沪科版八年级下册第16章 二次根式16.1 二次根式精品单元测试课后作业题

第十六章   二次根式（能力提升）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

【分析】分别化简二次根式，即可求解．

【解答】解：、是最简二次根式，故符合题意；

、，故不符合题意；

、，故不符合题意；

、，故不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．

2．下列运算正确的　　

A． B． C． D．

【分析】根据同类二次根式可以判断；根据二次根式除法可以判断；根据二次根式的乘法可以判断；根据算术平方根可以判断．

【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；

，故选项错误，不符合题意；

，故选项正确，符合题意；

，故选项错误，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值是　　

A． B． C． D．

【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：

解得：

故选：．

【点评】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．

4．下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除法法则进行计算即可．

【解答】解：．，故符合题意；

，故不符合题意；

，故不符合题意；

，故不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了二次根式的性质与二次根式的乘除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．

5．在实数范围内要使成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质及绝对值的意义列不等式求解．

【解答】解：原式，

，

解得：，

故选：．

【点评】本题考查二次根式的性质及绝对值的意义，理解绝对值的概念，掌握是解题关键．

6．若，则化简的结果为　　

A． B．3 C． D．

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．

【解答】解：，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．

7．已知满足，则　　

A．0 B．1 C．2021 D．2020

【分析】根据求出，然后再进行化简计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根据求出，然后再进行化简计算是解题的关键．

8．若，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】先根据把二次根式开方，得到，再计算结果即可．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．

9．设、都是负数，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】根据、都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．

【解答】解：、都是负数，

，

故选：．

【点评】本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，利用二次根式的性质解答．

10．，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【分析】利用平方差公式计算，利用完全平方公式和二次根式的化简求出，利用二次根式大小的比较办法，比较、得结论．

【解答】解：

；

，

；

，

．

故选：．

【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．

二．填空题（共4小题）

11．若分式有意义，则的取值范围是 　且　．

【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．

【解答】解：，，

且．

故答案为：且．

【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．

12．化简：　　．

【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件化简，进而得出答案．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与二次根式有意义的条件，正确化简二次根式是解题关键．

13．我们规定：如果实数，满足，那么称与互为“匀称数”．

（1）与 　　互为“匀称数”；

（2）已知，那么与 　　互为“匀称数”．

【分析】（1）直接利用“匀称数”的定义得出答案；

（2）直接利用利用二次根式的混合运算法则得出的值，进而结合“匀称数”的定义得出答案．

【解答】解：（1）如果实数，满足，那么称与互为“匀称数”，

设与互为“匀称数”，

则，

则，

故与互为“匀称数”；

故答案为：；

（2），

，

则，

解得：，

，

与互为“匀称数”．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及新定义，正确理解新定义是解题关键．

14．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，

（1）将分母有理化可得　　 ；

（2）关于的方程 的解是　 　．

【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；

（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．

【解答】解：（1）

故答案为：；

（2），

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了分母有理化和解一元一次方程，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．

三．解答题（共9小题）

15．计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．

16．计算：．

【分析】先算乘方、将根号里面的式子化简，然后合并同类项和合并同类二次根式即可．

【解答】解：

．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17．如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

【分析】根据的面积和中线的定义可得的面积，再根据三角形面积公式可求的长．

【解答】解：在中，是上的中线，，

，

，

，即，

．

【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的有关计算，本题中正确地计算是解题的关键．

18．已知数，，在数轴上的位置如图所示：

化简：．

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．

【解答】解：由题意得：

，

，，

．

【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．

19．阅读理解：

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，，发现规律：为正整数），并证明了此规律成立．应用规律，快速计算：．

根据材料，回答问题：

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．

（1）具体运算：

特例，

特例，

特例，

特例　　（填写一个符合上述运算特征的例子）．

（2）发现规律：　　为正整数），并证明了此规律成立．

（3）应用规律：

①计算：；

②如果，

那么　　．

【分析】（1）根据特例进行分析求解；

（2）根据特例中数字变化规律进行分析求解；

（3）①应用运算规律和二次根式的性质进行化简计算；

②根据①中得结论可解答．

【解答】解：（1）特例4，，

故答案为：；

（2）由题意可得：，理由如下：

；

故答案为：；

（3）①

；

②，

，

．

故答案为：5．

【点评】本题是对数字变化规律的考查和二次根式的混合运算，读懂题目信息，理解各种简便运算方法的操作是解题的关键．

20．观察下列各式：①，②；③，

（1）请观察规律，并写出第④个等式：　　；

（2）请用含的式子写出你猜想的规律：　　；

（3）请证明（2）中的结论．

【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；

（2）根据规律写出含的式子即可；

（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）

．

故答案为：（1）；

（2）．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．

21．设，，为的三边，化简：

．

【分析】根据三角形的三边关系判定出，，的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：根据，，为的三边，得到，，，，

则原式．

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若，当、、、均为整数时，则　　，　　．（均用含、的式子表示）

（2）若，且、、均为正整数，分别求出、、的值．

【拓展延伸】

（3）化简　　．

【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；

（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；

（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．

【解答】解：（1），

，且、、、均为整数，

，，

故答案为：，；

（2），

，

，

又、、均为正整数，

或，

即，，或，，；

（3）原式

，

故答案为：．

【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．

23．若，为实数，且．求的值．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得的值，进而得到的值，代入求值即可．

【解答】解：依题意得：，则，

所以，，

所以．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．