2.1 认识一元二次方程 第1课时 数学北师大版九年级上册学案
展开第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第1课时
【旧知再现】
含有一个未知数,且未知项的次数是__1__的方程,叫做一元一次方程.
【新知初探】
阅读教材P31—P32完成下面问题:
1.一元二次方程的定义
只含有__一个__未知数x的__整式__方程,并且都可以化成__ax2+bx+c=0__(a,b,c为常数,a≠0)的形式的方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必备的三个条件
(1)只含有__一个__未知数.
(2)未知数的最高次数是__2__.
(3)方程是__整式__方程.
3.与一元二次方程有关的概念
【图表导思】
已知方程 | 是否为一元二次方程 |
x2+5x3-6=0 | 不是 |
x2=(x-2)2 | 不是 |
x2+=2 | 不是 |
12x-10y2=0 | 不是 |
x+22=0 | 不是 |
1.若方程中含有分式,那么这个方程是一元二次方程吗?
【解析】不是.
2.若方程中含有两个未知数或未知数的最高次数不是2次,那么这个方程是一元二次方程吗?
【解析】不是.
【质疑判断】
1.x2=3是一元二次方程.( √ )
2.方程x2-2=2的常数项是-2.( × )
3.方程5x2=1-6x化为一般形式为5x2-6x+1=0.( × )
一元二次方程及相关概念
【教材P32补充练习】——一元二次方程的相关概念
(2021·成都月考)将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线,记成,定义=ad-bc.上述记法就叫做二阶行列式.那么=22表示的方程是一元二次方程吗?如果是,请写出它的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
【思路点拨】
根据二阶行列式计算方法列出方程并作出判断,然后写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
【自主解答】见全解全析
【归纳提升】
判别一元二次方程的三个技巧
1.先把方程化简变形为一般形式后再判断.
2.分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程.
3.二次项系数中含有字母时,若字母的取值不明确,不一定是一元二次方程.
变式一:巩固 (2021·天津期中)下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)
A.2x2++5=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+8)=6 D.x3-2xy+5y2=0
变式二:提升 将方程y2-y(-4y+1)=1化为一般形式(要求二次项系数为正数),写出二次项的系数,一次项和常数项.
【解析】去括号,得y2+4y2-y=1,
整理,得5y2-y-1=0.
所以二次项的系数为5,一次项和常数项分别是-y,-1.
根据实际问题列一元二次方程
【教材P31“引例”补充】——赛制问题中的一元二次方程
(2020·桂林中考)参加足球联赛的每两个球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场,设参加比赛的球队有x个,根据题意,下面列出的方程正确的是(D)
A.x(x+1)=110 B.x(x-1)=110
C.x(x+1)=110 D.x(x-1)=110
【思路点拨】每个队都要与其余队比赛一场,2队之间要赛2场.等量关系为队的个数×(队的个数-1)=110,把相关数值代入即可.
【归纳提升】
列一元二次方程的步骤
(1)审题,找出题目中的等量关系;
(2)设未知数,并用未知数表示出量;
(3)将等量关系转化为方程.
变式一:巩固 n个球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一个球队都与其他所有的球队各赛一场),总的比赛场数为y,则有(D)
A.y=2n B.y=n2
C.y=n(n-1) D.y=n(n-1)
变式二:提升
(2020·衡阳中考)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(C)
A.35×20-35x-20x+2x2=600
B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600
D.(35-x)(20-2x)=600
【火眼金睛】
求一元二次方程5x2-x=2的二次项系数、一次项系数和常数项。
【正解】将方程化为5x2-x-2=0,∴二次项系数为5,一次项系数为-1,常数项为-2.
【一题多变】
向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0提出了下列问题:
是否存在m的值,使方程为一元二次方程?若存在,求出m的值,并求出此方程.
【解析】存在,根据一元二次方程的定义可得解得m=1,此时方程为2x2-x-1=0.
【母题变式】
【变式一】(变换条件及问法)若(m-2)x|m|+3x-1=0是关于x的一元二次方程,则m=__-2__.
【变式二】(变换结论)向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0提出了下列问题:
是否存在m的值,使方程为一元一次方程?若存在,求出m的值,并解此方程.
【解析】存在,由题可知当或时方程为一元一次方程.
当时,解得m=0,此时方程为-x-1=0,解得x=-1,当时,解得m=-1,此时方程为-3x-1=0,解得x=-.
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