高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一等奖教案

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

【素养目标】

1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2.记住集合元素的特性以及常用数集；

3.会用集合元素的特性解决相关问题．

【重点】

用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．

【难点】

集合元素特性的应用．

1.1.1 集合的含义

要点整合夯基础

基础知识

知识点一元素与集合的含义

思考1：以下对象的全体能否构成集合？

(1)河北《红对勾》书业的员工；

(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；

(3)一次函数的图象上的若干个点；

(4)不超过的非负数．

提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．

(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．

(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合．

(4)任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“”与“或”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成一个集合．

思考2：若集合由,与三个元素组成，则的取值有限制吗？为什么？

提示：有限制，且.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．

知识点二  元素与集合的关系

如果是集合中的元素，就说属于(belong to)集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于(not belong to)集合，记作.

思考3：若集合是由元素,,,所组成的集合，问与,与有什么关系？

提示：,.

知识点三  常用数集及表示

思考4：常用的数集符号，，有什么区别？

提示：(1)为非负整数集(即自然数集)，而或表示正整数集，不同之处就是包括元素，而或不包括元素.

(2)和的含义是一样的，初学者往往误记为或，为避免出错，对于和可形象地记为“星星()在天上，十字架(＋)在地下”．

思考5：用符号“”或“”填空．

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5).

典例讲练破题型

题型探究

类型一  集合的概念

【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______．

(1)所有的正三角形；

(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题；

(3)比较接近的正数全体；

(4)某校高一年级的岁以下的学生；

(5)平面直角坐标系内到原点距离等于的点的集合；

(6)参加里约奥运会的年轻运动员．

【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；

(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；

(3)不能构成集合．因“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；

(4)能构成集合．其中的元素是“岁以下的学生”；

(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于的点”；

(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．

【通法提炼】

判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.

【变式训练1】下列对象能组成集合的是(  )

A.的所有近似值

B.某个班级中学习好的所有同学

C.年全国高考数学试卷中所有难题

D.屠呦呦实验室的全体工作人员

【解析】D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．

类型二  集合中元素的特性

命题视角1：集合元素的互异性

【例2】已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值．

【分析】本题中已知集合中有两个元素且，根据集合中元素的特点需分或两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异性．

根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．

【解析】若，则或，即.

当时，，集合有一个元素，∴.

当时，集合含有两个元素，，符合互异性．

∴.

【通法提炼】

当一个集合中的元素含字母时，可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.

【变式训练2】(1)若集合中的三个元素是的三边长，则一定不是( D )

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

(2)由,,组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值可以是( C )

A． B．

C． D．

【解析】(1)集合中任何两个元素不相同．

(2)由题意知,，，解得，且.结合选项知C正确．故选C

命题视角2：集合元素的无序性

【例3】集合中含有三个元素，，，集合中含有三个元素，，，若，两个集合相等，求的值．

【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出，的关系式，解出与，再求的值．

【解析】由两个集合相等易知，，故，且或.

若，由得，经验证，符合题意；

若，则，结合，可知，不符合题意．

综上知，.

所以.

【通法提炼】

两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.

【变式训练3】集合由,,,四个元素组成，已知实数，，那么的不同值有( B )

A．个 B．个C．个 D．个

【解析】，是集合的元素，的值会因，的顺序不同而不同．，所取的值按顺序分别为：,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,，其对应的有个不同的值．

类型三  元素与集合的关系

【例4】(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.

其中正确的个数为( B )

A．  B．C． D．

(2)集合中的元素满足，，则集合中的元素为________．

【解析】(1)是实数；是无理数；是自然数；是无理数；是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．

(2)由，知，，且，故.又，故.

当时，，当时，，

当时,.故集合中的元素为.

【通法提炼】

判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.

【变式训练4】已知不等式的解集为.

(1)试判断元素,与集合的关系；

(2)若是集合中的元素，求的取值范围．

【解析】(1)∵，∴不是集合中的元素，∴.

又，∴是集合中的元素，∴.

(2)∵，∴.∴，∴.

课堂达标练经典

1．下列各组对象不能构成集合的是(B)

A．某中学所有身高超过米的大个子

B．约等于的实数

C．某市全体中学生

D．北京大学建校以来的所有毕业生

【解析】由于“约等于”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合．

2．下列命题中，正确命题的个数是(C  )

①集合中最小的数是；②若，则；

③若，，则的最小值是；④的解集是．

A．     B．     C．     D．

【解析】是正整数集，最小的正整数是，故①正确；当时，，，故②错误；若，则的最小值是，同理，，的最小值也是，∴当和都取最小值时，取最小值，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．

3．已知，是非零实数，代数式的值组成的集合是，则下列判断正确的是(  B )

A． B．C． D．

【解析】当，全为正数时，代数式的值是；当，全是负数时，代数式的值是；当，是一正一负时，代数式的值是.综上可知B正确．

4．集合由元素和构成，集合是方程的解，若，则____.

【解析】∵，∴方程的解是或.

∴，，∴.

5．已知集合由，两个元素构成，若，求的值．

【解析】∵，∴或.

①若，则或.

当时，，此时集合中含有两个，因此应舍去．

当时，，满足题意．

②若，则或(舍去)．

当时，，满足题意．

综上可知或.

课时作业

A组  素养自测

一、选择题

1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )

①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于的正整数；④的所有近似值．

A．①② B．③④

C．②③ D．①③

【解析】①④不符合集合中元素的确定性．故选C．

2．若集合只含有元素，则下列各式正确的是( C )

A． B．

C．D．

【解析】由题意知中只有一个元素，∴，，元素与集合的关系不应该用“＝”，故选C．

3．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为( C )

A． B．C． D．

【解析】方程的解为或，的解为或，所以集合中含有个元素．

4．由实数，，，，所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )

A． B．C． D．

【解析】∵，，故当时，这几个实数均为；当时，它们分别是，，，，；当，它们分别是，，，，.最多表示个不同的数，故集合中的元素最多为个．

5．设，且，则的值可能是( B )

A． B．

C． D．或

【解析】∵，∴排除C；，而无意义，排除A、D，故选B．

6．如果集合中含有三个元素,,，若，且，那么为( B )

A． B．或

C． D．

【解析】∵，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴，故或.

二、填空题

7．设表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“”或“”)．

【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．

8．设直线上的点集为，点与点集的关系为____(填“”或“”)．

【解析】直线上的点的横坐标和纵坐标满足关系：，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当时，，∴.

9．已知集合含有三个元素,，，若，则实数的值为____.

【解析】因为，所以或或，

解得,,.经检验，只有时，满足集合元素的互异性．

三、解答题

10．记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．

【解析】因为，所以，解得.解方程，即，得或.故含有两个元素,.

11．由，，组成的集合与由，,组成的集合是同一个集合，求的值．

【解析】由，，组成一个集合，可知，，由题意可得，即，此时两集合中的元素分别为,,和，,，因此，解得或(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此，且，所以.

B组  素养提升

一、选择题

1．如果、、、为集合的四个元素，那么以、、、为边长构成的四边形可能是( D )

A．矩形 B．平行四边形

C．菱形 D．梯形

【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故、、、四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．

2．已知集合是由，，三个元素组成的集合，且，则实数的值为( B )

A． B．

C．或 D．或或

【解析】因为，所以，或，解得或.又集合中的元素要满足互异性，对的所有取值进行一一检验可得，故选B．

3．(多选题)已知集合中元素满足，，则下列表示正确的是( BC )

A． B．

C． D．

【解析】令，解得，，∴；

令，

解得，，∴；

∵，∴；

令，解得，，

∴．故选BC．

4．已知，都是非零实数，可能的取值组成的集合为，则下列判断正确的是( B )

A．，B．，

C．， D．，

【解析】当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，.

所以，．故选B．

二、填空题

5．用适当的符号填空：

已知，，则____；____；____．

【解析】令，得,，所以；令，得，，所以；令，得,，所以．

6．若，且集合中只含有一个元素，则的值为 ____.

【解析】由题意，得，

∴且，∴.

7．(2019·江苏泰州期末)集合中含有两个元素和，集合中含有两个元素和，若，相等，则实数的值为____，的值为____.

【解析】因为集合，相等，所以或.

①当时，，此时集合中的两个元素为和，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

②当时，，解得或，由①知应舍去，经检验，符合题意，

综上可知，，.

三、解答题

8．已知集合中含有两个元素和.

(1)若是集合中的元素，试求实数的值；

(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．

【解析】(1)因为是集合中的元素，

所以或.

若，则，

此时集合含有两个元素,，符合要求；

若，则，

此时集合中含有两个元素，，符合要求．

综上所述，满足题意的实数的值为或.

(2)不能．理由：若为集合中的元素，则或.

当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；

当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．

综上，不能为集合中的元素．

9．已知集合．

(1)试分别判断，，与集合的关系；

(2)设，证明：．

【解析】(1)，因为，所以；

，因为，但，所以；

，因为，所以．

(2)因为，所以可设，，且，

所以

．

因为，，所以．

课堂小结

本课堂需掌握的三个问题：

1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．

2．关于特定集合，，，，等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．

3．对于一个元素与一个集合而言，只有“”与“”这两种结果，“”与“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．