2022--2023学年人教2019A版高二数学开学考04

高二开学考04

班级____            姓名_________         考号__________

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

的共轭复数为

虚部为.

故选：D.

2．在中，角所对的边分别是，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：由正弦定理得，，

故选：A.

3．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：如图过点作的平行线交于，

则是的中点，

且

，

又，所以，即，

又

故选：B．

4．盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

记个红色球分别为、、，记个黄色球分别为、，

从这个球中随机抽取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，

其中，事件“所取出的个球颜色相同”包含的基本事件有：、，，，共4个.

故所求概率为.

故选：C.

5．已知直线a，b，平面，则下列命题中正确的是（       ）

A．，则

B．，则

C．，则

D．a与b互为异面直线，，则

【答案】D

【详解】

A选项中，只有直线a与两平面的交线垂直的时候结论才成立；

B选项中，还有可能；

C选项中，两直线a，b平行或异面；

D选项中，过直线a上一点做，则相交直线a，确定一个平面，设为，易得且，所以；

故选：D．

6．已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（       ）

A．125　128 B．124　128 C．125　129 D．125　128.5

【答案】D

【详解】

把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.

故选：D

7．某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

设这个班n位同学的成绩分别是，，…，，…，，

第一次漏过了第i位同学的成绩，第一次计算时总分是，

方差是

第二次计算时，，

方差

故，

故选：C．

8．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，

所以四棱锥的表面积为.

故选：C

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）

9．已知向量，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】

对于A：因为，，所以，所以.故A正确；

对于B：因为，，所以，所以.故B错误；

对于C：因为，，所以，所以，所以.故C正确；

对于D：因为，，所以，

因为，所以.故D错误.

故选：AC.

10．为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（       ）

A．m的值为0.015

B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01

C．被抽取的1000名小学生的均分大约是85分

D．学生成绩的中位数大约为75分

【答案】AD

【详解】

由，所以选项A正确；

因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”，

所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确；

被抽取的1000名小学生的均分大约是

，因此选项C不正确；

设学生成绩的中位数为，

所以有，因此选项D正确，

故选：AD

11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值可以是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】CD

【详解】

依题意，，

即，

由正弦定理得，

，

由正弦定理得，则，

所以

，

由于，

所以，

所以，所以CD选项正确，AB选项错误.

故选：CD

12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（       ）

A． B．该圆台轴截面ABCD面积为

C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

【答案】BCD

【详解】

A：由已知及题图知：且，故，错误；

B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；

C：圆台的体积，正确；

D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.

故选：BCD

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．设复数，，则复数的虚部等于________.

【答案】1

【详解】

，

虚部为.

故答案为：.

14．平面向量与的夹角为60°，，，则___________.

【答案】

【详解】

因为，所以.

因为与的夹角为60°，，所以.

所以.

故答案为：

15．某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为______．

【答案】0.492##

【详解】

解：记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，

则，，，，

故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为

．

故答案为：0.492.

16．如图，AE是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取C，D两点，使C，D， E三点在同一条直线上，在C，D两点测得顶点A的仰角分别为，，且C，D两点之间的距离为20米，则烟囱AE的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：,）

【答案】22

【详解】

在中，由正弦定理得，

即，

所以，

在中，（米）.

故答案为：22.

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）

17．已知复数是方程的解.

(1)求的值；

(2)若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.

【答案】(1)1(2)

【解析】(1)

解：由题意，复数是方程的解，

由求根公式，可得，则.

(2)

解：由（1）且表示的点在第四象限，所以.

又由，

因为为纯虚数，则，解得.

18．已知平面向量满足.

(1)若，求向量与的夹角；

(2)若，求函数的最小值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

设向量与的夹角为，

由题意，可得

，

则，由于，故.

(2)

由题意，则

，

即

，其中.

即函数的最小值为.

19．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)求圆锥内半径最大的球的体积

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

解：设圆锥的高为h，

因为圆锥的底面半径为6，其体积为，

所以，

解得，

则圆锥的母线为，

所以圆锥的侧面积为；

(2)

如图所示：

当球为圆锥的内切球时，球的半径最大，

由图象知：，

解得 ，

所以圆锥内半径最大的球的体积是.

20．2021年开始，甘肃省推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，由于受疫情影响，多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

(3)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

【答案】(1)(2)224(3)225.6

【解析】(1)

由，得.

(2)

因为，，

所以中位数在，设中位数为，所以，解得，

所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为.

(3)

这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为

.

21．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．

(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；

(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．

则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，

从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，

则共有种，

甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，

所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为；

(2)

因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，

，

从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有种；

同理乙同学不选化学，共有种；

所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有种；

甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，

所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．

22．如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线与平面所成角的大小．

【解析】(1)

证明：连接，在中，

和分别是和的中点，，

又平面，平面，

平面．

(2)

证明：，为中点，，

平面，，平面，

，又，平面，平面，

(3)

解：取中点和中点，连接，，，

和分别为和的中点，且，

且，四边形是平行四边形，

且，

又平面，平面，

即为直线与平面所成角，

在中，可得，，

，，且，

又由，，

在中，，

在中，，

，即直线与平面所成角的大小为．