第一章 空间向量与立体几何
考点达标练
1.(2022·湖南衡阳·二模)设、是空间中两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,,则
【答案】A
【详解】
对于A选项,设直线、的方向向量分别为、,
因为,,则平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,
因为,则,故,A对;
对于B选项,若,,,则、平行或异面,B错;
对于C选项,若,,,则、的位置关系不确定,C错;
对于D选项,若,,,,则、平行或相交,D错.
故选:A.
2.(2022·河北石家庄·一模)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中,,,动点在“堑堵”的侧面上运动,且,则的最大值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
由题意可知三棱柱为直三棱柱,且,
以为坐标原点, 分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,如下图所示:
因为,则,
由于动点在“堑堵”的侧面上运动,则存在实数使得,
又,所以,
所以,
又,所以,
化简可得,即,
又,
又,所以,,
所以,
又,函数在上单调递减,且,
所以的最大值为.
故选:B.
3.(2022·安徽淮北·一模(理))在空间直角坐标系中,已知,,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
∵,,,
∴,
∴,
∴在方向上的投影数量为,
∴点到直线的距离为.
故选:C.
4.(2022·内蒙古赤峰·模拟预测(理))在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
如图,以AB、AD、分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则
则
因为
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
5.(2022·辽宁丹东·模拟预测)在三棱锥中,平面ABC,,是正三角形,M,N分别是AB,PC的中点,则直线MN,PB所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量处理,根据异面直线夹角的处理代入计算.
【详解】
如图,以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系,设
则
,则直线MN,PB所成角的余弦值为
故选:D.
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1.若,则=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
.
故选:D
2.已知,,,为空间中四点,任意三点不共线,且,若,,,四点共面,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【详解】
若,,,四点共面,则,则
故选:D.
3.已知空间向量,,若,则( )
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【详解】
由,解得,则.
故选:A.
4.已知向量,若,则实数x的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D
【详解】
解:因为,所以.
故选:D
5.若向量,且与的夹角余弦值为,则实数等于( )
A.0 B.- C.0或- D.0或
【答案】C
【详解】
由题知,
即,解得或.
故选:C
6.已知向量,,则在的方向上的数量投影为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
由题意知:在的方向上的数量投影为.
故选:C.
7.已知经过点的平面的法向量为,则点到平面的距离为( )
A. B.2 C. D.
【答案】D
【详解】
依题意,,所以点P到平面的距离为.
故选:D
8.在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则,,,,
则,,
设异面直线PN和BM所成角为,则.
故选:B.
二、多选题
9.已知空间中三点,,,则下列结论正确的有( )
A.
B.与共线的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
【答案】AD
【详解】
,故,A正确;
不是单位向量,且与不共线,B错误;
,C错误;
设,则,,
所以,又,所以平面的一个法向量是,D正确.
故选:AD
10.空间直角坐标系中,已知,下列结论正确的有( )
A. B.若,则
C.点A关于平面对称的点的坐标为 D.
【答案】AB
【详解】
,
,,
A正确,D错误.
若,则,则,B正确,
点A关于平面对称的点的坐标为,故C错误,
故选:AB.
三、填空题
11.已知两平面的法向量分别为,,则两平面所成角的大小为___________.
【答案】45°##
【详解】
,∴,
因为两平面夹角范围是[0°,90°],
∴这两个平面所成角的大小为45°.
故答案为:45°.
12.已知向量,,,则______
【答案】9
【详解】
因为,,所以,所以.
故答案为:9
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.已知均为空间单位向量,它们的夹角为60°,那么等于( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【详解】
.
故选:C.
2.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),.所以,.所以.
故选:C
3.已知三维数组,,且,则实数( )
A.-2 B.-9 C. D.2
【答案】D
【详解】
∵,,,,,,且,
∴,解得.
故选:D.
4.已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
∵,∴x=1,∴,
∴,
又∵,∴与的夹角为.
故选:D.
5.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,平面BCD,,且,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
如图,正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑,
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则,,,,,
则,,
,
则异面直线BM与CD夹角的余弦值.
故选:A.
6.如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体,C,D,E三点共线,已知三棱锥P-ADE四个面都为直角三角形,且ED⊥AD,PA⊥平面ABCE,PE=3,CD=AD=2,ED=1,则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
如图建立空间直角坐标系,,,,则有:,,
设平面PAE的法向量,则有,令,则,即
∴,即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为.
故选:C.
7.已知正方体的棱长为.以为坐标原点,以为轴正半轴,为轴正半轴,为轴正半轴建立空间直角坐标系,动点满足直线与所成夹角为的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【详解】
正方体的棱长为,可得,,
点,则,由动点满足直线与所成夹角为可得,整理得由,可得,当时取等号,即最大值为2,
故选:D
8.如图所示,圆柱中,是底面直径,点是上一点,,点是母线上一点,点是上底面的一动点,,,,则( )
A.存在点,使得
B.存在唯一的点,使得
C.满足的点的轨迹长度是
D.当时,三棱锥外接球的表面积是
【答案】D
【详解】
由圆锥的性质可得平面,
如图以为原点,为的正方向建立空间直角坐标系,设,,
则,,,,
设关于点的对称点为,
因为,,所以,
所以,
又,
所以,A错误,
又,
因为,所以,
所以,所以,
所以满足的点的轨迹为圆,B错误,
因为,,,
所以,
所以,故,
所以满足的点的轨迹为线段,
所以,C错误,
因为,,
,
所以为直角三角形,取的中点为,
又为直角三角形,所以,
故为三棱锥外接球的球心,故外接球的半径为,
所以三棱锥的外接球的表面积为,D正确,
故选:D.
二、解答题
9.在如图所示的五面体中,面是边长为2的正方形,面,,且,为的中点,N为CD中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
【解析】(1)
证明:如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,,
所以,显然平面的法向量可以为,
所以,即,又平面,所以平面;
(2)
解:因为,,设平面的法向量为,
则,令,则,所以,
显然平面的法向量可以为,
设二面角为,由图可知二面角为钝角,
则,
所以二面角的余弦值为;
(3)
解:由(2)知平面的法向量为,
又,设点到平面的距离为,
则
所以点到平面的距离;
10.已知底面ABCD为菱形的直四棱柱,被平面AEFG所截几何体如图所示.
(1)若,求证:;
(2)若,,三棱锥GACD的体积为,直线AF与底面ABCD所成角的正切值为,求锐二面角的余弦值.
【解析】(1)
连接BD,交AC于点O,底面ABCD为菱形,∴,
由直四棱柱得底面ABCD,又平面ABCD,∴,
又,BD,平面BDG,
∴平面BDG,因为平面BDG,
∴
已知,又,AC,平面ACE,
∴平面ACE,
因为平面BDG,∴
∵平面平面CFGD
平面平面,平面平面,
∴,则
(2)
已知,,可求,
由,则
在直四棱柱中,底面ABCD,
所以为直线AF与底面ABCD所成角,,则
在平面ACF内作,可知底面ABCD,如图,以为原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则
设平面BCE的法向量为,
则
取,得,,得,
由(1)知平面ACE,所以平面ACE的一个法向量为
则,
所以锐二面角的余弦值为
培优第三阶——高考沙场点兵
一、单选题
1.(2022·全国·高考真题(文))在正方体中,E,F分别为的中点,则( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
【答案】A
【详解】
解:在正方体中,
且平面,
又平面,所以,
因为分别为的中点,
所以,所以,
又,
所以平面,
又平面,
所以平面平面,故A正确;
选项BCD解法一:
如图,以点为原点,建立空间直角坐标系,设,
则,
,
则,,
设平面的法向量为,
则有,可取,
同理可得平面的法向量为,
平面的法向量为,
平面的法向量为,
则,
所以平面与平面不垂直,故B错误;
因为与不平行,
所以平面与平面不平行,故C错误;
因为与不平行,
所以平面与平面不平行,故D错误,
故选:A.
选项BCD解法二:
解:对于选项B,如图所示,设,,则为平面与平面的交线,
在内,作于点,在内,作,交于点,连结,
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角,
由勾股定理可知:,,
底面正方形中,为中点,则,
由勾股定理可得,
从而有:,
据此可得,即,
据此可得平面平面不成立,选项B错误;
对于选项C,取的中点,则,
由于与平面相交,故平面平面不成立,选项C错误;
对于选项D,取的中点,很明显四边形为平行四边形,则,
由于与平面相交,故平面平面不成立,选项D错误;
故选:A.
2.(2020·海南·高考真题)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40°
C.50° D.90°
【答案】B
【详解】
画出截面图如下图所示,其中是赤道所在平面的截线;是点处的水平面的截线,依题意可知;是晷针所在直线.是晷面的截线,依题意依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..
由于,所以,
由于,
所以,也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化,考查球体有关计算,涉及平面平行,线面垂直的性质,属于中档题.
二、解答题
3.(2022·全国·高考真题)如图,是三棱锥的高,,,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
【解析】(1)
证明:连接并延长交于点,连接、,
因为是三棱锥的高,所以平面,平面,
所以、,
又,所以,即,所以,
又,即,所以,,
所以
所以,即,所以为的中点,又为的中点,所以,
又平面,平面,
所以平面
(2)
解:过点作,如图建立平面直角坐标系,
因为,,所以,
又,所以,则,,
所以,所以,,,,
所以,
则,,,
设平面的法向量为,则,令,则,,所以;
设平面的法向量为,则,
令,则,,所以;
所以.
设二面角的大小为,则,
所以,即二面角的正弦值为.
4.(2022·全国·高考真题(理))在四棱锥中,底面.
(1)证明:;
(2)求PD与平面所成的角的正弦值.
【解析】(1)
证明:在四边形中,作于,于,
因为,
所以四边形为等腰梯形,
所以,
故,,
所以,
所以,
因为平面,平面,
所以,
又,
所以平面,
又因为平面,
所以;
(2)
解:如图,以点为原点建立空间直角坐标系,
,
则,
则,
设平面的法向量,
则有,可取,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
5.(2022·浙江·高考真题)如图,已知和都是直角梯形,,,,,,,二面角的平面角为.设M,N分别为的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、.
∵四边形和都是直角梯形,,,由平面几何知识易知,,则四边形和四边形是矩形,∴在Rt和Rt,,
∵,且,
∴平面是二面角的平面角,则,
∴是正三角形,由平面,得平面平面,
∵是的中点,,又平面,平面,可得,而,∴平面,而平面.
(2)
因为平面,过点做平行线,所以以点为原点, ,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
设,则,
设平面的法向量为
由,得,取,
设直线与平面所成角为,
∴.