新教材高二数学下学期暑假训练2一般函数的性质含答案

2 一般函数的性质

例1．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

例2．设函数，则满足的取值范围

是（）

A． B． C． D．

例3．设是上的奇函数且满足，当时，，则（）

A． B． C． D．

一、选择题．

1．函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

2．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（）

A．， B．，

C．， D．，

3．若函数为偶函数，且时，，则不等式的解集为（）

A．  B．

C．  D．

4．（多选）如果对定义在上的奇函数，对任意两个不相等的实数、，都有，则称函数为“函数”，下列函数为函数的是（）

A． B． C． D．

二、填空题．

5．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，

且当时，，则的值为________．

6．设函数，若对，不等式成立，

则实数的取值范围是__________．

7．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，

已知当时，，则下列命题：

①对任意，都有；

②函数在上递减，在上递增；

③函数的最大值是1，最小值是0；

④当时，．

其中正确命题的序号有_________．

三、解答题．

8．已知函数是定义在上的奇函数．

（1）求、的值；

（2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围．

例1．【答案】B

【解析】函数，，，，

根据指数函数和对数函数的单调性可得：

，，，

因为函数在上单调递减，且，

所以，即，故选B．

例2．【答案】A

【解析】设，则，

，为奇函数，

，

，，，

所以在R上单调递增，

，

，

，解得，故选A．

例3．【答案】D

【解析】对任意的，，即，

所以，函数是以为周期的周期函数，，

由于函数为上的奇函数，且当时，，

因此，，

故选D．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】由，得，

所以函数的定义域为，排除D；

显然是偶函数，其图象关于轴对称，排除A；

又当时，，所以，排除C，

故选B．

2．【答案】A

【解析】令，知在定义域内为递增函数，

∴由题意知，即，

又知：关于原点对称，

∴，

而，

故选A．

3．【答案】B

【解析】当时，，故可得，，

因为在恒成立，故单调递减，

故，故此时单调递减，

则，等价于，

又是偶函数，故关于对称，

故在区间单调递增，

此时，等价于，

综上所述：，故选B．

4．【答案】CD

【解析】对任意两个不相等的实数、，

都有，

可得，

即，

设，则，可得，即，

所以，若函数为“函数”，则函数为上的奇函数，且为增函数．

对于A选项，函数的定义域为，不合乎题意；

对于B选项，函数为上的非奇非偶函数，不合乎题意；

对于C选项，函数的定义域为，且该函数为上的增函数，

，

所以，函数为奇函数，合乎题意；

对于D选项，函数的定义域为，且，

，函数为奇函数，

函数在区间和上均为增函数，且函数在上连续，

所以，函数为上的增函数，合乎题意，

故选CD．

二、填空题．

5．【答案】

【解析】当时，，

又因为函数是定义在上的偶函数，

则，

，

因此，，故答案为．

6．【答案】

【解析】函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数，

当时，，

由于函数为减函数，在上为减函数，

所以，函数在上单调递减，

由可得，可得，

所以，对任意的恒成立，

设，则对任意的恒成立，

由于二次函数的对称轴为直线，

，解得，

因此，实数的取值范围是，故答案为．

7．【答案】①②④

【解析】由题意，函数对任意的恒有，

可得，所以①正确；

由时，为单调递增函数，

因为函数是定义在上的偶函数，可得时，函数为单调递减函数，

又由函数的周期为，可得函数在上递减，在上递增，所以②正确；

由②可得，当时，函数取得最小值，最小值为；

当时，函数取得最大值，最大值为，

根据函数的周期性，可得函数的最大值为，最小值为，所以③不正确；

当时，则，

可得，所以④正确，

故答案为①②④．

三、解答题．

8．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意知：是定义在上的奇函数，，，

即，

所以，，即对任意的恒成立，，

故，．

（2）由（1）知，

因此在上是增函数，

对任意的，恒成立，

可转化，

根据在上是奇函数可知恒成立．

恒成立，即恒成立，

所以，，解得，

因此，实数的取值范围是．