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河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。
2021-2022学年河北省衡水市武邑县武罗学校八年级（下）期末数学试卷
一.选择题.（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若是最简二次根式，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
2．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购．下面统计量中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
4．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3.2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
6．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣1），B（m，4）两点，则m的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣ C．﹣ D．
7．（3分）已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ）
A．38° B．52° C．62° D．90°
8．（3分）已知点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，则∠OCB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，情况如表所示．则下列说法不正确的是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
A．调查了10户家庭的月用水量
B．小区居民月用水量的平均数是4.6吨
C．小区居民月用水量的中位数是4.5吨
D．小区居民月用水量的众数是4吨
11．（2分）若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
12．（2分）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，进行了如下操作：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，D；
②作直线CD．根据小明的作图步骤可知四边形ADBC的形状一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣2x，直线l2与x轴，y轴分别交于点A，B，OA＝2，且两直线平行，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
14．（2分）若式子在实数范围内有意义，则一次函数y＝kx+3﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
二、填空题.（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分.把答案写在题中横线.上）
17．（4分）已知一组数据：1，3，4，3，4．
（1）这组数据的中位数为 ；
（2）若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数 （填“会”或“不会”）发生变化．
18．（4分）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
（1）a的最大值为 ；
（2）所有符合条件的a的和为 ．
19．（4分）已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为 米；
（2）当x＝ 时，甲、乙两人相遇．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）计算下列各小题．
（1）÷2﹣×；
（2）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）．
21．（9分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B，C作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）若AB＝BC，试判断四边形CDBE的形状，并说明理由．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）分别与x轴，y轴交于A（4，0），B两点，与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，求m的取值范围；
（3）若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，求n的取值范围．
24．（9分）某校为了解七、八年级学生“引体向上”体能测试的情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的体能测试成绩，并根据测试成绩绘制出如图1所示的条形统计图和图2所示的扇形体计图（成绩均为整数，满分为10分）．
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.7
8
c
0.91
八年级
a
b
9
1.01
（1）七、八年级抽取的学生测试成绩的相关数据如表所示，则表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）若在七、八年级抽取的学生中，选取一个年级参加学校的“引体向上”体能比赛，从平均数和方差的角度分析，应该选取哪个年级更合适呢？请说明理由；
（3）规定：“引体向上”体能测试成绩在9分以上（包括9分）为“优秀”．若七年级有400名学生，八年级有500名学生，请估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有多少人？
25．（10分）某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
（1）求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
（2）若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
（3）在（2）的条件下，设购买B型货车x辆（x≤26），购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
26．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E，F为对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，且0≤t≤12．
（1）①对角线AC的长为 ；
②用含t的代数式表示线段EF的长；
（2）在点E，F运动过程中，若G，H分别为AD，BC的中点，t≠6．求证：FG∥EH；
（3）在（2）的条件下，若以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，求t的值．
2021-2022学年河北省衡水市武邑县武罗学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题.（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若是最简二次根式，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项，＝2，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购．下面统计量中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵AD是BC边上中线，
∴AD＝AB＝2.5，
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D，AD∥BC，则∠CBE＝∠BEA＝35°，再由角平分线定义得∠ABC＝2∠CBE＝70°，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠BEA＝35°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝70°，
∴∠D＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3.2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【解答】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
6．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣1），B（m，4）两点，则m的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣ C．﹣ D．
【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m的值．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
将A（3，﹣1）代入y＝kx得：﹣1＝3k，
解得：k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
又∵点B（m，4）在正比例函数y＝﹣x的图象上，
∴4＝﹣m，
解得：m＝﹣12．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求出正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．
7．（3分）已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ）
A．38° B．52° C．62° D．90°
【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠A＝90°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝38°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识，证明∠A＝90°是解题的关键．
8．（3分）已知点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜5，可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，且﹣1＜5，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，则∠OCB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由矩形的性质可得∠COD＝60°，OC＝OD，再根据等边三角形的判定与性质可得∠OCD＝60°，最后由角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩，∠AOB＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠COD＝60°，OC＝OD＝，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠OCD＝30°，
故选：B．
【点评】此题考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
10．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，情况如表所示．则下列说法不正确的是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
A．调查了10户家庭的月用水量
B．小区居民月用水量的平均数是4.6吨
C．小区居民月用水量的中位数是4.5吨
D．小区居民月用水量的众数是4吨
【分析】分别根据平均数、众数和中位数的概念分别求解可得．
【解答】解：A．调查月用水量的户数为2+3+4+1＝10，此选项正确，不符合题意；
B．平均数是＝4.6（吨），此选项正确，不符合题意；
C．中位数是＝4.5（吨），此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的众数为5吨，此选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
11．（2分）若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
【分析】将已知变形，得到x2+8x＝﹣9，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝﹣4，
∴x+4＝，
∴（x+4）2＝7，即x2+8x+16＝7，
∴x2+8x＝﹣9，
∴x2+8x﹣16＝﹣25，
故选：A．
【点评】本题考查与二次根式相关的代数式求值，解题的关键是将已知变形，得到x2+8x＝﹣9．
12．（2分）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，进行了如下操作：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，D；
②作直线CD．根据小明的作图步骤可知四边形ADBC的形状一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【分析】根据四边相等的四边形是菱形判断即可．
【解答】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣2x，直线l2与x轴，y轴分别交于点A，B，OA＝2，且两直线平行，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【分析】由直线l1∥直线l2及点A在直线l2上，可求出直线l2的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，进而可得出OB的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△AOB的面积．
【解答】解：∵直线l1∥直线l2，
∴设直线l2的解析式为y＝﹣2x+b．
∵点A在直线l2上，OA＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴0＝﹣2×（﹣2）+b，
∴b＝﹣4，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣4．
当x＝0时，y＝﹣2×0﹣4＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
∴OB＝4，
∴S△AOB＝OA•OB＝×2×4＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键．
14．（2分）若式子在实数范围内有意义，则一次函数y＝kx+3﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出k的取值范围，再判断出3﹣k的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴k﹣3＞0，
解得k＞3，
∴3﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx+3﹣k的图象过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
15．（2分）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
【分析】易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论Ⅰ正确；
由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项Ⅱ正确；
由△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项Ⅲ错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故Ⅰ正确；
∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝2，
∴△OEF面积的最小值是×2×2＝2，
故Ⅱ正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
故Ⅲ错误；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题.（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分.把答案写在题中横线.上）
17．（4分）已知一组数据：1，3，4，3，4．
（1）这组数据的中位数为 3 ；
（2）若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数 不会 （填“会”或“不会”）发生变化．
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的定义解答即可．
【解答】解：（1）把这组数据从小到大排列为1、3、3、4、4，故中位数为3，
故答案为：3；
（2）原来的一组数据：1，3，4，3，4的平均数为＝3，
所以若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数不会发生变化．
故答案为：不会．
【点评】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
18．（4分）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
（1）a的最大值为 33 ；
（2）所有符合条件的a的和为 80 ．
【分析】（1）根据最简二次根式＝，进行计算即可解答；
（2）根据＝2，＝3，＝4，分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝2，
当a＝33时，＝＝，
与可以合并，
∴a的最大值为33，
故答案为：33；
（2）当a＝27时，＝＝＝2，
2与可以合并，
当a＝17时，＝＝＝3，
3与可以合并，
当a＝3时，＝＝＝4，
4与可以合并，
∴33+27+17+3＝80，
∴所有符合条件的a的和为80，
故答案为：80．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
19．（4分）已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为 800 米；
（2）当x＝ 10 时，甲、乙两人相遇．
【分析】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度＝路程得出结论；
（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×（18﹣2）＝800（米），
故答案为：800；
（2）由图象可知甲的速度：400÷5＝80（米/分），
设经过x分钟，甲、乙两人相遇，
则80x＝400+50（x﹣2），
解得解得x＝10，
∴甲出发8分钟，甲、乙两人相遇，
故答案为：10．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）计算下列各小题．
（1）÷2﹣×；
（2）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）．
【分析】（1）先算乘除，再算加减；
（2）先展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2÷2﹣
＝﹣
＝0；
（2）原式＝27﹣36+12﹣（5﹣4）
＝27﹣36+12﹣1
＝2．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
21．（9分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD＝＝＝5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．
【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B，C作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）若AB＝BC，试判断四边形CDBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）∠ABC＝90°，AB＝BC，先证得△ABC是等腰直角三角形，已知D是AC中点，根据等腰三角形的性质证得BD⊥AC，得出∠BDC＝90°，根据有一个直角的菱形是正方形证得菱形DBEC是正方形．
【解答】证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形DBEC是菱形；
（2）若AB＝BC，则四边形CDBE是正方形，
理由如下：
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴菱形DBEC是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）分别与x轴，y轴交于A（4，0），B两点，与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，求m的取值范围；
（3）若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，求n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由图象及点P的坐标即可求解；
（3）直线l3：y＝﹣x+n过原点和过点A时的n的值，观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）经过点A（4，0），
∴4k1+2＝0，
∴k1＝﹣，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2，
把点P（a，1）代入得1＝﹣a+2，
∴a＝2，
∴点P（2，1），
∵直线l2：y＝k2x（k2≠0）过点P．
∴1＝2k2，
∴k2＝，
∴直线l2的解析式为y＝x；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，则m的取值范围是m＜2；
（3）当直线l3：y＝﹣x+n过原点时，n＝0，
直线l3：y＝﹣x+n过点A时，n＝4，
∴若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，n的取值范围是0＜n＜4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，数形结合是本题的关键．
24．（9分）某校为了解七、八年级学生“引体向上”体能测试的情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的体能测试成绩，并根据测试成绩绘制出如图1所示的条形统计图和图2所示的扇形体计图（成绩均为整数，满分为10分）．
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.7
8
c
0.91
八年级
a
b
9
1.01
（1）七、八年级抽取的学生测试成绩的相关数据如表所示，则表中a＝ 8.7 ，b＝ 9 ，c＝ 9 ；（2）若在七、八年级抽取的学生中，选取一个年级参加学校的“引体向上”体能比赛，从平均数和方差的角度分析，应该选取哪个年级更合适呢？请说明理由；
（3）规定：“引体向上”体能测试成绩在9分以上（包括9分）为“优秀”．若七年级有400名学生，八年级有500名学生，请估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有多少人？
【分析】（1）根据题干中所给的数据求出七年级的中位数、八年级的平均数和众数即可；
（2）根据平均数和方差可判断七年级预防溺水知识掌握更好；
（3）求出两个年级测试成绩成绩在9分以上（包括9分）的人数，再相加即可．
【解答】解：（1）由题意知，七年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数，
∴c＝＝9，
∵八年级7分的有20×15%＝3（人），
8分的有20×25%＝5（人），
10分的有20×＝5（人），
9分的有20﹣3﹣5﹣5＝7（人），
∴平均数a＝＝8.7，
∵八年级测试成绩出现次数最多的是9分，
∴b＝9．
故答案为：8.7，9，9；
（2）七年级更合适．
理由：从平均数看，两个年级是一样的；从方差看，七年级的比八年级的小，所以七年级更合适．
（3）400×+500×＝220+300＝520（人），
∴估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有520人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
25．（10分）某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
（1）求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
（2）若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
（3）在（2）的条件下，设购买B型货车x辆（x≤26），购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
【分析】（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，可得：，即可解得1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元；
（2）设购买B型货车m辆，可得：20（30﹣m）+15m≤500，解得至少可以购买20辆B型货车；
（3）①根据题意得：y＝20（30﹣x）+15x＝﹣5x+600（x≤26）；
②由一次函数性质可得购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元．
【解答】解：（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，
根据题意得：，
解得，
∴1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元；
（2）设购买B型货车m辆，则购买A型货车（30﹣m）辆，
根据题意得：20（30﹣m）+15m≤500，
解得m≥20，
∴至少可以购买20辆B型货车；
（3）①根据题意得：y＝20（30﹣x）+15x＝﹣5x+600（x≤26）；
②在y＝﹣5x+600（x≤26）中，
∵﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝26时，y取最小值，最小值为﹣5×26+600＝470（万元），
此时30﹣x＝30﹣26＝4，
答：购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元．
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式和函数关系式．
26．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E，F为对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，且0≤t≤12．
（1）①对角线AC的长为 12 ；
②用含t的代数式表示线段EF的长；
（2）在点E，F运动过程中，若G，H分别为AD，BC的中点，t≠6．求证：FG∥EH；
（3）在（2）的条件下，若以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，求t的值．
【分析】（1）：①连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，∠DAO＝30°，根据勾股定理求出OA，进而求出AC；
②分0≤t≤6、6＜t≤12两种情况，用t表示出EF；
（2）证明四边形GEFH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（3）连接GH，分0≤t≤6、6＜t≤12两种情况，根据矩形的对角相等列式计算．
【解答】（1）解：①连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，∠DAO＝30°，
∴DO＝AD＝2，
由勾股定理得：OA＝＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
故答案为：12；
②当0≤t≤6时，EF＝12﹣2t，
当6＜t≤12时，EF＝2t﹣12；
（2）证明：∵G，H分别为AD，BC的中点，AD＝BC，
∴AG＝CH，
∵AD∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴GE＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴GE∥FH，
∴四边形GEFH为平行四边形，
∴FG∥EH；
（3）解：连接GH，
∵四边形GEFH为平行四边形，
∴当0≤t≤6，EF＝GH＝4时，平行四边形GEHF为矩形，
此时，12﹣2t＝4，
解得：t＝6﹣2，
当6＜t≤12，EF＝GH＝4时，平行四边形GFHE为矩形，
此时，2t﹣12＝4，
解得：t＝6+2，
综上所述，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，t的值为6﹣2或6+2．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握特殊的判定与性质是解题的关键．
2021-2022学年河北省衡水市武邑县武罗学校八年级（下）期末数学试卷
一.选择题.（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若是最简二次根式，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
2．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购．下面统计量中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
4．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3.2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
6．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣1），B（m，4）两点，则m的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣ C．﹣ D．
7．（3分）已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ）
A．38° B．52° C．62° D．90°
8．（3分）已知点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，则∠OCB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，情况如表所示．则下列说法不正确的是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
A．调查了10户家庭的月用水量
B．小区居民月用水量的平均数是4.6吨
C．小区居民月用水量的中位数是4.5吨
D．小区居民月用水量的众数是4吨
11．（2分）若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
12．（2分）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，进行了如下操作：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，D；
②作直线CD．根据小明的作图步骤可知四边形ADBC的形状一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣2x，直线l2与x轴，y轴分别交于点A，B，OA＝2，且两直线平行，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
14．（2分）若式子在实数范围内有意义，则一次函数y＝kx+3﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
二、填空题.（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分.把答案写在题中横线.上）
17．（4分）已知一组数据：1，3，4，3，4．
（1）这组数据的中位数为 ；
（2）若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数 （填“会”或“不会”）发生变化．
18．（4分）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
（1）a的最大值为 ；
（2）所有符合条件的a的和为 ．
19．（4分）已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为 米；
（2）当x＝ 时，甲、乙两人相遇．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）计算下列各小题．
（1）÷2﹣×；
（2）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）．
21．（9分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B，C作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）若AB＝BC，试判断四边形CDBE的形状，并说明理由．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）分别与x轴，y轴交于A（4，0），B两点，与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，求m的取值范围；
（3）若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，求n的取值范围．
24．（9分）某校为了解七、八年级学生“引体向上”体能测试的情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的体能测试成绩，并根据测试成绩绘制出如图1所示的条形统计图和图2所示的扇形体计图（成绩均为整数，满分为10分）．
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.7
8
c
0.91
八年级
a
b
9
1.01
（1）七、八年级抽取的学生测试成绩的相关数据如表所示，则表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）若在七、八年级抽取的学生中，选取一个年级参加学校的“引体向上”体能比赛，从平均数和方差的角度分析，应该选取哪个年级更合适呢？请说明理由；
（3）规定：“引体向上”体能测试成绩在9分以上（包括9分）为“优秀”．若七年级有400名学生，八年级有500名学生，请估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有多少人？
25．（10分）某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
（1）求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
（2）若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
（3）在（2）的条件下，设购买B型货车x辆（x≤26），购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
26．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E，F为对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，且0≤t≤12．
（1）①对角线AC的长为 ；
②用含t的代数式表示线段EF的长；
（2）在点E，F运动过程中，若G，H分别为AD，BC的中点，t≠6．求证：FG∥EH；
（3）在（2）的条件下，若以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，求t的值．
2021-2022学年河北省衡水市武邑县武罗学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题.（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若是最简二次根式，则m的值可以是（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项，＝2，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购．下面统计量中最值得关注的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵AD是BC边上中线，
∴AD＝AB＝2.5，
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D，AD∥BC，则∠CBE＝∠BEA＝35°，再由角平分线定义得∠ABC＝2∠CBE＝70°，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠BEA＝35°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝70°，
∴∠D＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3.2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【解答】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
6．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣1），B（m，4）两点，则m的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣ C．﹣ D．
【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m的值．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
将A（3，﹣1）代入y＝kx得：﹣1＝3k，
解得：k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
又∵点B（m，4）在正比例函数y＝﹣x的图象上，
∴4＝﹣m，
解得：m＝﹣12．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求出正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．
7．（3分）已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ）
A．38° B．52° C．62° D．90°
【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠A＝90°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝38°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识，证明∠A＝90°是解题的关键．
8．（3分）已知点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜5，可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣1，m），点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+b上，且﹣1＜5，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，则∠OCB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由矩形的性质可得∠COD＝60°，OC＝OD，再根据等边三角形的判定与性质可得∠OCD＝60°，最后由角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩，∠AOB＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠COD＝60°，OC＝OD＝，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠OCD＝30°，
故选：B．
【点评】此题考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
10．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，情况如表所示．则下列说法不正确的是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
A．调查了10户家庭的月用水量
B．小区居民月用水量的平均数是4.6吨
C．小区居民月用水量的中位数是4.5吨
D．小区居民月用水量的众数是4吨
【分析】分别根据平均数、众数和中位数的概念分别求解可得．
【解答】解：A．调查月用水量的户数为2+3+4+1＝10，此选项正确，不符合题意；
B．平均数是＝4.6（吨），此选项正确，不符合题意；
C．中位数是＝4.5（吨），此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的众数为5吨，此选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
11．（2分）若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
【分析】将已知变形，得到x2+8x＝﹣9，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝﹣4，
∴x+4＝，
∴（x+4）2＝7，即x2+8x+16＝7，
∴x2+8x＝﹣9，
∴x2+8x﹣16＝﹣25，
故选：A．
【点评】本题考查与二次根式相关的代数式求值，解题的关键是将已知变形，得到x2+8x＝﹣9．
12．（2分）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，进行了如下操作：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，D；
②作直线CD．根据小明的作图步骤可知四边形ADBC的形状一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【分析】根据四边相等的四边形是菱形判断即可．
【解答】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣2x，直线l2与x轴，y轴分别交于点A，B，OA＝2，且两直线平行，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【分析】由直线l1∥直线l2及点A在直线l2上，可求出直线l2的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，进而可得出OB的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△AOB的面积．
【解答】解：∵直线l1∥直线l2，
∴设直线l2的解析式为y＝﹣2x+b．
∵点A在直线l2上，OA＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴0＝﹣2×（﹣2）+b，
∴b＝﹣4，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣4．
当x＝0时，y＝﹣2×0﹣4＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
∴OB＝4，
∴S△AOB＝OA•OB＝×2×4＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键．
14．（2分）若式子在实数范围内有意义，则一次函数y＝kx+3﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出k的取值范围，再判断出3﹣k的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴k﹣3＞0，
解得k＞3，
∴3﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx+3﹣k的图象过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
15．（2分）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
【分析】易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论Ⅰ正确；
由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项Ⅱ正确；
由△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项Ⅲ错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故Ⅰ正确；
∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝2，
∴△OEF面积的最小值是×2×2＝2，
故Ⅱ正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
故Ⅲ错误；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题.（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分.把答案写在题中横线.上）
17．（4分）已知一组数据：1，3，4，3，4．
（1）这组数据的中位数为 3 ；
（2）若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数 不会 （填“会”或“不会”）发生变化．
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的定义解答即可．
【解答】解：（1）把这组数据从小到大排列为1、3、3、4、4，故中位数为3，
故答案为：3；
（2）原来的一组数据：1，3，4，3，4的平均数为＝3，
所以若添加数据3后组成新数据，则这组新数据的平均数不会发生变化．
故答案为：不会．
【点评】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
18．（4分）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
（1）a的最大值为 33 ；
（2）所有符合条件的a的和为 80 ．
【分析】（1）根据最简二次根式＝，进行计算即可解答；
（2）根据＝2，＝3，＝4，分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝2，
当a＝33时，＝＝，
与可以合并，
∴a的最大值为33，
故答案为：33；
（2）当a＝27时，＝＝＝2，
2与可以合并，
当a＝17时，＝＝＝3，
3与可以合并，
当a＝3时，＝＝＝4，
4与可以合并，
∴33+27+17+3＝80，
∴所有符合条件的a的和为80，
故答案为：80．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
19．（4分）已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为 800 米；
（2）当x＝ 10 时，甲、乙两人相遇．
【分析】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度＝路程得出结论；
（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×（18﹣2）＝800（米），
故答案为：800；
（2）由图象可知甲的速度：400÷5＝80（米/分），
设经过x分钟，甲、乙两人相遇，
则80x＝400+50（x﹣2），
解得解得x＝10，
∴甲出发8分钟，甲、乙两人相遇，
故答案为：10．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）计算下列各小题．
（1）÷2﹣×；
（2）（﹣2）2﹣（+2）（﹣2）．
【分析】（1）先算乘除，再算加减；
（2）先展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2÷2﹣
＝﹣
＝0；
（2）原式＝27﹣36+12﹣（5﹣4）
＝27﹣36+12﹣1
＝2．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
21．（9分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD＝＝＝5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．
【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B，C作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）若AB＝BC，试判断四边形CDBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）∠ABC＝90°，AB＝BC，先证得△ABC是等腰直角三角形，已知D是AC中点，根据等腰三角形的性质证得BD⊥AC，得出∠BDC＝90°，根据有一个直角的菱形是正方形证得菱形DBEC是正方形．
【解答】证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形DBEC是菱形；
（2）若AB＝BC，则四边形CDBE是正方形，
理由如下：
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴菱形DBEC是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）分别与x轴，y轴交于A（4，0），B两点，与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，求m的取值范围；
（3）若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，求n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由图象及点P的坐标即可求解；
（3）直线l3：y＝﹣x+n过原点和过点A时的n的值，观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝k1x+2（k1≠0）经过点A（4，0），
∴4k1+2＝0，
∴k1＝﹣，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2，
把点P（a，1）代入得1＝﹣a+2，
∴a＝2，
∴点P（2，1），
∵直线l2：y＝k2x（k2≠0）过点P．
∴1＝2k2，
∴k2＝，
∴直线l2的解析式为y＝x；
（2）当x＝m时，m满足不等式k1m+2＞k2m，则m的取值范围是m＜2；
（3）当直线l3：y＝﹣x+n过原点时，n＝0，
直线l3：y＝﹣x+n过点A时，n＝4，
∴若直线l3：y＝﹣x+n与△AOP的边有两个公共点，n的取值范围是0＜n＜4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，数形结合是本题的关键．
24．（9分）某校为了解七、八年级学生“引体向上”体能测试的情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的体能测试成绩，并根据测试成绩绘制出如图1所示的条形统计图和图2所示的扇形体计图（成绩均为整数，满分为10分）．
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.7
8
c
0.91
八年级
a
b
9
1.01
（1）七、八年级抽取的学生测试成绩的相关数据如表所示，则表中a＝ 8.7 ，b＝ 9 ，c＝ 9 ；（2）若在七、八年级抽取的学生中，选取一个年级参加学校的“引体向上”体能比赛，从平均数和方差的角度分析，应该选取哪个年级更合适呢？请说明理由；
（3）规定：“引体向上”体能测试成绩在9分以上（包括9分）为“优秀”．若七年级有400名学生，八年级有500名学生，请估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有多少人？
【分析】（1）根据题干中所给的数据求出七年级的中位数、八年级的平均数和众数即可；
（2）根据平均数和方差可判断七年级预防溺水知识掌握更好；
（3）求出两个年级测试成绩成绩在9分以上（包括9分）的人数，再相加即可．
【解答】解：（1）由题意知，七年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数，
∴c＝＝9，
∵八年级7分的有20×15%＝3（人），
8分的有20×25%＝5（人），
10分的有20×＝5（人），
9分的有20﹣3﹣5﹣5＝7（人），
∴平均数a＝＝8.7，
∵八年级测试成绩出现次数最多的是9分，
∴b＝9．
故答案为：8.7，9，9；
（2）七年级更合适．
理由：从平均数看，两个年级是一样的；从方差看，七年级的比八年级的小，所以七年级更合适．
（3）400×+500×＝220+300＝520（人），
∴估计七、八年级该项体能测试成绩“优秀”的共有520人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
25．（10分）某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
（1）求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
（2）若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
（3）在（2）的条件下，设购买B型货车x辆（x≤26），购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
【分析】（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，可得：，即可解得1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元；
（2）设购买B型货车m辆，可得：20（30﹣m）+15m≤500，解得至少可以购买20辆B型货车；
（3）①根据题意得：y＝20（30﹣x）+15x＝﹣5x+600（x≤26）；
②由一次函数性质可得购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元．
【解答】解：（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，
根据题意得：，
解得，
∴1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元；
（2）设购买B型货车m辆，则购买A型货车（30﹣m）辆，
根据题意得：20（30﹣m）+15m≤500，
解得m≥20，
∴至少可以购买20辆B型货车；
（3）①根据题意得：y＝20（30﹣x）+15x＝﹣5x+600（x≤26）；
②在y＝﹣5x+600（x≤26）中，
∵﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝26时，y取最小值，最小值为﹣5×26+600＝470（万元），
此时30﹣x＝30﹣26＝4，
答：购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元．
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式和函数关系式．
26．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E，F为对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，且0≤t≤12．
（1）①对角线AC的长为 12 ；
②用含t的代数式表示线段EF的长；
（2）在点E，F运动过程中，若G，H分别为AD，BC的中点，t≠6．求证：FG∥EH；
（3）在（2）的条件下，若以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，求t的值．
【分析】（1）：①连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，∠DAO＝30°，根据勾股定理求出OA，进而求出AC；
②分0≤t≤6、6＜t≤12两种情况，用t表示出EF；
（2）证明四边形GEFH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（3）连接GH，分0≤t≤6、6＜t≤12两种情况，根据矩形的对角相等列式计算．
【解答】（1）解：①连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，∠DAO＝30°，
∴DO＝AD＝2，
由勾股定理得：OA＝＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
故答案为：12；
②当0≤t≤6时，EF＝12﹣2t，
当6＜t≤12时，EF＝2t﹣12；
（2）证明：∵G，H分别为AD，BC的中点，AD＝BC，
∴AG＝CH，
∵AD∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴GE＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴GE∥FH，
∴四边形GEFH为平行四边形，
∴FG∥EH；
（3）解：连接GH，
∵四边形GEFH为平行四边形，
∴当0≤t≤6，EF＝GH＝4时，平行四边形GEHF为矩形，
此时，12﹣2t＝4，
解得：t＝6﹣2，
当6＜t≤12，EF＝GH＝4时，平行四边形GFHE为矩形，
此时，2t﹣12＝4，
解得：t＝6+2，
综上所述，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，t的值为6﹣2或6+2．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握特殊的判定与性质是解题的关键．
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