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四川省南充市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份四川省南充市2022年中考数学试卷解析版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省南充市2022年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果为5的是（ ）
A．-（+5） B．+（-5） C．-（-5） D．-|-5|
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：A、-（+5）=-5，故A不符合题；
B、+（-5）=-5，故B不符合题意；
C、-（-5）=5，故C符合题意；
D、-∣-5∣=-5，负D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多重符号的化简方法：一个数前面有偶数个“－”号，结果为正，一个数前面有奇数个“－”号，结果为负，逐项进行判断，即可得出答案。
2．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B’恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质得：∠B'AC'=∠BAC=60°，
∴∠BAC'=180°-∠B'AC'-∠BAC=60°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAC=60°，由旋转的性质得出∠B'AC'=∠BAC=60°，再利用∠BAC'=180°-∠B'AC'-∠BAC，即可得出答案.
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．5a-3a=2 B．6a÷2a= 3a
C．a6÷a3=a2 D．（2a2b3）3=8a6b9
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、5a-3a=2a，故A不符合题意；
B、6a÷2a=3，故B不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、（2a2b3）3=8a6b9，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则进行计算，即可得出答案.
4．《孙子算经》中有“鸡兔同笼"问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x+2（94-x）=35 B．4x+2（35-x）=94
C．2x+4（94-x）=35 D．2x+4（35-x）=94
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解： 设鸡有x只，
根据题意得：2x+4（35-x）=94，
故答案为：D.
【分析】设鸡有x只，得出兔有（35-x）只，再根据鸡的足数+兔的足数=94，列出方程，即可得出答案.
5．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE=AF B．∠EAF=∠CBF C．∠F=∠EAF D．∠C=∠E
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△ABF是等边三角形，
∴AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=135°，AF=AB，∠F=∠FAB=∠FBA=60°，
∴AE=AF，∠EAF=∠CBF=75°，∠F≠∠EAF，
故ABD正确，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据正五边形和等边三角形的性质得出AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=135°，AF=AB，∠F=∠FAB=∠FBA=60°，从而得出AE=AF，∠EAF=∠CBF=75°，∠F≠∠EAF，即可得出答案.
6．为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：∵5+11+6=22，
∴50个数据中第25，26个数据都是10，
∴这组数据的中位数为10，
∴与被遮盖的数据无关的是中位数.
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义得出这组数据的中位数为10，即可得出答案.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠C=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF=3，
∴CE=DE2-CD2=4，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9，
∵∠C=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴AF=AC=9，
∵DE∥AB，
∴DEAB=CEAC，
∴5AB=49，
∴AB=454，
∴BF=454-9=94，
∴BCD正确，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DF=3，根据勾股定理得出CE=4，根据等角对等边的性质得出AE=DE=5，从而得出AC=9，再根据平行线分线段成比例定理得出DEAB=CEAC，得出AB=454，从而得出BF=94，即可得出答案.
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点点F，∠BOF=65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵OF⊥BC于点点F，OC=OB，
∴∠COF=∠BOF=65°，
∴∠AOC=50°，
∵CD⊥AB于点E，OC=OD，
∴∠AOD=∠AOC=50°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠COF=∠BOF=65°，∠AOD=∠AOC，根据平角的性质得出∠AOC=50°，即可得出答案.
9．已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 (1a+1b)2÷(1a2−1b2) 的值是（ ）
A．5 B．−5 C．55 D．−55
【答案】B
【知识点】分式的混合运算；利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：∵a2+b2=3ab，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=5ab，（a-b）2=a2+b2-2ab=ab，
∵a>b>0，
∴a+b=5ab，b-a=-ab，
∴原式=a+bab2÷b2-a2a2b2=a+b2a2b2·a2b2a+bb-a=a+bb-a=5ab-ab=-5.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=5ab，b-a=-ab，再利用分式混合运算顺序和法则把原式进行化简，再把a+b=5ab，b-a=-ab代入进行计算，即可得出答案.
10．已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y=mx2-2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2>4且x12 D．m<-2
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y=mx2-2m2x+n（m≠0）上，
∴y1=mx12-2m2x1+n，y2=mx22-2m2x2+n，
∵ x1
∴（mx12-2m2x1+n）-（mx22-2m2x2+n）＜0，
∴m（ x1+x2-2m）＞0，
∴m＞0x1+x2-2m＞0或m＜0x1+x2-2m＜0，
∵ x1+x2>4 ，
∴m＞0且2m≤4，
∴0＜m≤2.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出y1-y2＜0， x1-x2＜0，得出m（ x1+x2-2m）＞0，得出m＞0x1+x2-2m＞0或m＜0x1+x2-2m＜0，再故 x1+x2>4 ，得出m＞0且2m≤4，即可的得出0＜m≤2.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．比较大小：2-2 30．（选填>，=，<）
【答案】＜
【知识点】有理数大小比较；0指数幂的运算性质；负整数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：∵2-2=14，30=1， ∴2-2＜30=1，
故答案为：＜.
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的性质进行计算，再比较大小，即可得出答案.
12．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是
【答案】13
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6张卡片，其中是物理变化的卡片有2张卡片， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是26=13.
故答案为：13.
【分析】利用概率公式进行计算，即可得出答案.
13．数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC， BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AC， BC的中点， ∴DE=12AB， ∴AB=2DE=2×10=20m， ∴A，B两点的距离是20m.
故答案为：20.
【分析】根据三角形的中位线定理得出DE=12AB，得出AB=2DE=20m，即可得出答案.
14．若 8−x 为整数，x为正整数，则x的值是
【答案】8或7或4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵8-x为整数， x为正整数， ∴8-x=0或1或4， ∴x=8或7或4， 故答案为：8或7或4.
【分析】根据题意得出8-x=0或1或4，求出x的值，即可得出答案.
15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设水柱落点距O点2.5m的抛物线的解析式为y1=a（x-h）2+k，
∴ah2+k=2.5a2.5-h2+k=0，
∴5ah-6.25a=2.5，
∵水柱落点距O点3m的抛物线的解析式为y2=a（x-h）2+k+1.5，
∴ah2+k+1.5=4a3-h2+k+1.5=0，
∴6ah-9a=4，
∴a=-23，8ah=-83，
设水柱落点距O点4m的抛物线的解析式为y3=a（x-h）2+k+k3，
∴a（4-h）2+k+k3=0，
∴16a-8ah+ah2+k+k3=0，
∴16×（-23）-（-83）+2.5+k3=0，
∴k3=5.5，
∴2.5+5.5=8，
∴喷头高8m时，水柱落点距O点4m．
故答案为：8.
【分析】设水柱落点距O点2.5m的抛物线的解析式为y1=a（x-h）2+k，则水柱落点距O点3m的抛物线的解析式为y2=a（x-h）2+k+1.5，得出ah2+k=2.5，a=-23，8ah=-83，再设水柱落点距O点4m的抛物线的解析式为y3=a（x-h）2+k+k3，得出16a-8ah+ah2+k+k3=0，求出k3=5.5，即可得出喷头高8m时，水柱落点距O点4m．
16．如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为 2 ；④当∠ADE = 30°时，△A1BE的面积为起 3−36 ，其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转的性质得： A1B= A2B，∠A1BA2=90°，
∴∠ABA1+∠A1BC=∠A2BC+∠A1BC=90°，
∴∠ABA1=∠A2BC，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），
∴①说法正确；
②如图，过点D作DF⊥A1C于点F，
∵DC=DA1，
∴∠CDF=∠A1DF，
∵∠ADE=∠A1DE，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
又∵∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，
∴∠CDF=∠A1CB，
∴∠ADE+∠A1CB=45°，
∴②说法正确；
③如图，连接PA、PC，
∵A1和A关于DE对称，
∴PA1=PA，
∴PA1+PC=PA+PC，
当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，
∴PA1+PC最短为2，
∴③说法正确；
④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，
∵∠ADE=30°，
∴AD=3AE，
∴AE=33，
∴EB=1-33=3-33，
又∵A1A⊥DE，
∴∠DAA1=60°，
∴∠A1AG=30°，AA1=AD=1，
∴A1G=12AA1=12，
∴△A1BE面积=12EB·A1G=12×3-33×12=3-312，
∴④说法错误.
故正确答案为：①②③.
【分析】由正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，由旋转的性质得 A1B= A2B，∠A1BA2=90°，从而推出∠ABA1=∠A2BC，即可证出△ABA1≌△CBA2；如图，过点D作DF⊥A1C于点F，由旋转性质及正方形性质推出∠ADE+∠CDF=45°，再由∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，推出∠CDF=∠A1CB，从而得到∠ADE+∠A1CB=45°；③如图，连接PA、PC，由折叠性质可知A1和A关于DE对称，从而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短为2；④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，利用正方形性质及含30° 角直角三角形的性质可求得AE=33，即得EB=1-33=3-33，再由A1A⊥DE，从而得∠DAA1=60°，进而得到∠A1AG=30°，AA1=AD=1，再含30° 角直角三角形的性质可求得A1G=12AA1=12，最后由三角形的面积公式得△A1BE面积=12EB·A1G，代入数据计算即可求得△A1BE面积，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．先化简，再求值：
（x+2）（3x-2）-2x（x+2），其中x= 3 -1．
【答案】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1）2﹣4＝﹣2 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE=BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：
（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME=NF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
DA=DC∠DAE=∠DCFAE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵AD=CD，
∴∠DAM＝∠DCN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，从而得出AE=CF，再利用SAS即可证出△ADE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，根据等腰三角形的性质得出∠DAM＝∠DCN，从而得出∠DMN＝∠DNM，得出DM＝DN，即可得出ME＝NF．
19．为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a= ，b=
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 度．
（3）在月末的展示活动中，“C"项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有 2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率、
【答案】（1）20；10
（2）108
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示，
根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，
则这两人来自不同班级的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：∵参加项目A的学生人数为5人，占比为10%， ∴参加项目的学生总人数为5÷10%=50人， ∴参加项目B的学生人数占比为15÷50=30%， ∴参加项目C的学生人数为a=50×（1-10%-20%-30%）=20人；
参加项目D的学生人数为b=50-5-15-20=10人.
根据答案为：20、10；
（2） B项目所对应的扇形圆心角为360°×30%=108°， 故答案为：108；
【分析】（1）根据参加项目A的学生人数为5人，占比为10%，求出参加项目的学生总人数为50人，再求出参加项目B的学生人数占比为30%，从而得出参加项目C的学生人数占比为40%，即可得出a，b的值；
（2）用360°乘以参加项目B的学生人数占比，列式进行计算，即可得出答案；
（3）画出树状图，得出共有25种等可能的情况数，找出这两人来自不同班级的有12种，再根据概率公式进行计算，即可得出答案.
20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，者（x1+1）（x2+1）=-1，求k的值．
【答案】（1）解：∵ 一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴∆=32-4（k-2）≥0，
∴k≤174；
（2）解：∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出32-4（k-2）≥0，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x1＝-3，x1x2＝k-2，再把（x1+1）（x2+1）=-1变形为x1x2+（x1+x2）+1＝-1，代入得出方程k-2+（-3）+1＝-1，即可得出k的值.
21．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，-2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC；
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积
【答案】（1）解：设双曲线的解析式为y＝ ，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝ ，
解得k＝6，
∴y＝ ，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝ 上，
∴﹣2＝ ，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得 ，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）解：作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝ ，
∴直线BO的解析式为y＝ x，
，
解得 或 ，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣ ﹣ ﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入解析式，求出m的值，得出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可得出答案；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，利用待定系数法得出直线OB的解析式，再联立方程组，求出方程组的解，得出点C的坐标，利用S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC，列式进行计算，即可得出答案.
22．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE=OA，sin∠BAC= 45 ，求tan∠CEO的值
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H，
∵sin∠BAC＝BCAB=45，
∴设BC＝4k，AB＝5k，
∴AC＝3k，OA=12AB=52k，
∴CE=OA=52k，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，
∴OH＝12AC＝32k，
∴EH＝CE-CH＝52k﹣2k＝12k，
∴tan∠CEO＝OHEH=32k12k=3.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OC，证出OC⊥CD，再根据切线的判定定理即可得出CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义得出BCAB=45，设BC＝4k，AB＝5k，得出AC=3k，CE=OA=52k，根据垂径定理得出CH＝2k，根据三角形中位线定理得出OH＝12AC＝32k，从而得出EH＝CE-CH=12k，再根据锐角三角函数的定义得出tan∠CEO＝OHEH=32k12k=3.
23．南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润=售价-进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260，
答：a的值为260．
（2）解：设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）× ×200+（100﹣y﹣80）× ×200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，解方程即可求出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，购进真丝围巾（300﹣x）件，根据题意列出不等式，解不等式求出x的取值范围，再列出利润W和x的函数关系式，再根据一次函数的性质进行解答，即可得出答案；
（3）设每件真丝围巾降价y元，根据题意列出不等式，解不等式求出y的取值范围，即可得出答案.
24．如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP= 12 AB．
（1）判断△ABP的形状，并说明理由．
（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN=AN．
（3）点Q在边AD上，AB=5，AD=4，DQ= 85 ，当∠CPQ=90°时，求DM的长．
【答案】（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB＝ AB，
∵OP＝ AB，
∴OP＝OA＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，
∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，
∴∠APO+∠BPO＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△ABP是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，
∴△ADM≌△QCM（ASA），
∴AD＝CQ＝BC，
∵∠BPQ＝90°，
∴PC＝ BQ＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠OPB＝∠OBP，
∴∠OBC＝∠OPC＝90°，
∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°，
∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APN＝∠PAN，
∴PN＝AN；
（3）解：分两种情况：
①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，
设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+ ，BH＝AG＝4﹣ ﹣a＝ ﹣a，
∵PG∥DM，
∴△AGP∽△ADM，
∴ ＝ ，即 ，
∴PG＝ x﹣ ax，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠CPH+∠QPG＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠QPG＝∠PCH，
∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即 ＝ ，
∴PH•PG＝QG•CH，
同理得：∠APG＝∠PBH，
∴tan∠APG＝tan∠PBH，即 ＝ ，
∴PG•PH＝AG•BH＝AG2，
∴AG2＝QG•CH，即（ ﹣a）2＝a（ +a），
∴a＝ ，
∵PG•PH＝AG2，
∴（ x﹣ x）•（5﹣ x+ x）＝（ ﹣ ）2，
解得：x1＝12（舍），x2＝ ，
∴DM＝ ；
②如图3，当M在DC的延长线上时，同理得：DM＝12，
综上，DM的长是 或12．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意得出OP＝OA＝OB，根据等腰三角形的性质得出∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，从而得出∠APO+∠BPO＝90°，即可得出△ABP是直角三角形；
（2）延长AM，BC交于点Q，先证出△ADM≌△QCM，得出AD＝CQ＝BC，根据直角三角形斜边中线定理得出PC＝12BQ＝BC，得出∠OBC＝∠OPC＝90°，从而得出∠APN＝∠PAN，即可得出PN＝AN；
（3）分两种情况讨论：①点M在CD上时，当M在DC的延长线上时，利用相似三角形的判定与性质分别求出DM的长，即可得出答案.
25．抛物线y= 13 x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， ▱ BCPQ顶点P在抛物线上，如果 ▱ BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=20N，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标。
【答案】（1）解：由题意得，
，
∴ ，
∴y＝ ﹣ ；
（2）解：如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+b，
由 ＝x+b得，
x2﹣4x﹣3（b+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（b+4）＝4，
∴b＝﹣ ，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣ ，
∴x＝2，y＝﹣ ，
∴P1（2，﹣ ），
∵E（0，﹣ ），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣ ）），
即（0，﹣ ），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴P2（2﹣2 ，﹣2 ﹣ ），P3（2+2 ，2 ﹣ ），
综上所述：点P（2，﹣ ）或（2﹣2 ，﹣2 ﹣ ）或（2+2 ，2 ﹣ ）；
（3）解：如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为： ，
∴OH＝ ，
∵MH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴ ，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴ ＝ ，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴ ＝2• ，
∴EF＝ ，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝ ，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝ ﹣ ﹣4＝ ，
∴M（﹣4， ）．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，设直线l的解析式为y＝x+b，根据直线y＝x+b与抛物线相切得出b=-163，从而得出方程x2-4x+4＝0，直线l的解析式为y＝x-163，求出x=2，y=-103，得出P1（2，-103），再求出直线m的解析式为y＝x-83，与抛物线的解析式联立方程组，求出方程组的解，得出P的坐标，即可得出答案；
（3）作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，证出△BHN∽△BFD，△OMG∽△ONH，得出DF＝2NH，MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，从而得出KF＝MG＝DF，再根据锐角三角函数定义得出EF＝12（4-a），再证出△DEF∽△DMK，得出EFMK=DFDK，求出a的值，从而得出G的坐标为（-4，0），再把x=-4代入抛物线的解析式求出y=83，即可得出M的坐标 .
四川省南充市2022年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果为5的是（ ）
A．-（+5） B．+（-5） C．-（-5） D．-|-5|
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：A、-（+5）=-5，故A不符合题；
B、+（-5）=-5，故B不符合题意；
C、-（-5）=5，故C符合题意；
D、-∣-5∣=-5，负D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多重符号的化简方法：一个数前面有偶数个“－”号，结果为正，一个数前面有奇数个“－”号，结果为负，逐项进行判断，即可得出答案。
2．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B’恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
由旋转的性质得：∠B'AC'=∠BAC=60°，
∴∠BAC'=180°-∠B'AC'-∠BAC=60°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAC=60°，由旋转的性质得出∠B'AC'=∠BAC=60°，再利用∠BAC'=180°-∠B'AC'-∠BAC，即可得出答案.
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．5a-3a=2 B．6a÷2a= 3a
C．a6÷a3=a2 D．（2a2b3）3=8a6b9
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、5a-3a=2a，故A不符合题意；
B、6a÷2a=3，故B不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、（2a2b3）3=8a6b9，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则进行计算，即可得出答案.
4．《孙子算经》中有“鸡兔同笼"问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x+2（94-x）=35 B．4x+2（35-x）=94
C．2x+4（94-x）=35 D．2x+4（35-x）=94
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解： 设鸡有x只，
根据题意得：2x+4（35-x）=94，
故答案为：D.
【分析】设鸡有x只，得出兔有（35-x）只，再根据鸡的足数+兔的足数=94，列出方程，即可得出答案.
5．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE=AF B．∠EAF=∠CBF C．∠F=∠EAF D．∠C=∠E
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△ABF是等边三角形，
∴AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=135°，AF=AB，∠F=∠FAB=∠FBA=60°，
∴AE=AF，∠EAF=∠CBF=75°，∠F≠∠EAF，
故ABD正确，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据正五边形和等边三角形的性质得出AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=135°，AF=AB，∠F=∠FAB=∠FBA=60°，从而得出AE=AF，∠EAF=∠CBF=75°，∠F≠∠EAF，即可得出答案.
6．为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：∵5+11+6=22，
∴50个数据中第25，26个数据都是10，
∴这组数据的中位数为10，
∴与被遮盖的数据无关的是中位数.
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义得出这组数据的中位数为10，即可得出答案.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠C=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF=3，
∴CE=DE2-CD2=4，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9，
∵∠C=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴AF=AC=9，
∵DE∥AB，
∴DEAB=CEAC，
∴5AB=49，
∴AB=454，
∴BF=454-9=94，
∴BCD正确，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DF=3，根据勾股定理得出CE=4，根据等角对等边的性质得出AE=DE=5，从而得出AC=9，再根据平行线分线段成比例定理得出DEAB=CEAC，得出AB=454，从而得出BF=94，即可得出答案.
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点点F，∠BOF=65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵OF⊥BC于点点F，OC=OB，
∴∠COF=∠BOF=65°，
∴∠AOC=50°，
∵CD⊥AB于点E，OC=OD，
∴∠AOD=∠AOC=50°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠COF=∠BOF=65°，∠AOD=∠AOC，根据平角的性质得出∠AOC=50°，即可得出答案.
9．已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 (1a+1b)2÷(1a2−1b2) 的值是（ ）
A．5 B．−5 C．55 D．−55
【答案】B
【知识点】分式的混合运算；利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：∵a2+b2=3ab，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=5ab，（a-b）2=a2+b2-2ab=ab，
∵a>b>0，
∴a+b=5ab，b-a=-ab，
∴原式=a+bab2÷b2-a2a2b2=a+b2a2b2·a2b2a+bb-a=a+bb-a=5ab-ab=-5.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=5ab，b-a=-ab，再利用分式混合运算顺序和法则把原式进行化简，再把a+b=5ab，b-a=-ab代入进行计算，即可得出答案.
10．已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y=mx2-2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2>4且x1
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y=mx2-2m2x+n（m≠0）上，
∴y1=mx12-2m2x1+n，y2=mx22-2m2x2+n，
∵ x1
∴（mx12-2m2x1+n）-（mx22-2m2x2+n）＜0，
∴m（ x1+x2-2m）＞0，
∴m＞0x1+x2-2m＞0或m＜0x1+x2-2m＜0，
∵ x1+x2>4 ，
∴m＞0且2m≤4，
∴0＜m≤2.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出y1-y2＜0， x1-x2＜0，得出m（ x1+x2-2m）＞0，得出m＞0x1+x2-2m＞0或m＜0x1+x2-2m＜0，再故 x1+x2>4 ，得出m＞0且2m≤4，即可的得出0＜m≤2.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．比较大小：2-2 30．（选填>，=，<）
【答案】＜
【知识点】有理数大小比较；0指数幂的运算性质；负整数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：∵2-2=14，30=1， ∴2-2＜30=1，
故答案为：＜.
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的性质进行计算，再比较大小，即可得出答案.
12．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是
【答案】13
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6张卡片，其中是物理变化的卡片有2张卡片， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是26=13.
故答案为：13.
【分析】利用概率公式进行计算，即可得出答案.
13．数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC， BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AC， BC的中点， ∴DE=12AB， ∴AB=2DE=2×10=20m， ∴A，B两点的距离是20m.
故答案为：20.
【分析】根据三角形的中位线定理得出DE=12AB，得出AB=2DE=20m，即可得出答案.
14．若 8−x 为整数，x为正整数，则x的值是
【答案】8或7或4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵8-x为整数， x为正整数， ∴8-x=0或1或4， ∴x=8或7或4， 故答案为：8或7或4.
【分析】根据题意得出8-x=0或1或4，求出x的值，即可得出答案.
15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设水柱落点距O点2.5m的抛物线的解析式为y1=a（x-h）2+k，
∴ah2+k=2.5a2.5-h2+k=0，
∴5ah-6.25a=2.5，
∵水柱落点距O点3m的抛物线的解析式为y2=a（x-h）2+k+1.5，
∴ah2+k+1.5=4a3-h2+k+1.5=0，
∴6ah-9a=4，
∴a=-23，8ah=-83，
设水柱落点距O点4m的抛物线的解析式为y3=a（x-h）2+k+k3，
∴a（4-h）2+k+k3=0，
∴16a-8ah+ah2+k+k3=0，
∴16×（-23）-（-83）+2.5+k3=0，
∴k3=5.5，
∴2.5+5.5=8，
∴喷头高8m时，水柱落点距O点4m．
故答案为：8.
【分析】设水柱落点距O点2.5m的抛物线的解析式为y1=a（x-h）2+k，则水柱落点距O点3m的抛物线的解析式为y2=a（x-h）2+k+1.5，得出ah2+k=2.5，a=-23，8ah=-83，再设水柱落点距O点4m的抛物线的解析式为y3=a（x-h）2+k+k3，得出16a-8ah+ah2+k+k3=0，求出k3=5.5，即可得出喷头高8m时，水柱落点距O点4m．
16．如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为 2 ；④当∠ADE = 30°时，△A1BE的面积为起 3−36 ，其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转的性质得： A1B= A2B，∠A1BA2=90°，
∴∠ABA1+∠A1BC=∠A2BC+∠A1BC=90°，
∴∠ABA1=∠A2BC，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），
∴①说法正确；
②如图，过点D作DF⊥A1C于点F，
∵DC=DA1，
∴∠CDF=∠A1DF，
∵∠ADE=∠A1DE，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
又∵∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，
∴∠CDF=∠A1CB，
∴∠ADE+∠A1CB=45°，
∴②说法正确；
③如图，连接PA、PC，
∵A1和A关于DE对称，
∴PA1=PA，
∴PA1+PC=PA+PC，
当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，
∴PA1+PC最短为2，
∴③说法正确；
④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，
∵∠ADE=30°，
∴AD=3AE，
∴AE=33，
∴EB=1-33=3-33，
又∵A1A⊥DE，
∴∠DAA1=60°，
∴∠A1AG=30°，AA1=AD=1，
∴A1G=12AA1=12，
∴△A1BE面积=12EB·A1G=12×3-33×12=3-312，
∴④说法错误.
故正确答案为：①②③.
【分析】由正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，由旋转的性质得 A1B= A2B，∠A1BA2=90°，从而推出∠ABA1=∠A2BC，即可证出△ABA1≌△CBA2；如图，过点D作DF⊥A1C于点F，由旋转性质及正方形性质推出∠ADE+∠CDF=45°，再由∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，推出∠CDF=∠A1CB，从而得到∠ADE+∠A1CB=45°；③如图，连接PA、PC，由折叠性质可知A1和A关于DE对称，从而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短为2；④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，利用正方形性质及含30° 角直角三角形的性质可求得AE=33，即得EB=1-33=3-33，再由A1A⊥DE，从而得∠DAA1=60°，进而得到∠A1AG=30°，AA1=AD=1，再含30° 角直角三角形的性质可求得A1G=12AA1=12，最后由三角形的面积公式得△A1BE面积=12EB·A1G，代入数据计算即可求得△A1BE面积，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．先化简，再求值：
（x+2）（3x-2）-2x（x+2），其中x= 3 -1．
【答案】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1）2﹣4＝﹣2 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE=BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：
（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME=NF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
DA=DC∠DAE=∠DCFAE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵AD=CD，
∴∠DAM＝∠DCN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，从而得出AE=CF，再利用SAS即可证出△ADE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，根据等腰三角形的性质得出∠DAM＝∠DCN，从而得出∠DMN＝∠DNM，得出DM＝DN，即可得出ME＝NF．
19．为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a= ，b=
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 度．
（3）在月末的展示活动中，“C"项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有 2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率、
【答案】（1）20；10
（2）108
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示，
根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，
则这两人来自不同班级的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：∵参加项目A的学生人数为5人，占比为10%， ∴参加项目的学生总人数为5÷10%=50人， ∴参加项目B的学生人数占比为15÷50=30%， ∴参加项目C的学生人数为a=50×（1-10%-20%-30%）=20人；
参加项目D的学生人数为b=50-5-15-20=10人.
根据答案为：20、10；
（2） B项目所对应的扇形圆心角为360°×30%=108°， 故答案为：108；
【分析】（1）根据参加项目A的学生人数为5人，占比为10%，求出参加项目的学生总人数为50人，再求出参加项目B的学生人数占比为30%，从而得出参加项目C的学生人数占比为40%，即可得出a，b的值；
（2）用360°乘以参加项目B的学生人数占比，列式进行计算，即可得出答案；
（3）画出树状图，得出共有25种等可能的情况数，找出这两人来自不同班级的有12种，再根据概率公式进行计算，即可得出答案.
20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，者（x1+1）（x2+1）=-1，求k的值．
【答案】（1）解：∵ 一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴∆=32-4（k-2）≥0，
∴k≤174；
（2）解：∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出32-4（k-2）≥0，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x1＝-3，x1x2＝k-2，再把（x1+1）（x2+1）=-1变形为x1x2+（x1+x2）+1＝-1，代入得出方程k-2+（-3）+1＝-1，即可得出k的值.
21．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，-2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC；
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积
【答案】（1）解：设双曲线的解析式为y＝ ，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝ ，
解得k＝6，
∴y＝ ，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝ 上，
∴﹣2＝ ，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得 ，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）解：作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝ ，
∴直线BO的解析式为y＝ x，
，
解得 或 ，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣ ﹣ ﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入解析式，求出m的值，得出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可得出答案；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，利用待定系数法得出直线OB的解析式，再联立方程组，求出方程组的解，得出点C的坐标，利用S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC，列式进行计算，即可得出答案.
22．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE=OA，sin∠BAC= 45 ，求tan∠CEO的值
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H，
∵sin∠BAC＝BCAB=45，
∴设BC＝4k，AB＝5k，
∴AC＝3k，OA=12AB=52k，
∴CE=OA=52k，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，
∴OH＝12AC＝32k，
∴EH＝CE-CH＝52k﹣2k＝12k，
∴tan∠CEO＝OHEH=32k12k=3.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OC，证出OC⊥CD，再根据切线的判定定理即可得出CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义得出BCAB=45，设BC＝4k，AB＝5k，得出AC=3k，CE=OA=52k，根据垂径定理得出CH＝2k，根据三角形中位线定理得出OH＝12AC＝32k，从而得出EH＝CE-CH=12k，再根据锐角三角函数的定义得出tan∠CEO＝OHEH=32k12k=3.
23．南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润=售价-进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260，
答：a的值为260．
（2）解：设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）× ×200+（100﹣y﹣80）× ×200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，解方程即可求出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，购进真丝围巾（300﹣x）件，根据题意列出不等式，解不等式求出x的取值范围，再列出利润W和x的函数关系式，再根据一次函数的性质进行解答，即可得出答案；
（3）设每件真丝围巾降价y元，根据题意列出不等式，解不等式求出y的取值范围，即可得出答案.
24．如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP= 12 AB．
（1）判断△ABP的形状，并说明理由．
（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN=AN．
（3）点Q在边AD上，AB=5，AD=4，DQ= 85 ，当∠CPQ=90°时，求DM的长．
【答案】（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB＝ AB，
∵OP＝ AB，
∴OP＝OA＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，
∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，
∴∠APO+∠BPO＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△ABP是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，
∴△ADM≌△QCM（ASA），
∴AD＝CQ＝BC，
∵∠BPQ＝90°，
∴PC＝ BQ＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠OPB＝∠OBP，
∴∠OBC＝∠OPC＝90°，
∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°，
∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APN＝∠PAN，
∴PN＝AN；
（3）解：分两种情况：
①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，
设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+ ，BH＝AG＝4﹣ ﹣a＝ ﹣a，
∵PG∥DM，
∴△AGP∽△ADM，
∴ ＝ ，即 ，
∴PG＝ x﹣ ax，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠CPH+∠QPG＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠QPG＝∠PCH，
∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即 ＝ ，
∴PH•PG＝QG•CH，
同理得：∠APG＝∠PBH，
∴tan∠APG＝tan∠PBH，即 ＝ ，
∴PG•PH＝AG•BH＝AG2，
∴AG2＝QG•CH，即（ ﹣a）2＝a（ +a），
∴a＝ ，
∵PG•PH＝AG2，
∴（ x﹣ x）•（5﹣ x+ x）＝（ ﹣ ）2，
解得：x1＝12（舍），x2＝ ，
∴DM＝ ；
②如图3，当M在DC的延长线上时，同理得：DM＝12，
综上，DM的长是 或12．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意得出OP＝OA＝OB，根据等腰三角形的性质得出∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，从而得出∠APO+∠BPO＝90°，即可得出△ABP是直角三角形；
（2）延长AM，BC交于点Q，先证出△ADM≌△QCM，得出AD＝CQ＝BC，根据直角三角形斜边中线定理得出PC＝12BQ＝BC，得出∠OBC＝∠OPC＝90°，从而得出∠APN＝∠PAN，即可得出PN＝AN；
（3）分两种情况讨论：①点M在CD上时，当M在DC的延长线上时，利用相似三角形的判定与性质分别求出DM的长，即可得出答案.
25．抛物线y= 13 x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， ▱ BCPQ顶点P在抛物线上，如果 ▱ BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=20N，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标。
【答案】（1）解：由题意得，
，
∴ ，
∴y＝ ﹣ ；
（2）解：如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+b，
由 ＝x+b得，
x2﹣4x﹣3（b+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（b+4）＝4，
∴b＝﹣ ，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣ ，
∴x＝2，y＝﹣ ，
∴P1（2，﹣ ），
∵E（0，﹣ ），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣ ）），
即（0，﹣ ），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴P2（2﹣2 ，﹣2 ﹣ ），P3（2+2 ，2 ﹣ ），
综上所述：点P（2，﹣ ）或（2﹣2 ，﹣2 ﹣ ）或（2+2 ，2 ﹣ ）；
（3）解：如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为： ，
∴OH＝ ，
∵MH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴ ，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴ ＝ ，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴ ＝2• ，
∴EF＝ ，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝ ，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝ ﹣ ﹣4＝ ，
∴M（﹣4， ）．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，设直线l的解析式为y＝x+b，根据直线y＝x+b与抛物线相切得出b=-163，从而得出方程x2-4x+4＝0，直线l的解析式为y＝x-163，求出x=2，y=-103，得出P1（2，-103），再求出直线m的解析式为y＝x-83，与抛物线的解析式联立方程组，求出方程组的解，得出P的坐标，即可得出答案；
（3）作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，证出△BHN∽△BFD，△OMG∽△ONH，得出DF＝2NH，MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，从而得出KF＝MG＝DF，再根据锐角三角函数定义得出EF＝12（4-a），再证出△DEF∽△DMK，得出EFMK=DFDK，求出a的值，从而得出G的坐标为（-4，0），再把x=-4代入抛物线的解析式求出y=83，即可得出M的坐标 .
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