。
3、思考题：
如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，AC＝3，求sinB·sinC的值。
解：过C点作CD⊥BA的延长线于D，过B作BE⊥CA的延长线于E。
A
B
C
D
E
1
2
∵，
∴
∴在Rt△ACD中，
∴在Rt△BCD中，
∴
同理：在Rt△ABE中，，
∴在Rt△BCE中，
∴




探究内容：4.2 正切（1）
目标设计：1、通过实例引导学生理解正切的定义；
2、会求锐角的正切值，熟记特殊角的正切值，能利用正切解决简单的实际问题；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、理解正切的定义；
2、会求锐角的正切值。
探究准备：作图工具等。
A
B
C
探究过程：
一、复习导入：


二、新知探究：
讲授：
类似地，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与邻边的比值也为一个常数。
结论：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫作角的正切（tangent），记作，即
即
例题解析：
A
B
C
3
4
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值。
分析：
，
30°
B
A
C
60°
例2：求的值。
分析：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°。
∴
∴
∴

（识记30°，60°角的正切值）
讲授：当有一个角为45°时，Rt△为等腰Rt△。
∴tan45°＝1
综上，30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下：
α
30°
45°
60°
sin



cos



tan

1

（识记）
动手尝试：P111“做一做”：
1、用计算器求下列锐角的正切值（精确到0.0001）：
⑴
⑵
⑶
2、已知正切值，求相应的锐角（精确到1′）:
⑴则
α
B
A
C
⑵则
例3：已知，是锐角，求，，的值。
分析：
如图，在Rt△ABC中，， ，则
∵
∴
∴
∵
∴

三、练习：
1、P112练习题1，2；
2、P108“观察”与“思考”
四、小结：
1、从正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值sin（或cos、tan）与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数。
2、牢记特殊角的函数值。
3、掌握利用计算器求函数值的方法；
4、锐角三角函数是Rt△中的边角关系。
五、作业：
1、课堂：P112练习题3，4；
2、课外：P113习题4.2 A组1，2，3.

探究内容：4.2 正切（2）
目标设计：1、牢固掌握求锐角正切的方法，能根据一个锐角的正切值求锐角角度；
2、能灵活运用锐角三角函数解决简单的实际问题；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：灵活运用锐角三角函数解决实际问题
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、正弦、余弦、正切的定义、读法、记法：
2、特殊角的函数值。
二、新知探究：
题例：
1、如图，在△ABC中，，，的平分线交于，且，则的值为？
A
B
C
D
1
2
分析：∵ 在Rt△ACD中，，
∴
∴
又∵
∴
∴ 即
A
B
C
D
E
F
10
20
2、如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°求AD、CD的长。
分析：过B点作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足为E、F。
∵ ∠A＝∠C＝30°
∴ ，
∴ 由勾股定理可得，
又∵ AD⊥CD
∴ 四边形BEDF为矩形
∴ DE＝BF＝10，DF＝BE＝5
∴
3、如图，D是△ABC边上AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC交BC于E，若BD＝8，sin∠CBD＝，求AE的长。
A
B
C
D
E
F
分析:过点D作DF⊥BC于F，则在Rt△BDF中，BD＝8，
∴ ，即
∴
又∵ DF⊥BC，AE⊥BC
∴
∴
又∵
∴
∴ 即
∴
4、一渔船在A处观测到东北方向有一个小岛C，已在小岛C周围4.8海里内修建了水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
分析：如图，在Rt△ABF中，，
∴ ，
A
B
C
D
E
F
G
东
北
在Rt△BCE中，，设，则
又∵ 四边形BFGE为矩形
∴ ，
又∵ 在Rt△AGC中，
∴
即
亦即
∴ 即CE＝5海里＞4.8海里
∴ 这艘船没有进入养殖场的危险。
三、练习：
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图）该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高为20米的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时：
新 楼
居 民 楼
32°
A
B
C
D
⑴问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
⑵若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：）




四、小结：
在实际问题中构建Rt△，利用三角函数解决问题。
五、作业：
1、课堂：
P113习题4.2 A组3，4；
2、课外：
同上B组。


探究内容：4.3 解直角三角形及其应用（1）
目标设计：1、理解解直角三角形的函义，了解解直角三角形的方法；
2、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：理解什么是解直角三角形，及其常用方法。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
b
B
A
C
a
c
如图，在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C 的对边分别记作a、b、c。
⑴Rt△的三边之间有什么关系？

⑵Rt△的锐角之间有什么关系？

⑶Rt△的边和锐角之间有什么关系？



二、新知探究：
讲授：每个Rt△共有六个元素：一直角，二锐角，一斜边，二直角边.
尝试：根据下列每一组条件，能画出多少个Rt△？
⑴一个锐角为40°；（无数个）
⑵一个锐角为40°，它的邻边长为3cm；（1个）
⑶一个锐角为40°，它的对边长为3cm；（1个）
⑷一个锐角为40°，斜边长为3cm；（1个）
⑸斜边长为4cm，一直角边长为3cm。（1个）
结论：在直角三角形中，除直角外的5个元素（3边和2锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形。
强调：只知道角，不能求出边长，但可求出边之间的比值；如果知道边长，则可以求出角度。
b
B
A
C
a
c
例题讲析：
例1：如图，在Rt△ABC中，，，，求， ， .（精确到0.01cm）
分析：
∵ b是∠A的邻边，c是斜边
∴
∴
又∵ a是∠A的对边
∴
∴
（强调此题的格式和利用计算器求值的方法）
例2：在Rt△ABC中，，a＝15.60cm，b＝8.50cm，求c，∠A，∠B（长度精确到0.01cm，角度精确到1′）
分析：

∵
∴
∴
三、练习：
P116练习题1，2；
四、小结：
解Rt△时尽可能利用原始数据 ，避免较大误差。
五、作业：
1、课堂：P116练习题2，3；
2、课外：《课程基础训练》.


探究内容：4.3 解直角三角形及其应用（2）
目标设计：继续巩固利用锐角三角函数的相关知识来解决实际问题。
重点难点：在实际问题中构建Rt△解决实际问题。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
b
B
A
C
a
c
如图，在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C 的对边分别记作a、b、c。则有



二、新知探究：
例题精讲：（投影片出示）
例3：如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成20°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离（精确到1m）。
A
B
C
20°
500m　









分析：
以点B作河岸线（看成直线段）的垂线，垂足为C，则BC为所求。
在Rt△ABC中，，，AB＝500M。
∴
∴
即B处与河岸相距约。
A
B
C
D
14°2′
14°2′
例4：如图，在高为28.5m的楼顶平台Ｄ处，用仪器测得一路灯电线杆底部Ｂ的俯角为，仪器高度为为，求电线杆与楼的距离（精确到1m）。
分析：
在Rt△ABC中，，
，
∴
∴
即这根电线杆与这座楼的距离约为。
三、练习：
P117练习题
四、小结：
构建Rt△，在Rt△中利用锐角三角函数求解。
五、作业：
1、课堂：P120习题4.3 A组4；
2、课外：同上 A组3。


探究内容：4.3 解直角三角形及其应用（3）
目标设计：继续利用锐角三角函数解Rt△的方法解决实际问题，培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、在梯形中构建Rt△解决实际问题；
2、利用坡度与坡角解决实际问题。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
A
B
C
D
E
F
如图，在等腰梯形ABCD中AB＝CD，AD∥B，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F。
则有
二、新知探究：
例题精讲：（投影片）
例5：如图，一座楼房的地顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长2.0m，下底3.6m，一腰长1.9m，求等腰梯形的高（精确到0.1m），以及一腰与下底所成的底角（精确到1′）。
分析：
A
B
C
D
E
1.9
0.8
过D作DE⊥AB于E。
∵上底DC＝2m，下底AB＝3.6m
∴
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝1.9m，AE＝0.8m。
∴

∴
即等腰梯形的高约为，腰与下底所成的底角约为。
观察、讨论、探究：
1、观察P118图4—28图⑴和⑵中，哪个山坡比较陡？
P
N
M
h
l
2、讨论：如何用数量来反映哪个山坡的平陡呢？
3、探究：如图：
从山脚P上坡到N时，升高的高度h（即MN）与水平
前进的距离（即PM）的比叫作坡度，用字母表示，即
有或。
图中∠MPN叫作坡角。坡度＝坡角的正切（tan）
∴坡度越大，山坡越陡。
例6：如图，一山坡的坡度，小刚从山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1′）？
分析：
设为坡角，则有
∴
P
M
N
如图，在Rt△PMN中，∠M＝90°，， PN＝240M。
∴
即
即小刚上升了约，这座山坡的坡角约为。
三、练习：
P120练习题
四、小结：
1、实际问题为梯形时，一般作高构建Rt△；
2、牢记坡度与坡角，并灵活运用。
五、作业：
1、课堂：P121习题4.3 A组5；
2、课外：同上，B组.



探讨内容：第4章 锐角三角函数（复习1）
目标设计：通过本课时学习，引导学生牢记锐角三角函数的有关知识，掌握常见的解Rt△的方法。
重点难点：1、特殊角的函数；
2、互为余角的正弦、余弦的关系；
3、解Rt△的常用方法。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探讨过程：
一、基本知识：
1、锐角三角函数：
在Rt△中，有角为锐角，则


概念：锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角三角函数。
2、特殊角的三角函数值：
0°、30°、45°、60°、90°共5个。
α
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0



1
cos
1



0
tan
0

1

不存在
cot
不存在

1

0
3、同角的正弦、余弦和正切、余切的关系：
⑴，
⑵，
⑶已知为锐角，及角的一个函数值，求其它的函数值的方法：（见P111例3）：
如：已知，为锐角，求、、。
分析：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，由，可设AC＝1，AB＝4。
A
C
B
∴
∴


4、互为余角的正弦与余弦、正切与余切的关系：在Rt△中，设是锐角，则
，
，
5、掌握已知锐角求函数值及已知函数值求锐角度数的计算器求法。
6、解Rt△依据的关系式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。则
①
②
③，
，
7、解Rt△常见情况：
⑴已知a、b，则，，；
⑵已知a、c，则，，；
⑶已知a、∠A，则，，；
⑷已知a、∠B，则，，。
二、学生理解、识记：
三、练习：
1、已知，是锐角，求、、。
2、已知，是锐角，求、、。
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝12，a＝10，求∠A、∠B、b。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A、∠B、c。
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB上的高CD＝3.8，AD＝4.6，求∠A、∠B（精确到1′）以及AC、BC、AB的长度（精确到0.1），cosA、cotB的值。
四、小结：
1、牢记知识点；
2、灵活运用知识点解Rt△。
五、作业：
1、课堂：以上练习题中3，5；
2、课外：P124习题组中4～9。


探讨内容：第4章 锐角三角函数（复习2）
目标设计：通过本课时学习，引导学生综合利用本章知识点进行解Rt△及解决实际问题。
重点难点：1、求锐角三角函数值；
2、解直角三角形；
3、运用锐角三角函数解决实际问题。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探讨过程：
一、复习：
1、锐角三角函数：
2、解Rt△依据的关系式：
3、用解Rt△的方法解决实际问题的步骤：
二、题例：
A
C
B
D
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝32°，斜边AB上的高，求∠B以及AC、BC、AB的长度（精确到0.1cm）。
分析：
如图，∵∠A＝32°
∴∠B＝90°－32°＝58°
在Rt△ADC中，
∴
在Rt△BDC中，∠B＝58°
∴
∴在Rt△ABC中，AC＝13.6cm，BC＝8.5cm
A
C
B
D
E
a
b
c
则
2、在△ABC中，设∠A、∠B都是锐角，如图：
⑴△ABC的面积S与∠A、b、c、有什么关系？
⑵△ABC的面积S与∠B、a、c、有什么关系？
⑶求证：。
分析：
⑴过B作DB⊥AC的延长线与D ，则
∴
⑵同⑴过A作AE⊥BC的延长线与E。则
∴
⑶由⑴⑵可得
即
∴
3、已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，，，则？
A
C
B
D
分析：过C作CD⊥AB于D。
由，可设CD为m，则
∴而
∴，
又在Rt△ADC中，，
∴
∴
三、练习：
P124复习题四 A组11.
四、小结：
仔细审题，思维要敏捷，计算要仔细。
五、作业：
1、课堂：P124复习题四 A组10，12；
2、课外：同上 A组13， B组3.


探讨内容：第4章 锐角三角函数（复习3）
目标设计：尝试应用本章知识点解决实际问题。
重点难点：1、解决本章有关实际问题的方法的掌握；
A
C
B
D
E
2、学生自主探究知识能力的培养。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探讨过程：
一、复习导入：
1、平面直角坐标系：
2、方位坐标系及角的读法：
3、如图，在等腰梯形ABCD中，DE⊥AB于E，
则有：
4、坡度与坡角：
二、题例：
A
北
东
B
C
62°
1、（P125复习题四 B组2）：一艘轮船由西向东航行到B处时，距A岛有30海里，且A岛在距船北偏东62°的方向，如图，A岛周围10海里的水域有暗礁，如果轮船不改变航向，那么轮船有触礁的危险吗？
分析：
在Rt△ABC中，∠A＝62°，∠C＝90°，AB＝30海里
∴
∵14.1海里＞10海里
∴轮船不改变航向，也不会有触礁的危险。
（此题是在比较A点到BC的距离与10海里的大小）
2、（《课程基础训练》P6626）：如图，一只船向东航行，上午9时到达离一座灯塔P西南68海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南的N处，求这只船航行的速度。
分析：
理解“西南”、“ 正南”。
P
北
东
M
N
解：在Rt△PMN中，∠MNP＝90°，∠M＝∠MPN＝45°，则MN＝PN。
∴
即此船从上午9时到11时，2小时共航行了海里。
∴（海里/时）
即此船的速度为海里/时。
3、如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每阶台阶高为20cm，深为30cm，为了方便残疾人士，似将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。
分析：
12°
20cm
30cm
A
B
C
D
E
延长BE交CA的延长线即地面于D，则BD⊥CD于D。且BD＝60cm，AD＝60cm
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠C＝12°，BD＝6cm
∴
∴
三、练习：
B
C
D
E
A
α
1、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们的重叠部分（阴影部分）的面积为多少？
2、P124复习题四 B组1，C组。
四、小结：
在实际问题中构建Rt△，再选择合适的三角函数进行仔细计算。
五、作业：
P124复习题四 A组14，1。

探讨内容：第4章单元测试卷评析
目标设计：通过测试卷评析，引导学生查漏补缺，纠正错误，巩固知识点，提高分析问题、解决问题的能力。
重点难点：1、易错点的分析讲解；
2、解题方法的指导。
探讨准备：投影片、作图工具等。
课时安排：3课时。
探讨过程：
一、试卷分析：
二、讲评试卷：
1、为锐角，且满足，则
分析：
∵，
∴ 即
∴
2、化简
分析：
∵
∴
又∵
∴
∴
3、在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大10倍，那么锐角的正弦值和余弦值将？
分析：
因为锐角的正弦值和余弦值以及正切和余切值均与边长无关，只与锐角度数的大小有关。所以无论边长如何改变，只要角度不变，三角函数值不变。
4、已知，为锐角，则的值为？
分析：
方法一：∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
方法二：由题有：
即
∴
∴
∴
5、计算 ：

解：原式＝
＝
＝
＝
＝
作业：
测试卷8、17、21（均需解答过程）
57

（接上）：
A
B
C
6、在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，，AB＝10，求△ABC的面积。
分析：
如图，∵，
∴∠A＝30°，∠B＝60°
∴∠＝90°
即△ABC为Rt△
又∵AB＝10
∴BC＝5，
∴
A
B
C
D
E
3
4
5
7、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，求的值。
分析：
延长AD交BC的延长线于E。
∵∠A＝60°，∠B＝90°，
∴∠E＝30°
又∵AB＝4
∴AE＝8， 而AD＝5
∴DE＝AE－AD＝8－5＝3
由∠B＝∠EDC＝90°可得△EDC～△EBA
∴ 即
∴
∴
∴
∴
A
B
C
D
E
F
8、如图，D是△ABC边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC交BC于E，若BD＝8，，求AE的长。
分析：
过D作DF⊥BC于F。则在△BDF中，∠BDF＝90°
又∵BD＝8，
∴ 即
∴
在△CDF和△CAE中，∠DFC＝∠AEC，∠C＝∠C
∴△CDF～△CAE
∴
又∵CD＝2AD
∴
∴
∴
9、用科学计算器或数学用表求：如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23m，现在想测得乙楼CB的高度，某人在甲楼的楼底A和楼顶D分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，利用这些数据可求得乙楼的高度为多少米？（结果精确到0.01m）注：用数学用表解时，可参照下面的正切表相关的部分：
A
0′
6′
12′
18′
…
1′
2′
3′
65°
2.145
2.154
2.164
2.174
…
2
3
5
分析：
1、告诉学生如何查表求一个角的正切值。
2、解题：
过D作DE⊥BC于E。
A
B
C
D
E
45°
65°13′
23cm
23cm
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠BDE＝45°，设，则
∴在Rt△ABC中，
而∠BAC＝65°13′，AD＝23m＝EC
∴ 即
∴
∴乙楼的高度为
作业：
1、课堂：测试卷22，24；
2、课外：测试卷21，25.
58
（接上）：
A
B
C
P
M
N
Q
东
北
10、如图所示，MN表示某引水工程的一段设计线路，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东76°，已知MB＝400米，试通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
分析：
过A作AC⊥MN于C点。
在Rt△ABC中，∠ABC＝∠ABP－∠PBC＝76°－30°＝46°
设，则
又∵，
∴
∴
而
∴ 即
∴ 即＞
∴即使不改变方向，输水线路也不会穿过居民区。
建筑物
北
人工湖
花
园
A
B
C
D
E
F
α
β
11、如图，A、D是公园中人工湖边的两棵树，AB、BC、CD是公园内的甬路，小明同学想测出A、D两点间的距离，于是他进行了如下测量：B点在A点北偏东方向，C点在B点偏东方向，C点在D点正东方向，你认为他还需要测出AB、BC、CD中哪些线段的长？并根据小明的测量和你的判断推导出AD的表达式。
分析：
需测出AB、BC的长。
分别过B作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，
则四边形BFDE为矩形
∴BF＝DE
在Rt△ABE中，，
∴
在Rt△BCF中，，
∴
∴
此题属开放性习题，需根据问题确定条件，主要在于构建Rt△。
三、小结：
牢记特殊角度数和基本公式，在解决实际问题时重在依条件构建Rt△。
四、作业：
1、课堂：测试卷25；
2、课外：错题订正。